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1、联想为媒 - 催化数形之结合本文就如何以联想为媒 ，介绍一些常用的联想策略。一、联想图形的交点例 1、 （04 湖南高考）设函数020)(2xxcbxxxf，若2)2(),0()4(fff则关于x的方程xxf)(的解的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 分析：从而作出xyxfy及)(的图象，可知方程有3 个解。例 2、 （05 上海高考题）设定义域为R函数1011lg)(xxxxf，则关于x的方程0)()(2cxbfxf有 7 个不同实数解的充要条件是（）0,0.0,0.0,0.0,0.cbDcbCcbBcbA故选（ C）二、联想绝对值的几何意义例 3、（ 03 高考）已知0c，
2、 设P： 函数xcy在R上单调递减，Q： 不等式12cxx的解集为R，如果P与Q有且仅有一个正确，试求c的范围。分析：由题意可得：1210cc或三、联想一次函数例 4、已知1, 1, 1cba，求证：1)2(;2)1(cabcabcbaabc分析：构造一次函数2)1()(cbxbcxf（2）令1)()(bcxcbxg同理可得0)1 (,0)1(gg四、联想二次函数例 5、已知关于x的方程mxx542有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为五、联想反函数的性质例 6、方程3log, 322xxxx的实根分别为21, xx，则21xx= 六、联想函数的单调性例 7、已知实数eba（e为自然对数的底
3、） ，证明：abba分析：本题直接证较难，利用函数单调性，进行数形结合转化为函数问题，以数助形可轻松获证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页bbaabaabbaebaablnlnlnln,2考虑函数xxxfln)(在),(e上的单调性0)(,ln1)(/2/xfexxxxf时当即xxxfln)(在),(e上单调递减，bbaalnlnabba七、联想函数奇偶性例 8、 （05 天津高考）设)(xfy是定义在R上的奇函数，且)(xfy的图象关于直线21x对称，则)5()4()3()2()1(fffff八、联想斜率公式例
4、9、实系数方程022baxx的一根在0和 1 之间，另一根在1 和 2 之间，求12ab的取值范围。例 10、计算：40cos20cos40sin20sin分析：本题直接用三角公式计算较繁！如能由40cos20cos40sin20sin的结构形式联想斜率公式，数形结合，以形助数，即可巧妙探求。本式可以看成)20sin,20(cos),40sin,40(cosBA二点连线的斜率， 如图，借助单位圆，则40,20,80,20MOAMOBOABAOB，设AB倾斜角为则120OABMOA3120tantan九、联想两点间的距离公式例 11、设baRbaxxf且,1)(2，求证：babfaf)()(分析
5、：本题直接证明较繁！如能由21)(xxf的结构形式，联想到两点间的距离公式，数形结合，以形助数，则抓住了知识间的内在联系，解法新颖，巧妙简洁。,ba不 妨 设ba， 构 造 如 图 的OAPRt， 其 中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页bOBaOAOP, 1则baABbfbPBafaPA),(1),(122在OAPRt中，有ABPBPAbabfaf)()(十、联想点到直线的距离公式例12 、（ 02北 京 高 考 ） 已 知P是 直 线0843yx上 的 动 点 ，PBPA,是012222yxyx的两条切线，BA
6、,是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。分析：直接求解较难，如能联想点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则更简洁。121222PCPAACPASSPACPACB要使面积最小，只需PC最小，即定点C到定直线上动点P距离最小即可即点C)1 , 1(到直线0843yx的距离，而3438241322d2213)(2minPACBS例 13、方程2)1(2)1(222yxyx表示的曲线是分析： 直接化简较繁！ 如能联想到点到直线的距离公式，数形结合， 以形助数， 则简洁明了。原方程可化为：22) 1() 1(22yxyx即动点),(yxP到定点) 1 , 1 (的距离与到定直线02yx的距
7、离相等方程2)1(2)1(222yxyx表示的曲线是抛物线十一、联想直线的截距例 14、已知yxbyyxRyx2),0(3,22且，求b的取值范围。分析：即151n1532b例 15、求函数tt642的最值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页分析：令)220 ,40(1626,4222yxyxytxt，则，则所函数化为以为参数的直线族xy，它与椭圆16222yx在第一象限的部分有公共点16222yxxy01624322xx又62022,62minmax十二、联想定比分点坐标公式例 16、已知)(xfy是定义在R上的
8、单调函数，实数1,21xx，121xx，112xx，若)()()()(21ffxfxf，则（） （05 年辽宁高考）A. 0 B. 0 C. 10 D. 1分析：本题如何探求，)(xf不知道，直接求解困难。若能联想到定比分点坐标公式，数形结合，以形助数，则很易求。不妨设)0,(),0 ,(),0 ,(),0,(21DCxBxA，易知DC,为有向线段AB的分点，又)(xfy是定义在R上的单调函数及)()()()(21ffxfxf可知DC,为有向线段AB的外分点，0。故选（ A）、数形结合的思想方法的解题应用技巧其基本模型有：1、22()()xayb距离函数2、yaxb斜率函数3、AxBy 截距函
9、数4、22(cos ,sin)xy1(cos ,sin)F单位圆 上的点5、22aabb余弦定理6、axbcxd双曲线例题分析例 1 函数 y xcosx 的部分图像是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页y x 0 C D A B y x OCy x Oy x OBAy x ODy x OCy x Oy x OBAy x O分析：这是一道以数解形的题，显然y=xcosx 为奇函数，可排除A、C，取 x0.1 ，y 0.1cos0.10 ，图象在x 轴下方，排除B. 故选 D. 例2 已 知 数 列na满 足97,
10、98nnnaan最 大 时 ， n。分析989798971,19898nnaann考虑函数：9897198yx的图像，注意到,xN有 n9 时，na最大。例 3已知2( ),f xaxbx满足不等式 ;1( 1)2,2(1)4,ff试求 f （ 2）的取值范围。正解：约束条件：1224abab目标函数： z 4a2b 54210ab，即5(2)10f例 4 已知sinsin,那么下列命题正确的是（）A、若、是第一象限角，则coscos,B、若、是第二象限角，则tantan,C、若、是第三象限角，则coscos,D、若、是第四象限角，则tantan,分析考察选项A，作单位圆，如图，OA 、OB分
