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1、学习必备欢迎下载xylmO-0.5-1xy14O31- m20XX 届高三数学思想方法专题一：数形结合班级：姓名：数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法 . 利用数形结合思想， “以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决. 以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合. 【以形助数】例 1、 （集合中的数形结合）已知集合0103,22xxxBaxaxA，当BA，求实数a的取值范围 .
2、 参考解答：画数轴分析可得45a. 例 2、 （函数中的数形结合）设222fxxax，当1,x时，fxa恒成立，求a的取值范围。参考解答：解法一：由fxa，在1,上恒成立2220 xaxa在1,上恒成立 . 考查函数222g xxaxa的图像在1,时位于x轴上方，如下图不等式的成立条件是：1）244 202,1aaa；2）013, 210aag；综上所述3,1a解法二：由2221fxaxax，令2122,21yxyax，在同一坐标系中作出两个函数的图像（如右图）满足条件的直线位于, l m之间，而直线, l m对应的a的值分别为3,1，故直线l对应的3,1a. 例 3、 （方程中的数形结合）若
3、方程2lg3lg 3xxmx在0,3x内有唯一解，求实数m的取值范围 . 参考解答：原方程变形为23033xxxmx，即3021xxm，作出曲线212yx，0,3x和直线21ym的图象，由图可知：当10m时，有唯一解1m；当114m时，即30m时，方程有唯一解. 综上可知，1m或30m时，方程有唯一解. 例 4、 （不等式中数形结合）不等式0222aaaxx在2 ,0 x时恒成立，求a的取值范围 . yxO-1ayxO-1a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载参考解答：, 10,例 5、 （解析几何中
4、的数形结合）已知, x y满足2211625xy，求3yx的最大值与最小值. 参考解答：对于二元函数3yx在限定条件2211625xy下求最值问题，常采用构造直线截距的方法来求之 . 令3yxb，则3yxb，原问题转化为：在椭圆2211625xy上求一点，使过该点的直线斜率为3，且在y轴上截距最大或最小，由图可知，当直线3yxb与椭圆2211625xy相切时，有最大截距与最小截距. 由yxbxyxbxb316251169961640002222可得0，得13b，故3yx的最大值为13，最小值为13. 例 6、 （复数中的数形结合）已知复数z满足2|22|iz，求z的模的最大值与最小值. 参考解
5、答：由于2222zizi，有明显几何意义，它表示复数z对应的点到复数22i对应的点之间的距离，因此满足2|22|iz的复数对应的点z，在以2,2为圆心，以2为半径的圆上， （如图），而z表示复数z对应的点z到原点的距离，显然，当点Z、圆心C、点O三点共线时，z取得最值，23|2|maxminzz，. 【配套练习 】1、方程1sin44xx的解的个数为（C）A 1B 2C 3D42、如果实数,x y满足2223xy，则yx的最大值为（D）A12B33C32D3参考解答：等式2223xy有几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为2,0，半径3r，如图，00yyxx表示圆上的点, x y与坐标原点
6、0,0的连线的斜率 . 如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以2,0为圆心，以3r为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由图可见，当A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算得最大值为tan603. 3、若zC，且221zi，则22zi的最小值是（B）A 2B 3C 4D 5参考解答：如图所示易知结果yx2-1AOC-22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载yxO-a/2-3yxO2-1xyO-224、 已知函数2log1fxx， 若0abc， 则,fafbfcabc的大小
7、关系为fcfbfacba. 5、设函数2020 xbxcxfxx，若40ff，22f，则关于x的方程fxx的解的个数为（C）A 1B 2C 3D 36、函数2222613yxxxx的最小值为（D）A25B2 21C2D137、已知函数aaxxy22在区间3,内递减，则实数a的取值范围为6a. 参考解答：如图所示，可知对称轴362axa8、设、分别是方程2log40240 xxxx和的根，则4. 9、不等式)10(2sinlogaaxxa且对任意)4,0(x都成立，则a的取值范围为,14. 参考解答：由图知minmax0,1,0,logsin 24aaxxx0,10,1,14log144aaaa
