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1、第 05章 数与形结合的思想方法中学数学研究的对象可分为数与形两大部分，“数”主要指实数、复数或代数对象及其关系，属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物；“形”主要指几何图形,属于形象思维范畴，是人的右脑思维的产物，数和形是数学的基石，两者是有联系的.自从笛卡尔把坐标和变量引人数学，就为数与形的结合与转化提供了可能，给数学提供了一个双向工具：几何概念可以用代数表示，几何目标可以通过代数来表达;反之，给代数语言的几何解释，从而直观地掌握这些抽象的语言的意义，并得到启发去探索新的结论.数形结合使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存彳皮此激发，全面、协调，深入发展人的思维能力.实验告诉我们：有
2、丰富形象的材料比纯抽象材料容易记忆.据双重编码理论触象材料只有言语编码,而形象材料既有言语编码，又有表象编码，这样的编码可以延长记忆.针对一般中学生的智力特点，他们是以第一信号系统占优势的，所以直观的形象记忆比逻辑记忆发达；因此在数学教学中，讲到符号语言表达的抽象材料，可以尽量配以一定的直观形象的图形、模型来增强记忆效果.数与形是对立统一的，数量关系往往隐含着几何模型，几何问题又时时牵涉到数量关系，图形有形象直观的优点，往往能起定性的作用,而在定量方面必须借助于代数的计算分析，两者结合，取长补短,方能收到事半功倍的效果，在数学解题中，数形结合具有极为独特的策略指导与调节作用.中外数学家对数形结
3、合解题十分重视，华罗庚先生说：“数与形，本是相倚依,焉能分作两边飞？数无形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休，切莫忘：几何代数统一体，永远联系，切莫分离美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.”苏联数学家柯尔莫戈罗夫也说：“在只要有可能的地方，数学家总是力求把他们研究的问题尽量地变成可借用几何直观的问题他们都明确地指出了数学解题中的数形结合以及互相转化的思维方法，通 过“以形助数”及“以数辅形”寻找巧妙快捷的解题路线，数与形结合的思想是通过数形间的对应与互助来研究问题并解决问题的思想，不但使几
4、何问题由于代数化而获得新的面貌，而且给代数提供几何模型，并借助几何的成果获得新的解法，数形结合解题常使我们的思维豁然开朗，视野格外开阔，不少精巧的解法正是数形相辅相成的产物.1以形助数以形助数,就是充分利用形的直观性来揭示数学问题的本质属性，根据形来探求解题思路或找到问题的结论，引导学生利用图形探路子，结合图形找式子，实质就是代数问题的几何解法.有些代数问题直接根据数量关系求解显得较为繁难，甚至一下子难以找到解题思路，但若能把欲解(证)的问题转化为与之相关的图形问题，使数量关系形象化，再根据图形性质和特点进行解题,则常能节省大量繁杂的计算，使问题的解答简捷直观，别具一格.以形助数的关键是数如何
5、转化为形，以形助数的两大抓手是利用函数图像思想和利用几何意义思想.基本类型如下：(1)与函数有关的问题，函数的图像及性质常常是解决问题的突破口,若所给出的问题表面上看并不是函数问题，则构造出函数模型很重要.(2)方程与不等式的解的问题，若方程或不等式两边的表达式有明显的几何意义，或通过某种方式可以与图形建立联系，则可设法构造图形，将方程或不等式所表达的抽象数量关系转化为图形的位置或度量关系加以解决，对于含参数的方程与不等式的求解，若采用一般的代数解法避免不了进行艰难的演算，容易错解或漏解；若用几何法，常能收到事半功倍之效.(3)求最值问题，通过图形架设与数量间的桥梁，常常能够凭借特殊位置，图形
6、的性质等直观优势得到简捷解答，当然如何构作相应的几何图形是关键.(4)与复数有关的问题，利用复数与复平面上的点以及相应向量之间的一一对应关系，常考虑用复数及其运算的几何意义来解决.(5)在有些不等式的证明中，构造相关的辅助图形，可形象地揭示一些量之间的制约关系，简化某些繁琐的运算与推理过程.2以数辅形以数辅形，利用数来研究形的各种性质，也就是几何问题的代数解法，笛卡尔通过建立点与有序数组的对应实现了“位置的量化”，是以数辅形的一个根本点，从而把图形的位置关系转化为数量关系，基本类型如下：(1)平面几何题的代数解法主要有坐标法、复数法或向量法、三角法等,特别是涉及图形大小比较的问题，大多数都借助