11、别为角、的终边， OC为的余弦线， OD为的余弦线，则有coscos,知 A错，依次判断知选D。例 5 设、分别是方程2log40240 xxxx和的 根 ， 则1 1 A C B 0 y x 98x y o 9 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页。例 6 如果实数x、y 满足等式22410 xyx，那么yx的最大值为（）A、12 B、33 C、32 D、3分析即 OP的斜率的最大值为3。例 7 不等式254xxx解集为。分析14512xx。例 8 函数246utt的值域是。分析此题用一般得方法很难求出u 的范
12、围。由于右端根号内同为一次函数，故可令24,6xtyt消去 t 得：22216(4,2 2)xyo xo y所给函数化为含参数u 的直线系y xu，它与椭圆22216xy（在第一象限的部分，包括端点）右公共点。如图知min2 2u，当直线与椭圆相切于第一象限时u 取最大值，此时由方程组22216yxuxy得2234160 xuxu，由02 6,u因直线过第一象限，max2 6u故所求函数的值域为22, 2 6。例 9 关于 x 的方程232xxk在（ 1,1 ）内恰有一个实根，则k 的范围是。分析得9151622kk或-例 11过抛物线y2=2px 的焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交抛物线
13、的准线于C、D两点，又过C、D分别作抛物线轴的平行线，分别交抛物线于A、B 求证： A 、 F、B共线例 12若 a10求证：222222111()(2)()1112ababaa分析由不等式左边联想到两点间距离的平方建立平面直角坐标系如图所示构造直线l ：x+y+1=0，则 A(a2，b2+1) 、由于 AB d(d 为点 A到直线 l 的距离 ) ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页例 13 在 ABC中，巳知AB AC，AD是中线， AE是 角A的 平 分 线 ，,DAE求 证 ：tantan2bcAbc分析此
14、题用三角法证明较难寻找解题途径，用解析法则非常巧妙如图所示，建立直角坐标系，以A为原点，角平分线AE 例 14 已知实数x、y 满足不等式组2240 xyx、中学数学教学中“数形结合”思想的运用及实施（1）“数”中思“形”例1. 如果实数, x y满足等式22(2)3xy，那么yx的最大值是什么？例 2. 解不等式：251xx（ 2）“形”中觅“数”例 3. 求方程lgsin0 xx的解的个数。在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。* 数形结合的原则数形结合一般遵循以下三个原则：1、等价原则等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何的转化应是对应的
15、，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页例题方程132sinXx的实数根的个数为（）A、3 个 B、5 个 C、7 个 D、9 个2、双向性原则双向性原则是指几何形象直观的分析，进行代数计算的探索。3、简单性原则简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，即使几何形象优美又使代数计算简洁，明了。一、数形结合的途径数形结合是一柄双刃的解题利剑，下面简单介绍一下数形结合的途径1、由数到形的转换途径（1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函
16、数的图象和性质解决相关的问题。（2）利用平面向量的数量关系及模AB的性质来寻求代数式性质。（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2a与正方形的面积互化，将abc与体积互化，将22ac与勾股定理沟通等等。（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式 （如两点间的距离221212()()xxyy，点到直线的距离0022|AxByCdAB，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。2、由形到数的转换途径（1）解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。（2）三角法：将几何问题与三角形沟通
17、，运用三角代数知识获得探求结合的途径。（3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。四、数形结合在数学教学中的应用1、与不等式有关的问题例题 1 设变量x、y、z在区间(0,1)中取值，试证：(1)(1)(1)1xyyzzx分析：本题直接证不好证明，由左边的轮换式可以联想到面积，由于变量x、y、z在区间(0,1)中取值构造一个边长为1 的正三角形。将这些关系统一在一个不等式中，可得到如下简洁而优美的解法。解：如图， 正三角形ABC边长为 1，设点1A、
18、1B、1C分别在边BC、CA和AB上，且有1ACx，1CBy，1BAz，则11BCx，11CAz，11ABy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页113(1)4AB CSxy，113(1)4CA BSyz，113(1)4BA CSzy1 1AB CS+1 1BACS+1 1CA BSABCS3333(1)(1)(1)4444xyyzzx即(1)(1)(1)1xyyzzx，结论得证AC1A2、与方程的根有关的问题应用数形结合思想解方程，应当注意曲线与方程的对应关系。例题 2、方程2121xxx的实根个数是（）A、1 个
19、B 、2 个 C 、3 个 D 、4 个分析：这道题若直观通过解1 个 3 次方程来解，比较麻烦。可在同一个坐标系下画出1yx与221yxx的图象。由图象观察可知，两函数图象只有一个交点。故选A y221yxxxo1B1CB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页1yx3、与函数有关的问题例题 3、求二元函数2229( , )()(2)f u vuvuv的最小值分析：可将( , )f u v的表达式看作是两点2( ,2)P uu、9( ,)Q vv之间距离的平方且222( 2)2uu，99vv，所以可将P、Q分别看作圆222xy与双曲线9xy上一点y(3,3)Q(1,1)Pox精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页