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1、轻松学习高中数学-高一专题系列课程数形结合思想一作图、识图、用图技巧(1)作图：常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系(3)用图： 图象形象地显示了函数的性质，因此， 函数性质确实定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究(4)利用基本函数图象的变换作图平移变换：yf(x)h0，右移 |h|个单位h0，上移 |k|个单位k0，下移 |k|个单位yf(x)k.伸缩变
2、换：yf(x)错误 !yf(x )，yf(x)0A1，纵坐标伸长到原来的A倍yAf(x)对称变换：yf(x)关于x轴对称y f(x)，yf(x)关于y轴对称yf(x)，yf(x)关于直线 xa对称yf(2ax)，yf(x)关于原点对称y f(x)f(x)关于原点对称y f(x)二、通法归纳与感悟1应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化(1)集合的运算及韦恩图；(2)函数及其图像；(3)方程 (多指二元方程 )及方程的曲线；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页轻松学习高中数学-高一专题系列课程(4)对于研究距离、角或面
3、积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；(5)对于研究函数、 方程或不等式(最值 )的问题， 可通过函数的图像求解(函数的零点、 顶点是关键点 )，做好知识的迁移与综合运用2运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导(2)双向性原则在数形结合时， 既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时
4、候是很难行得通的例如， 在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，假设能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化(3)简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来表达解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法三、利用数形结合讨论函数零点、方程的解或图像的交点利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点 )可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解(2)正确作出两个函数的图像是解
5、决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合1 (2013 长沙模拟 )假设 f(x)11f x1，当 x0,1时，f(x)x，假设在区间 ( 1,1内 g(x)f(x)mx m 有两个零点，则实数m 的取值范围是()A. 0，12B. 12，C. 0，13D. 0，12解析 D当 x(1,0时， x1(0,1，当 x(0,1时， f(x)x， f(x1)x1.而由 f(x)11fx1，可得 f(x)1fx111x11(x(1,0)如下列图，作出函数f(x)在区间 (1,1内的图像，而函数 g(x)零点的个数即为函数f(x)与 ymxm 图像交点的个数，显然函数ymxm
6、 的图像为经过点P(1,0)，斜率为m 的直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页轻松学习高中数学-高一专题系列课程如下列图， f(1)1，故 B(1,1)直线 PB 的斜率 k1101112；直线 PO 的斜率为k20.由图可知，函数f(x)与 ymxm 的图像有两个交点，则直线ymxm 的斜率 k20，0，x0，1x， x10 时，无交点由图象可知共9 个交点答案 B5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页轻松学习高中数学-高一专题系列课程
7、6函数 y11x的图象与函数y2sin x(2 x4) 的图象所有交点的横坐标之和等于()A2B4C6D8答案 D解析 依题意：两函数的图象如下列图：由两函数的对称性可知：交点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8的横坐标满足x1x82，x2x72，x3x62，x4x52，即 x1x2x3x4x5x6x7 x8 8，故选 D二、利用数形结合解不等式或求参数利用数形结合解不等式应注意的问题解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论， 导致运算过程繁琐冗长如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决7. (1)使 log2( x)x1 成立的 x 的取值范
8、围是 _(2)假设不等式 |x2a| 12x a1 对 xR 恒成立，则a 的取值范围是 _解析 (1)在同一坐标系中，分别作出y log2(x)，yx 1 的图像，由图可知，x 的取值范围是 (1,0)(2)作出 y|x2a|和 y12xa1 的简图，依题意知应有2a2 2a，故 a12.8. 当 x(1,2)时，不等式 (x1)2logax 恒成立，则a 的取值范围为()A(2,3B4， )C(1,2D2,4)解析： C 设 y1(x1)2，y2logax，则 y1的图像为如下列图的抛物线要使对一切x (1,2)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