7、数的知识，化为数量关系进行研究，这就是一种以数辅形的做法.从原则上讲，所有的平面几何问题都可以用这些方法求解，当然仅是可以导致简明优化的解法时才考虑用到这些方法，因为平面几何自身也有一套完美的公理化体系的解法与证法.(2)三角学的崛起体现数与形的“战术性”结合，为数学开辟一个广阔的新天地，三角函数图像问题总是与其性质的研究互相交融，互为补充.(3)解析几何的建立是数与形的“战略性”结合，如讨论直线与圆的位置关系通常转化为讨论圆心到直线的距离与半径的关系，显然是一种以数辅形的做法，如研究直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，由此得出的一系列问题如相切、相交、弦长，面积.最值、对称等的研究完全可以
8、用代数的方法即解析法来解决.(4)向量是数形结合思想的又一重要阵地，向量的坐标表示及其向量坐标解法是以数辅形的好解法，易于操作.以数辅形的主要途径是坐标法，又称解析法，坐标法的基本思想在于几何问题代数化，图形性质坐标化，把有关图形的 问 题“翻译”成相应的代数问题,然后用代数知识进行演算，论证，最后把所得的结果“翻译”成几何图形的性质，以达到求解求证几何问题的目的，坐标法(解析法)的 运 作 路 线 图5-1所示.图5-1坐标法的运作路线当然，以形助数、以数辅形也不是互相分隔的，在常规解题中,有时常把两者结合起来，即既以形助数，又以数辅形，可称之为数形互助，这样的例子很多，让我们不妨从数形结合
9、的观点去开辟解题的新路.第二十二讲实现数形结合的关键是转化数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种重要思想方法，也是一种智慧的解题技巧,数形结合的思想简言之就是代数问题几何化，几何问题代数化，即“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，可以帮助我们找到解决问题的思路和方法.由“形”到“数”的转化彳主往比较明显，而 由“数”到“形”的转化则需要转化的意识，因此,数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.例 I 已知函数/(X)=I%2+3x 1,x 6 R,若 方 程/(x)-a|x-l|=0 恰 有4个互异的实数根，则 实 数a的取
10、值范围为.解题策略所给的方程既含参数，又含绝对值符号，恰 有 4 个互异的实数根，求参数的取值范围，用代数的方法直接解是周难的，只有通过转化为不同函数的图像交点问题才能获得结果，难点当然是如何把方程问题转化为函数问题(有时转化的方法不唯一)，关 键点是在定义域范围内较为精确地画出函数的图像，本题中的方程可转化为函数y =|x -1|与 y =|/+3x|有 4 个交点问题，也可转化为函数y =|三 表|与 y =a有4 个交点问题，其中一个函数带有参数，从而构造的两个函数一动一球直观易解.解法一 显 然 a 0,用数形结合的方法，分别作出函数y =a|x -1|与 y =|/+3x|的图像，两
11、图像一动一静，如 图 5-2(a)所示，当y=-a(x-1)与 y =-炉一 3%相 切 时 a =1,此 时 f (x)-a|x -1|=0 恰 有 3 个互异的实数根，显 然 当 0 a 9 时，方 程 有4个互异的实数根.综上，实 数a的取值范围为0 a9.解 法 二 显 然 彳 1,二。=|等|.令 t x-1,贝 a =卜 +f +51.4.(o o,-4 U 4,4-o o),4 _*t +5 6(8,1 U 9,4-00),如图 5 3 所不.|t +5|e 0,4-00),结合图像可得 0 a 9.(a)图 5-2(b)图 5-3例 2 在平面内，定 点A.B,C.D满足|而|
12、=|而|=|比|,万 葭 丽=而尻=DC-DA-2,动 点P.M满 足A P=1,PM=M C,则BM2的最大值是().43 n 49 0 37+6 代 卜 37+233A.D.-C.-D.-解题策略 可通过发散思维构造符合题意的图形，在新的图形背景下获得较多的解法.解法一由题意，|五|=|而|=|沆|可知，D至A,B,C3点的距离相等，。是AABC的外心，D AD B =B-DC=DC-DA =-2 D A B-O B D C =DB.(DA-DC)=DB-CA =0,.-.DB 1 A C,同理可得DA 1 BC,DC 1 A B,从 而D是4 AB C的垂心，.,ABC的外心与垂心重合，
