2022年高考数学数形结合的思想方法---应用篇真题精选 2.pdf

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1、数形结合的思想方法 (1)-应用篇一、 知识要点概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法

2、，称之为数形结合的思想方法。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形 ：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点 ：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线

3、的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。二、 解题方法指导1转换数与形的三条途径： 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。2运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。“由数化形”：就是根据题设条件

4、正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。三、 数形结合的思想方法的应用(一) 解析几何中的数形结合解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、 解决问题的目的 . 1. 与斜率有关的问题【例 1】 已知：有向线段 PQ 的起点 P 与终点 Q 坐标分别为P （-1， 1） ， Q

5、 （2， 2） .若直线 lx+my+m=0与有向线段PQ 延长相交，求实数m 的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页解：直线l 的方程 x+my+m=0 可化为点斜式：y+1=-（x-0），易知直线l 过定点 M（0，-1），且斜率为 - . l 与 PQ 的延长线相交，由数形结合可得：当过M 且与 PQ 平行时，直线l 的斜率趋近于最小；当过点 M、Q 时，直线l 的斜率趋近于最大. 【点评】 含有一个变量的直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点的直线系方程.本题是化为点斜式方程后，可看出交点M（

6、0，-1）和斜率 -.此类题目一般结合图形可判断出斜率的取值范围. 2. 与距离有关的问题【例 2】求： y=（cos -cos+3 ）2+（sin -sin -2）2的最大（小）值. 【分析】可看成求两动点P（cos ，sin ）与 Q（ cos -3，sin +2 ）之间距离的最值问题. 解：两动点的轨迹方程为：x2+y2=1 和（ x+3）2+（ y-2）2=1，转化为求两曲线上两点之间距离的最值问题 .如图：3. 与截距有关的问题【例 3】若直线y=x+k 与曲线 x=恰有一个公共点，求k 的取值范围 . 解：曲线x=是单位圆x2+y2=1 的右半圆（ x0 ）， k 是直线y=x+k

7、在 y 轴上的截距 . 由数形结合知： 直线与曲线相切时， k=-， 由图形：可得 k=-， 或-1k 1.4. 与定义有关的问题【例 4】求抛物线y2=4x 上到焦点F 的距离与到点A（3，2）的距离之和为最小的点P的坐标，并求这个最小值. 【分析】要求PA+PF 的最小值，可利用抛物线的定义，把PF转化为点P 到准线的距离，化曲为直从而借助数形结合解决相关问题. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页解： P 是抛物线 y2=4x 上的任意一点，过P 作抛物线的准线l 的垂线，垂足为D，连 PF （F 为抛物线的焦

8、点），由抛物线的定义可知：. 过 A 作准线 l 的垂线，交抛物线于P，垂足为 Q，显然，直线AQ 之长小于折线APD 之长，因而所求的点P即为 AQ 与抛物线交点 . AQ 直线平行于x 轴，且过A（ 3，2），所以方程为y=2，代入 y2=4x 得 x=1. P（1，2）与 F、A 的距离之和最小，最小距离为4. 【点评】（1）化曲线为直线是求距离之和最有效的方法，在椭圆，双曲线中也有类似问题. （2）若点 A 在抛物线外，则点P即为 AF 与抛物线交点（内分AF）. (二) 数形结合在函数中的应用1. 利用数形结合解决与方程的根有关的问题方程的解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数

9、与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化. 【例 5】已知方程x2-4x+3=m 有 4 个根，则实数m 的取值范围. 【分析】此题并不涉及方程根的具体值，只求根的个数，而求方程的根的个数问题可以转化为求两条曲线的交点的个数问题来解决. 解：方程x2-4x+3 m 根的个数问题就是函数y=x2-4x+3 与函数 y=m 图象的交点的个数. 作出抛物线y=x2-4x+3=（x-2）2-1 的图象，将x 轴下方的图象沿x 轴翻折上去，得到y=x2-4x+3 的图象，再作直线y=m，如图所示： 由图象可以看出，当 0m1 时，两函数图象有4 交点， 故 m 的取值范围是 （0，1）. 数形结合可用

10、于解决方程的解的问题，准确合理地作出满足题意的图象是解决这类问题的前提. 2. 利用数形结合解决函数的单调性问题函数的单调性是函数的一条重要性质，也是高考中的热点问题之一.在解决有关问题时，我们常需要先确定函数的单调性及单调区间，数形结合是确定函数单调性常用的数学思想，函数的单调区间形象直观地反映在函数的图象中 . 【例 6】确定函数y=的单调区间 . 画出函数的草图，由图象可知，函数的单调递增区间为（- ， 0， 1， ），函数的单调递减区间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页为 0，1. 3. 利用数形结合解决比