9、- - - -第 4 页，共 9 页轻松学习高中数学-高一专题系列课程y11，并且只需当x2 时，logax1 ，即 a2 ，所以 11，设函数 f(x) (x22)?(x x2)，xR，假设函数yf(x)c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ()A( ，2(1，32)B( ， 2(1，34)C(1，14)(14， )D( 1，34) 14， )答案 B解析 由已知得f(x)x221 x32，xx2x32，如图，要使yf(x)c 与 x 轴恰有两个公共点，则 1c0，则 c0，所以 b0；当 y0，axb0，所以 xba0，所以 a0.故 a0，c0，选 C方法点拨 1.给
10、出解析式判断函数图象的题目，一般借助于平移、伸缩11. (理)已知 f(x)是定义在 (3,3)上的奇函数，当0 x3 时， f(x)的图象如下列图，那么不等式 f(x)cosx0 的解集是 ()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页轻松学习高中数学-高一专题系列课程A(3，2)(0,1)(2，3)B(2， 1)(0,1)(2，3)C(3， 1)(0,1)(1,3)D(3，2)(0,1)(1,3)答案 B分析 由奇函数图象的对称性可画出f(x)的图象，不等式f(x) cosx0cosx0或fx0，结合图形可得出解集解析
11、不等式 f(x)cosx0，cosx0，或fx0.画出 f(x)在(3,3)上的图象， cosx 的图象又熟知，运用数形结合，如下列图，从“ 形” 中找出图象分别在x 轴上、下部分的对应“ 数” 的区间为 (2， 1)(0,1)(2，3)13 (文)(2014 哈三中二模 )对实数 a 和 b，定义运算 “* ”：a* ba，ab1b，ab1，设函数 f(x)(x21)*( x2)，假设函数yf(x) c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是()A(2,4 (5， ) B(1,2(4,5C( ，1)(4,5 D1,2答案 B解析 由 a*b 的定义知，当x21(x2)x2x11
12、时，即 1 x2 时， f(x)x21；当 x2 时， f(x)x2， y f(x)c 的图象与x 轴恰有两个公共点，方程f(x)c0 恰有两不同实根，即yc 与 yx2 11 x2 ，x2x2，的图象恰有两个交点，数形结合易得1c2 或 4c5.方法点拨 关于函数零点的综合题，常常将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、二次函数揉合在一起组成一个大题，零点作为其条件的构成部分或结论之一，解题时主要依据题目特点： 别离参数， 将参数的取值范围转化为求函数的值域；数形结合，利用图象的交点个数对参数取值的影响来讨论；构造函数，借助于导数来研究精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
13、纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页轻松学习高中数学-高一专题系列课程三、利用数形结合求最值利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义第二步：转化为几何问题第三步：解决几何问题第四步：回归代数问题第五步：回忆反思应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有： (1) 比值可考虑直线的斜率；(2) 二元一次式可考虑直线的截距；(3) 根式分式可考虑点到直线的距离；(4) 根式可考虑两点间的距离14 已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量c 满足(ac
14、) (bc)0，则 |c|的最大值是()A1B2C.2D.22解析： C因为 (ac) (bc)0，所以 (ac)(bc) 如下列图， 设OCc，OAa，OBb，CAac，CBbc，即ACBC，又OAOB，所以 O， A，C，B 四点共圆当且仅当 OC 为圆的直径时，|c|最大，且最大值为2.15 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 OPOA (AB|AB|AC|AC|)， 0， ) ，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的 ()A外心B内心C重心D垂心答案 B分析 因为AB|AB|是AB的单位向量，故 (AB|AB|AC|AC|)对应向量假设以A 为起点，则终点
15、在BAC 的平分线上，结合OP OAAP可知点 P 的轨迹精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页轻松学习高中数学-高一专题系列课程解析 如下列图，易知AP (AB|AB|AC|AC|)，而AB|AB|与AC|AC|是单位向量，故点P 在 BAC 的平分线上，所以点P 的轨迹通过 ABC 的内心，应选B方法点拨 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具16对于任意xR，函数 f(x)表示 x3，32x12，x24x3中的较大者，则f(x)的最小值是()A
16、2B3C8D 1解析： A 分别画出y x3，y32x12，yx24x 3 三个函数的图像，如下列图，得到三个交点 A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)函数 f(x)的表达式为f(x)x2 4x3，x0 ，x3，0 x1 ，32x12， 15，f(x)的图像是图中的实线部分，图像的最低点是B(1,2)，所以函数f(x)的最小值是2.17 (文)设函数 g(x)x22(xR)， f(x)gxx4，xgxgxx，x gx， 则 f(x)的值域是 ()A94， 0 (1， ) B0， )C94， D 94，0 (2， )答案 D解析 由题意知f(x)x2 x2，x0，则|MN|t2lnt，令 yt2lnt(t0)， 则 y 2t1t，由 y0 得 t22，由 y0 得 0t22，yt2lnt 在 (0，22)上单调递减，在(22，) 上单调递增，故t22时， y 取最小值，即t22时， |MN|取最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页