8、a. 10、如果关于x的方程0232aaxx有两个实数根21, xx，并且2 ,0,1,21xx，求实数a的取值范围 . 参考解答：令232fxxaxa，由题1043030032022070fafaaf. 11、求函数2cos2sinxxy的值域 . 参考解答：2cos2sinxxy的形式类似于斜率公式2121yykxx，表示过两点02, 2P，cos ,sinPxx的直线的斜率，由于点P在单位圆122yx上，显然BPAPkyk00，设过0P的圆的切线方程为)2(2xky，则有11|22|2kk，解得374k，即0473P Ak，0473P Bk，所以374374y，所以函数值域为374374
9、，. 12、已知集合22,1,1,Px yxyxR yRQx yxayxR yR，求满足下列条件时实数a的取值范围 . QP；yx11CBAOxyO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载yxy = axN1O2k-12k+1MPQ；参考解答：画区域分析问题，2,2a，0a13、求函数ttu642的最值 . 参考解答：设tytx642，则uxy，且22216xy04 02 2xy，所给函数化为以u为参数的直线方程yxu，它与椭圆16222yx在第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）所以umin2 2
10、，相切于第一象限时，u取最大值，yxuxyxuxu2222216342160解0得62u，所以62maxu. 【高考真题】1、若集合)0(sin3cos3)(yxyxM，集合|)(bxyyxN，且NM，则实数b的取值范围为3,3 2. 参考解答：集合 109|)(22yyxyxM，显然，M表示以0,0为圆心，以3为半径的圆在x轴上方的部分， （如图），而N则表示一条直线，其斜率1k，纵截距为b，由图形易知，欲使MN，即直线yxb与半圆有公共点，显然b的最小逼近值为3，最大值为3 2即233b. 2、已知2fxxaxb（其中ab） ，且,是方程0fx的两根（） ，则实数,a，且b,. 3、点M是
11、椭圆1162522yx上一点，它到其中一个焦点1F的距离为2，N为1MF的中点，O表示原点，则ON（C）A32B 2C 4D 8参考解答：设椭圆另一焦点为2F， （如下图），则122MFMFa，而5a，因为12MF，所以28MF，又注意到,N O各为112,MFF F的中点，所以ON是12MF F的中位线，因此4|21|2MFON. 4、关于x的方程axkx22在*21,21xkkkN上有两个不相等的实数解，求实数a的取值范围 . 参考解答：设2122yxkyax，可作图得10,21k. （数的问题转换为形的问题有多种途径、多种方法，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
12、结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载yxABO-111yxy = x+1y = x1Oyxy = x-1y =xO应选择最简单、最佳方案，这称为最优化原则）【以数助形】例 7、设0b，二次函数221yaxbxa的图像为下列之一，则a的值为（B）A 1B1C152D152例 8、线段AB的两个端点为1,1 ,1,3AB，直线:21lyax，已知直线l与线段AB有公共点，求a的取值范围 . 参考解答：不论a取何值，直线l恒过定点0, 1P，斜率为2a，由图l与线段AB有公共点，需要l由直线PA的位置（绕P点）逆时针转动到PB的位置 . 在这一转动过程中，l的倾斜角
13、先逐渐增大到2（从而l的斜率逐渐增大到） ，l绕过y轴后，倾斜角依然逐渐增大，因此其正切值（l的斜率）逐渐增大到PB的斜率，又2,4PAPBkk，故2, 42,a，即, 21,a. 例 9、已知1,1A为椭圆22195xy内一点，1F为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点，求1PFPA的最大值和最小值. 参考解答：由椭圆的定义知121266PFPFPFPF，122266,6PFPAPFPAAFAF即1min62PFPA，1max62PFPA【配套练习 】1、已知函数lg1fxx，若ab且faf b，则ab的取值范围是0,. 2、已知,Ax yym xBx yyxmCAB，若C中仅含有两个元素时，则实数
14、m的取值范围11mm或. 参考解答：0m0myx1-1OyxOyxOyx-11OyxF1F2OAP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载0 y 1 2 x 已知当0m时ym x与yxm在y轴左侧必有一个交点，故要在y轴右侧有一个交点只需1m，同理当0m时ym x与yxm在y轴右侧必有一个交点，故要在y轴左侧有一个交点只需1m. 3、下图中的函数图像、与函数方程a、b、c、d的对应关系中，有可能正确的一组是(D) :afxyfxfy:bfxyfxfy:c fxyfxfy:dfxyfxfy1234A, 2,
15、 3, 4cabd1B, 2, 3, 4abcd1C, 2, 3, 4bdac1D, 2, 3, 4bcda14、已知函数32fxaxbxcxd的图像如图所示，则（A）A,0b0,1B b1,2C b2,D b参考解答：本题可将图形转化为具体数值，由图像过3个特殊点及与x轴的相对位置特征，可得到以下等式：00f，即0d；10f，即0abc；20f，即8420abc；12fxaxxx；当,01,2x时，0fx，由10f得0abc，当0,12,x时，0fx，30f，可推得0a. 巧妙合理地利用以上各式，就可以得到多种简捷的解法：方法一：得3ba，再由推得0b，选A；方法二：推得0b；方法三：由比较