13、因 此 AABC是正三角形，且D是AABC的中心，M-D B =DA DBcosA DB=|而|而|x(-)=-2 =|而|=2正AAB C的边长为2遮.yk以A为原点，建立直角坐标系，B,C,D三点坐标分别为/C 0 0B(3,-V3),C(3,V3),0(2,0),如图 5-4 所 示.由|W=l1 S P 点坐标为(cos。,sin。),其中。0,2兀)，/?而 丽=就，即 M 是 P C 的中点，.点 M 的 坐 标 为 一 X.O)(3+cosJ 施+s in 6)n8(3,-V3)则 丽 产=中 尸=g 92=37+12S：(T)图5一 4哼=今 当 9=午 2 时,I前 晨 得
14、最 大 值 今 立 选 B.警三由DA =|DB|=|D C|知，点A,B.C在 以 点D为圆心的圆上，设圆的半径为r,由DA -DB=丽 DC=DC-DA =-2,得 r2cos Z.A DB=r2cosZ.BDC=r2cosZ.CDA=-2,得r=2.以 点D为原点，以D A所在直线为x 轴建立直角坐标系，如 图 5-5 所示，易 求 得/l(2,0),B(-l,V 3),C(-l,-V 3).由|万|=1 知，动 点 P 在 以 4 为圆心，半径为1 的圆上，故可设 P(2+cos0,sin6),其中 6 e 0,2T T),又由 PM=MC知 点M为PC的中点.:.BM=8C+CM=B
15、C+：CP=8C+；(8P-BC)=+明,而 BC=(0,-2 7 3)=(3+cos 6f sin 0-V3),=|(3 +cos 6,sin 6 3V3),:.B M2=1(3+cos 0)2+(sin 0-3V3)2=J(37+6cos0-6V3sin9)=；(37+12cos(0+外 (；x(37+12)=*故选 B.解 法 三 如 图 5-6 所 示,万 晨 而=丽反=沆石?，。是 A BC 的垂心，又 v DA =DB=DC.A BD=BCD 三3 A C D,由 万丽=-2,A DA =2V P M =MC,M是PC中点，取AC中 点N,联结M B,M N,B N.丽=市 B M
16、=丽 +丽 B M2=丽2+丽2+2|丽 .丽|c o s 丽，丽)=32+Q)+2 x3 xc os(B N,NM)当且仅当丽与丽同向共线时，|前 有 最 大 值 为 系 故 选B.解 法 四 由 题 意。是 正 A B C 的中心，且 DA =DB =DC =2,|4|=CA =B C =26设B(-V3,0),C(V3,0)M(0,3),由 丽=就知M为线段PC的中点，设M(x,y),则P(2 x-y/3,2 y),由 A P =1,得(2 x-V3)2+(2 y-3)2=1,即点 M 的轨迹为圆(x-y)2+(y-|)2=;,圆心为N g,|).于 是 B M 的最大值为|BN|+；!
17、故 丽的最大值为y.4例 3 已知 0 a ,0 6 ；,求函数 z =(乃s i n a -3t a n Q)2+(后c o s a -c o t夕 产 的最小直 解题策略本题是双变量三角函数最小值的求解，结构复杂.难以直接求解,不妨借助于图形去探索，去开辟新路，核心问题就变成如何以形助数,如 何 把 数”的问题转化为“形”的问题并通过对形的分析解决数的问题.解：设 x =V6s i na,y=/6c o sa,且 0 a 0,y 0);又设 x=3t a n/7,y =3c o t j 8,且 I c0 /?0iy 0),于是函数Z的几何意义为曲线G上的点与曲线c2上的点之;尸-7间距离的
18、平方，从 而“数”的问题转 化 为“形”的问题，距离/的平方，从 而“数”的问题转化为“形”的问题，如 图5-7所示，设过圆心的直线y =x与曲线G G分别交于4 B两 图5一7点，由图知4 B的平方为Z的最小值，即Zm i n =(0B-。4)2=(3V2.V6)2=12(2-V3).例4(2 019年高考数学江苏卷理科第1 4题)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,/(%)的周期为4,g(x)的周期为2,且/(x)是奇函 数.当x e(0,2时，f(x)=7c(x +2),0 x 0.若在区间(0,9 ,关 于x的方程/(%)=g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是 解题
19、策略 本题考查函数的图像与性质、函数与 t方程、直线与圆的位置关系，解题的突破点是数形 图5一8结合思想的灵活应用，以形助数,首先要找到“形”，而要准确地找到形”，则首先要把函数的性质“吃透”，只有顺顺当当地画出图形，才能精确 解 决“数”的问题.解：当 x (0,2时，y =/(%)=V l-(x-l)2,即(%-1)2+y 2=1 y0,即函数 f(x)表示 以(1.0)为圆心,1 为半 径 在x轴上方部分的半圆，又/(X)是 奇 函 数 且 周 期 为 4,可画出 函 数/(x)在(0,9上的图像，再在同一坐标系中作出函数g(x)在(0,9上的图像，关于x 的 方 程/(x)=g(x)在
20、(0,9上 有 8 个不同的实数根，即两个函数图像在(0,9有 8 个不同的交点.如图5-8 所示.则 函 数 g(x)与/(X)在(0,1的图像有2 个不同的交点，当 直 线 g(x)=k(x +2)经过点(1,1)时，f c =1.当直线 g(x)=/c(x +2)与 半 圆(x -l)2+y2=l(g 0)相切时，瑞=1,解 得 k=?(舍负)，所 以k的取值范围是百争.第二十三讲数形转化和知识板块之间的转化相交融数形转化的关键是构造法，数转化为形，即根据所给代数式的结构特征,构造出与之相对应的几何图形用几何方法来解决代数问题;形转化为数，即用代数方法研究几何问题，这是解析几何的基本特征
21、,通过数形转化实现了知识板块之间的转化，也开拓了自己的思维视野.例1 求函数y=的最值.解题策略本例给出的函数解析式较为复杂(既含偶次根式，又是分式)，若拘泥于代数方法解必然产生心理障砧，所以对本题的分析必须再深入一步，有 意 识 地 从“数“和 形 两个方面进行感知活动，促 使“数 与 形 之间的转化，由 喑 底 可 联 想 到 直 线 的 斜 率 公 式k=纥=则一个函数求最值的问题立即转化为解析几何中面问题.xlx2解：土 黑 土 可 看 作 点 4(3,2)与 动 点 8(一居丘二正)的连线的斜率.而点B在半圆x2+y2=l(y 0)上，故原题即求点4(3,2)与 半 圆x2+y2=l
22、(y 0)上的点 V n/的连线的斜率的最值，如 图 5-9 可知，当 8为 Bi(l,0)时，A B斜率最大，为%a x=1；当力B 切 半 圆 于B2时，7V/A B的斜率最小,设此时A B的斜率为k,A B的方程为y-7 、/2=k(x-3).1o-彳-x由 10821=制=上 得 卜】=竽(舍 去)，的=字-图 5-9故 m a x =Lm i n =例 2 关 于 x 的二次 方 程x2+z1x+z2+m =0中，Zi，Z2，m 都是复数，且 z f -4z2=16+20i,设这个方程的两个根a.p满 足|a-/?|=2V7,求|相|的最大值和最小值.解题策略复数与复平面上的点以及以
23、原点为起点，该点为终点的向量三者之间建立了一一对应关系，求复数问题可以转化为向量的运算来解，也可以转化为复数方程的几何意义来解这就是代数问题几何化的解题策略，它的优点是直观，避免了慧杂元长的计算与推理，本例中根据a,6是关于x的二次方程x2+z1 X+z2+m =0两根的条件，结 合Z1与 z2的关系把|a-=2 V 7 转化为关于m的方程，利用方程的几何意义求|利 的最大值与最小值，解法既直观又简捷.解：由韦达定理得 a -/?|2=|(a +B)2 4a/?|=|z f 4z2 4 m|=14m (z f -4Z2)|=28.v z f -4Z2=16+20i,1 4 m -(16+20i
24、)|=28,|m (4+5i)|=7如 图 5-1 0 所示，复 数m的对 应 点M在 以（4,5）为圆心,7 为半径的圆上.l l m a x =7+V41,|m|m i n=7-V41.例 3 设 x 0,y 0,z 0,求证：yjx2 xy+y2+yjy2 yz+z2 Vz2 zx+x2.解题策略若用代数求证，必然要去根号，乘方后次数会很高，不容易获证.注意到x2-xy+y 2=+y 2-2x y c o s 60。，显然表示为以x,y 为边夹角为60。的三角形的第三边的平方（余弦定理可得），于是这道不等式证明题立即转化为几何问题,即构造四面体“模型”解题.证 明 由 题 设 x 0,y
25、 0,有孙+y 2=J/+y 2 _ 2x y c o s 60。,由余弦定理，此式表示 以 x,y 为边所夹角为60。的三角形的第三边，同 理y/y2-yz+z2,Vz2-zx+x2也有类似的几何意义.这样，我们构造出顶点为。的四面体。一 ABC,如 图 5-1 1 所示.使 AO B=乙 BO C=Z.CO A=60,O A=x,O B=y,O C=z,则有 AB=x2-xy+y2,BC yjy2 yz+z2,CA=jz2 zx+x2.图 5 一 11四 面 体。一 4 8。的底面是 A A B C,有 A B-B OAC.即 y/x2 x y 4-y2+yjy2 yz-V z2 Vz2