16、同次项系数得3ba，再由得3ba. yxOyxOyxOyxO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载20XX 届高三数学思想方法专题一：数形结合班级：姓名：数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法 . 利用数形结合思想， “以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决. 以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与
17、几何定理的结合. 【以形助数】例 1、 （集合中的数形结合）已知集合0103,22xxxBaxaxA，当BA，求实数a的取值范围 . 例 2、 （函数中的数形结合）设222fxxax，当1,x时，fxa恒成立，求a的取值范围 . 例 3、 （方程中的数形结合）若方程2lg3lg 3xxmx在0,3x内有唯一解，求实数m的取值范围 . 例 4、 （不等式中数形结合）不等式0222aaaxx在2 ,0 x时恒成立，求a的取值范围 . 例 5、 （解析几何中的数形结合）已知, x y满足2211625xy，求3yx的最大值与最小值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
18、 - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载例 6、 （复数中的数形结合）已知复数z满足2|22|iz，求z的模的最大值与最小值. 【配套练习 】1、方程1sin44xx的解的个数为（）A 1B 2C 3D42、如果实数,x y满足2223xy，则yx的最大值为（）A12B33C32D33、若zC，且221zi，则22zi的最小值是（）A 2B 3C 4D 54、已知函数2log1fxx，若0abc，则,faf bfcabc的大小关系为 . 5、设函数2020 xbxcxfxx，若40ff，22f，则关于x的方程fxx的解的个数为（）A 1B 2C 3D 36、函数2222
19、613yxxxx的最小值为（）A25B2 21C2D137、已知函数aaxxy22在区间3,内递减，则实数a的取值范围为 . 8、设、分别是方程2log40240 xxxx和的根，则 . 9、不等式logsin201axx aa且对任意0,4x都成立，则a的取值范围为 . 10、如果关于x的方程0232aaxx有两个实数根21, xx，并且2 ,0,1,21xx，求实数a的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载11、求函数2cos2sinxxy的值域 . 12、已知集合22,1,1,Px
20、yxyxR yRQx yxayxR yR，求满足下列条件时实数a的取值范围 . QP；PQ. 13、求函数ttu642的最值 . 【高考真题】1、若集合)0(sin3cos3)(yxyxM，集合|)(bxyyxN，且NM，则实数b的取值范围为 . 2、已知2fxxaxb（其中ab） ，且,是方程0fx的两根（） ，则实数,a，且b,. 3、点M是椭圆1162522yx上一点，它到其中一个焦点1F的距离为2，N为1MF的中点，O表示原点，则ON（）A32B 2C 4D 84、关于x的方程axkx22在*21,21xkkkN上有两个不相等的实数解，求实数a的取值范围 . 精选学习资料 - - -
21、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载【以数助形】例 7、设0b，二次函数221yaxbxa的图像为下列之一，则a的值为（）A 1B1C152D152例 8、线段AB的两个端点为1,1 ,1,3AB，直线:21lyax，已知直线l与线段AB有公共点，求a的取值范围 . 例 9、已知1,1A为椭圆22195xy内一点，1F为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点，求1PFPA的最大值和最小值. 【配套练习 】1、已知函数lg1fxx，若ab且faf b，则ab的取值范围是 . 2、已知,Ax yym xBx yyxmCAB，若C中仅含有两个
22、元素时，则实数m的取值范围 . 3、下图中的函数图像、与函数方程a、b、c、d的对应关系中，有可能正确的一组是( ) :afxyfxfy:bfxyfxfy:c fxyfxfy:dfxyfxfy1234A, 2, 3, 4cabd1B, 2, 3, 4abcd1yx1-1OyxOyxOyx-11OyxOyxOyxOyxO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载C, 2, 3, 4bdac1D, 2, 3, 4bcda14、已知函数32fxaxbxcxd的图像如图所示，则（）A,0b0,1B b1,2C b2,D b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页