26、z x +%2.例 4 已 知 a 0,b 0,3 +0,d 0),过 定 点 这 是 解 决 本 题 的 一 个 突 破 口，结 论a +b-VT b?可以 看 作Rt A OB的内切圆的直径，原问题相当于求Rt A OB内切圆直径的最大值，这是解决本题的另一个视角，可以朝这个方向制订解题方案.解:将f+；=2变形，得、+4=1,可以看作是直线+=l(a 0,b 0)过定点如图5-1 2所示.显然有，a =|。4|=苧+|c o t 9,b =0 B=|+y t a n 0,-1 V3A yja2+b2=AB =PA +PB =+-图 5-12Zs m 8 z c o s 8故 a +b 一
27、 庐 而=(4+Tc o t e)+G +4 t a n。)一 高 +嘉V3+1 c o s 0-1 V3(s i n 6-1)2+2s i n 6.2c o s 0_ V3+1=2-n.2 e 内(Q O 2s i nz 2-V3(c o s 2-s i n 2+4.9 e+c 70 .764s i n 2 c o s 2c o sz)s i nz)2遮+1 2-s i n 4-V3c o s y-s i n 2c o s 2 2c o s 2+s i nV3+1-21 e2tan2+一/31 t a n z21+t a n 1V3+1-2-1/0-(t a n-+2 2V3(l +t a
28、n|)-2V321+t a n I=V 3+l-1(tan|+l)-V 3774=V3+1-21(/吗0+1)+-V-3-a7 1+t a n*=V3+1 V12,当 且 仅 当*吟+1)=&，即tanf=V i2-l时a +”必 不 庐 取 得 最 大 值遍+1-V 1 2第二十四讲以数辅形三大法宝(代数法、解析法、向量法)以数辅形代数法，通常由题设构建函数模型并结合其图像解决求参数的取值范围，研究方程根的范围，研究量与量之间的大小关系，研究函数的最值问题和证明不等式;以数辅形解析法就是运用代数的方法研究几何问题，借助几何轨迹所遵循的数量关系.借助运算结果与几何定理的结合;以数辅形向量法就是
29、通过向量坐标的代数运算研究图形问题.数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势，“形”有直观、形象的特点，但代替不了具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是其真正的主角,若忽视这一点，很容易造成对数形结合的误用，务必引起注意.例1当 正 数a为何值时抛物线y=9 +4与 椭 圆 捺+3=1有4个不同的交点.解题策略本例是一道解析几何常规题，一般情况下，判断曲线交点的个数问题可以通过几何直观得到，但几何直观得到的结论是否一定正确，需要通过代数推理加以严格证明.由题意，作出椭圆与抛物线的图形如图5-1 3所示,由图可知只需a 4即 可 保 证 有4个交点，反之，有4个
30、交点是否一定要a 4?而本例要求的是充要条件，一般情况下，仅从图形直观出发得出的结论，常常是片面的，不严密的，只有通过代数运算，推理得到的结论才是正确无误的，我们讲“数形结合”应当从数与形两个维度思考问题，深刻领会华罗庚先生所讲的”数无形时少直观，形少数时难入微”的内涵.解:将抛物线与椭圆方程联立，得 一 二7+“一仁+尹1.消 去X得 关 于y的二次方程a2y2-36y+(144-9a2)=0.图5-13两 曲 线 有4个交点，等价于关于y的 二 次 方 程a2y2-36y+(144-9a2)=0在(-3,3)内有两个不同的解.记f(y)=a2y2-36y+(1 4 4-9 a2),使 方
31、程/(y)=0在(-3,3)内有两个不同解的充 要条件是3)0,八一3)0,-3 费3,f偿)g+1.例2设 线 段AB两端点在抛物线y2=x上移动，M为 线 段AB的中点，|4B|=a(a为 大于零的常数)，求M到y轴的最短距离.解题策略本例解题时易走入如下误区：如 图5-1 4所示，设F为抛物线的焦点，分别过A.B.M向抛物线的准线引垂线，垂足分别为则由A F+BF A B,结合抛物线的定义及梯形中位线的性质，得加8 ,所 以|M M i|的 最 小 值 为I从 而M到y轴的最短距离为7-72 4上述解法是错误的,所给的图形并不能反映问题的本质，这是因为，过抛物线焦点的最短弦是抛物线的通径
32、，只 有 在al时，才符合以上的解法，而 当0 a 0 时，yi+丫 2=m.所以 xi+x2=(m%+n)+(my2 4-n)=m2+2n设M到 y 轴的距离为d,则 d=&券=9+九 又 AB =a,所以(/+l)(m2+4n)=a?,得 n=-m2所 以 d=乂 岛+用=乂 岛+标+1-1),设 t=m2+1 1,则 d=U+t -l)，当 0 a 1 时，得 d=：C+t-1)在口+8)上是增函数，所 以 当 t=1 时，dm in=9.故 当 0 a 2解 法 四,P A +PB+PC=0,贝 IJ(O A-O P)+(O B-O P)+(O C-0 P)=0,.OP=i(4 +O
33、B+O C)=(2,2),0 P =2V2(2)解 法 一v OP=m A B +nA C,(x,y)=(m+2n,2 m+8),二；二 rn+n 两式相减得，m-n =y-x,令 y-x=t.如图5-1 7所示，当 直 线y=x+t过 点S(2,3)时，t取得最大值1,故m f 的最大值为1.解 法 二 由解法一知m-n =-x+y,令d为 点P(x,y)到直线-x +y=0的距离，贝IJ d=个“，由 图5-1 7知 点B和 点C到V2直 线y=X的距离最大，最大值为日，即d=上 詈 当,:.-x+y 0)4与 函 数、=|1咤2幻的图像从左至右相 交 于 点A,B,l2与 函 数y=|l
34、og2x|的图像从左至右相交于C,。，记 线 段AC和B D在x轴上的投影长度分别为a,“当 血 变 化 时，T的最小值为().A.16V2 B.8V2 C.16 D.8 解题策略第问,对于求分段函数最值问题，可在相应定义域内作出分段函数的图像，借助函数图像直观地得出函数的最大值和最小值或判断无最值.第问考查对数函数图像与性质的综合应用，理解投影的概念并能把问题转化为基本不等式求最值是解决问题的关键.解：(1)函数/(x)=m a x|x +l,x2-2x +2j 是两个函数 y=|x +l|与 y =/-2x +：同一个x取得的两个函数值的较大的值,在同一直角坐标系中作函数y =|生+1|与
35、函数y =x2-2x+l的图像，函 数/(%)的图像为图中实线部分(如图5-1 8所示).令*2-2x+(=x +1,得 x =i或 x =|,由图像可知，当X=:时，f(X)的最小值为|,故f(x)有最小值1.但没有最大值，故 选 C.在同一坐标系中作出y=m,y=0),y =|l o g2x|的图像如图5-1 9 所示，由|l o g2x|=m,得/=2 m,x2=2m,|l o g2x|=高，得 与=2-岛，久 4=2就，依照题意得a =k i -x3,b =x2-x4得a =2-m-2 2+i,b =2m-2高b8.8=2m-22m+l=2 2 m+l图5 T 9因 为 血+焉=小+扑
36、 人 后 4 一 巨 3:所 以 g)m.n=8V2,故 选 B.例 2(1)求 y =窘学的最大值与最小值；5 s i n x(2)已 知/+y 2 0,求 誉 的最大值与最小值.解题策略第(1)问，根 据y =式 黑 和k =甘 形 式 上 的 特点，构造动点o-s i n x%21?l(s i n x,-5s i n x),定 点8(3,2),则原问题求y的最值转化为求kA B的最值.这就是通常所说的”图形的构选”，是数形结合思想的抓手之一；第(2)问，且表示半圆域，空表示半圆域上的动点P(x,y)与定点-1,-4)连线的斜率，问题迎刃而解.解:(1)据斜率公式k =纪 在 构造两个点，
37、即必 一41A(s i n x,-5s i n x),B(3,2).把点/(s i n x,-5s i n x)视为直角坐标平面a O b内的一个动点，这时=s空，由此可得b=-5a(-l Q(1),如 图5 2 0所不.b=-5a(1 a 1)的图像是线段端 点4,4 2的坐标分 别 是(一1,5)和(1,一5),点4在线段上移动，直线的斜率为服1 8=芸=-右直 线A2B的斜率为kA 2B=芸=1y刚好是直线AB的斜率，.y的最大值为kA 2B=p最小值为%怛=一(2)如 图5-2 1所示，不等式x2+y2 0)表示半圆域.设 鬻=乂 誓表示半圆域上的点(/y)与 点(-1,-4)连线的斜
38、率，当直线过点(0,2)时，有(胃)=6,当直线在圆的切线位置时,x+i/m a xk值最小，由 点(0,0)到切线的距离等于半径，得耨=-4+2 g3 2 借）m i n =例3已知平面向量区网4 4 6 4 4门 满足加I =1,且日与日一日的夹角为120。，则|5|的 取 值 范 围 是；(2)设抛物线y2=2 x的焦点为F,过 点M(V3,0)的直线与抛物线相交于A.B两 点，与抛物线的准线相交于C,BF=2,则4 B C F与4 AC F的面积之比四=()A CF 解题策略 第 问，如 图5-2 2所示，易知点C在圆弧上运动且4ACB=60。，在 A BC中结合正弦定理及正弦函数的有
39、界性可得向的取值范围；第(2)问，应结合图形，将面积比转化为线段长度之比，再根据抛物线定义转化为坐标运算.解:(1)令 衣=而，耳=荏，如 图5-2 2所示，|希|=1,点C在圆弧上运动，A CB=6 0。.设“BC=。，由 正 弦 定 理 知 肃=悬2 0 273 a =-s i n e 0,得 m -=64-4（1+焉由 3+：?2=1 得（1+短）/一 6+63=0A=2 5 6-4 x 63（1+力）0彳 导 m 1 或k 一1例 2 关 于x的方程V3sin2x+cos2x=/c+l 在 o图内有两相异实根，求k的取值范围.解题策略与三角函数有关的方程根的问题,常借助三角函数图像求解
40、，本题将方程左边化为只含一个角的一种三角函数形式.作出该函数在 0,外 上的图像，而y =k +i是一条平行于%轴的动直线，在运动过程中与三角函数y =V3s i n 2x +c o s 2x,x e o,当有两个不同交点时求k的取值范围.解：国s i n 2x +c o s 2x =2s i n(2x+),在同一直角坐标系中作出函数y =2s i n(2x +.),x 咽 和丫=卜+1的图像如图5-2 6所示.由图像可知当l4 k+l 2,即O4 k O,a2-2ab+c2=O,bc a2,试比较实数a,b,c的大小关系.【解题策略】本例可转化为函数图像与不等式表示的区域，以形助数;然而光靠
41、图形尚不能比较a,b,c的大小，还需要作差比较，即以数辅形.数形结合的思想方法的实质是将抽象的数学语言和直观图结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用.通过对数与式的运算和变换,将图像的特征及几何关系刻画得更准确、更精细，这样就可以使抽象概念和具体形象相互联系、相互补充、相互转化、相互作用，最终解决问题.【解】由一2次?+。2=0=b =，-C-2+=，则 点（c,6）是 抛 物 线 旷=-工2+;上 的 点，由2a 2 2a 2,9 ci 2ab+c 0,儿 。,可 知（c,Z?）是 肛=6 T上方的点，故满足 的点（c,b）应为阴影内的h c a抛物线上除去（a,a）的点，c
42、a,h a，这就是数到形的转变的结果（如图5-3 0所示）。而b,c的大小关系要用代数的方法解决。h c=c+c （c-+2Q C）=（c Q）0,b c c i.2a 2 2a 2a图 5-30【例 2】已知集合 A =（x,y）|y 2=x +l,x,y e R ,B=（x,j）|4x2+2 x 2y +5=O,x,y w R ,。=（%丁）仅=依+乩 乐 丁 6 火,是否存在正整数攵和力使得（4 =3）门。=0?若存在，求出女和力的值；若不存在，请说明理由。【解题策略】数形结合的思想简言之就是代数问题几何化、几何问题代数化，充分体现图形的直观性、代数推理的合理性，解题时注意不能用图形的直
43、观代替严密的逻辑推理，本例的解题策略归结起来就是:数形兼顾求参数值.【解】画 出 4/+2x 2y +5=0 和 y 2=%+1 的图像，它们分别与y轴正半轴相交于点（0,|）和（0,1）（如 图 5-3 1 所 示）,要 使（A U B）n C=0,就是要直线与上述两条抛物线均无交点，这时 b e(l,|),-b eN,.-.b =2而且方程组y =Ax +2,y1=x+l,y=kx+2,和 c4x2+2 x-2 y+5=0,均无实数解。把代入得k2x2+（4左 一 l）x +3=0。把代入得2/+（1-Q x+L =o。2由4 =4k2-8/c +1 0,/B,A2=f c2-2/c -3
44、 0,行1-y k 1+y,-1 f c 0,4k+a-J(41+a)2-16J2 _ _ tM =-2K-1,2x,=4人 a +(4Z+)2 止 Q+l,2解此不等式组求得a的取值范围，但是运算量实在太大，故不能选择这种烦琐的解法，应考虑数形结合的解法，而实现数形结合的关键是构造.可把问题转化为求y =(x-2k)2,xe人,k eN与丫=a*有两个交点时a即直线y=a x斜率a的取值范围，也可以通过分离变量，将方程转化为另一类函数模型，寻求问题的几何意义，当然，若设x)=x 2-(4左+a)x +4公,利用根的分布定理求解也是一种不错的选择.【解】：2是/(%)的周期，当f c ez时，
45、2 k也 是/(%)的周期又当 x e 4时，(x -2k)G Io,.-./(X)=/(x -2k)=(x-2k产即 对k e Z,当X e 时J(x)=(x-2k产【解法一】(转化为求直线y =a x斜 率a的取值范围)方 程f(x)=a r,即(一2幻2=以 有 两 个 不 等 实 根，Xe(2k-l,2k+l,k e N。令%=(%-2幻2,x&Ik,k e N,y2=a x,如 图53 2所示，在同一坐标系中分别作出弘，力 的图像，力的图像是过原点，斜率为a的直线，方程有两个不等实根的充要条件是在图像有两个不同交点，见 图5-32,当()a J(左e N)时两图像有两个不同交点.从而
46、，原方程有两不等实根时,Mk=Ja O a 2k+y=(x-2ky x%N%=ax2k-2k 2k+x图 5-32【解法二】（分离变量,将方程转化为函数模型，寻求问题的几何意义）联立v =c ix c 4k 2“2 得 f-(4k +a)x +422=0 o 4=x d-4k o 令 y ay =(x 2 K),x4人2g（x）=x +-4k,xw（2A-l,2k +l ,作这两个函数的图像，如 图5-33所示。图像有两x4k2个 不 同 交 点 的 充 要 条 件 是2 d x丁-4Za Km i n g(2攵-l),g(2Z+l)=g(2Z+l)。即0 a -,/.M.=0 a 2 k+2
47、 k+V图 5-33【解法三】（用根的分布理论求解）令/（x）=炉一（4左+a）x +4e则问题转化为了（X）的图像在区间（2k-L2k+l 上与X轴有两个不同的交点，如 图5-34所示,其充要条件是 1 4k+4,2 2 k 1 0,/(2I)0,2%+1)2 0,解得0 a 4,即Mk=a O a 0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A.B两点A B在x轴上的正射影分别为C,D,若 梯 形A B D C的 面 积 为12V2,则p=0【解题策略】本例是典型的圆锥曲线焦点弦问题，可以直接运用代数的方法解，即联立方程组与韦达定理结合是常规思路，但是也可以数形结合，这是因为焦点弦问题必须考虑
48、圆锥曲线的几何特征，借助几何法解题较为简单，可起到事半功倍的效果.【解法一】直线 A B 方程为 y =x +|,设(Xi，y i),B(x2,y2).由，JV7 X d-,2 2 22 得x -2 px-p=0,X)+x2=2p,Xj%2=-pX2=2 py,故 S=J x+2 Hx i 一 犬21=；(手 +尹-|Z Z 2P 2P=(x,+x2)2-2X X J(X +x,)2 4%2=3血/4 又 S=1 2 5:.3应p2=120,得 p?=4,又 p 0,.-.p=2。【解法二】如 图 5-35所示，由几何关系，设直线AB的倾斜角为0,根据抛物线定义,A F=p-A F s m e
49、,AF=已 ,BF=p+BFsm O,BF=-,1 +sin。1 一 sin。r.A5=+=-又 S -(A C +B D)-C D -(A F +B F-)AB cos0cos-0 2 2 2 2=g (A3 一 p)AB cos 6直 线AB斜率为i.e=%将 e=*代人得,s=：(4p-p)乎华=1 23 a p 2 =12V2,得 p2=4.又 p 0,:.p=2,故填人 2.第 二 十 八 讲“构造法”是数形结合的桥梁实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图像的对应关系;曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景建立起来的数学概念,如三角函数、向量等
50、;所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，如斜率、截距、距离等.数转化为形或形转化为数有时并非很容易,常常需要借助“构造法”，即通过对等式或代数式的分析构造出相匹配的几何图形，通过几何图形相应元素的关系使原问题解决,或从所给的形中提炼出数量关系，通过运算或推理使原问题解决，总而言之，“构造法”是数形结合的桥梁.例1 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，。为 原 点，yi(-l,0),e(0,V3),C(3,0),动 点 D满足=1,则|。4+0 8 +0。|的最大值为 o【解题策略】本 题 条 件 是 给 出3个 定 点 和1个 动 点D.动 点D满 足。卜1可知其轨迹是确定的.求|。4+