11、较数值大小的问题【例 7】已知定义在R 上的函数y=f（ x）满足下列三个条件：对任意的xR 都有 f（x+4）=f（x）；对任意的0 x1x22 ，都有 f（x1）f（x2）； y=f （x+2）的图象关于y 轴对称 .则 f（4.5）， f（6.5）， f（7）的大小关系是. 解：由： T=4；由： f（x）在，上是增函数；由：f（ x） f（x），所以f（x）的图象关于直线x=2 对称 .由此，画出示意图便可比较大小. 显然， f（4.5）f（7）f（6.5）. 4. 利用数形结合解决抽象函数问题抽象函数问题是近几年高考中经常出现的问题，是高考中的难点.利用数形结合常能使我们找到解决此类

12、问题的捷径. 【例 8】 设 f（x），g（x）分别是定义在上的奇函数和偶函数，在区间a，b（ ab0，且 f（x） g（x）有最小值.则函数y=f （x） g（x）在区间b，-a上（）. . 是增函数且有最小值 . 是减函数且有最小值 . 是增函数且有最大值 . 是减函数且有最大值【解析】f （x）g（x）+f （x）g（ x）=f（ x） g（ x） 0. y=f （x） g（x）在区间 a，b（ abax 的解集是 x|0ax 的解集是 x|0 x 4 ，即要求半圆在直线的上方，由图可知a0，所以选 . 【点评】本题很好的体现了数形结合思想在解题中的妙用. 【例 10】 若 x（，）时，

13、不等式（x-1）2logax 恒成立，则a 的取值范围是（）. . （0，1）. （，）. （，. ，解：设 y1=（ x1）2（ 1x2）， y2=logax. 由图可知若y1y2（1x1. y1=（x-1）2过（，）点，当y2=logax 也过（，）点，即a=2 时，恰有 y1y2（1x2 ） a2 时（ x-1）20），那么不等式 xf（x）0 的解集是（）. . x|0 xa. x|-axa. x|-axa. x|x-a 或 0 x0），可得到 f（x）图象，又由已知xf（x）0，可知 x 与 f（x）异号，从图象可知，当x（ -a，）（ a，+）时满足题意，故选. 【例 12】 设函

14、数 f（x） 2，求使 f（x） 的取值范围 . 【解法】由f（x） 得 2 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页易求出 g （x）和 h（x）的图象的交点立时，x 的取值范围为 ，+）. 【解法 3】 由的几何意义可设1（，），（，），（x，y），则，可知的轨迹是以1、为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为 （，），由双曲线的图象和x+1x-1 知 x . 【点评】本题的三种解法都是从不同角度构造函数或不等式的几何意义，让不等式的解集直观地表现出来，体现出数形结合的思想，给我们以“ 柳暗花明 ” 的解题情境 . （

15、四） 运用数形结合思想解三角函数题纵观近三年的高考试题，巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问题，可以简化计算，节省时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果. 【例 13】函数 f（ x）=sinx+2sinx ，x， 的图象与直线y=k 有且仅有个不同的交点，则k 的取值范围是. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页【分析】本题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得出答案，在有时间限制的高考中就能大大地节约时间，提高考试的效率. 解：函数f（ x）由图象可知：1k3. 【例 14】当 0 x时，函数f（x）的

16、最小值为（）. . . . . 解： y=则 y 为点（，）与点（sin2x，3cos2x）两点连线的斜率，又点的轨迹方程（0），即 x2+（ x0），如图，当过点的直线ly=kx+5与椭圆 x2+（ x0）相切时， k 有最小值，故选. 【例 15】若 sin +cos =tan （0），则 （）. 解：令 f（x）=sinx+cosx=sin（x+ ）（ 0.再令 ，则 sin+cos= .366，tan=1.7321.367 ，由图象知xP 应小于.故选 . 【点评】本题首先构造函数f（x）， g（x），再利用两个函数的图象的交点位置确定，淘汰精选学习资料 - - - - - - - -

17、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页了、两选项，然后又用特殊值估算，结合图象确定选项，起到了出奇制胜的效果. 【例 16】 已知函数f（x）是定义在（，）上的奇函数，当0 x3 时 f（x）图象如下图所示，那么不等式f（x） cosx0 的解集是（）. 解：函数 f（x）定义在（，）上，且是奇函数，根据奇函数图象性质可知，f（ x）在（，）上的图象如图所示，若使f（x）cosx1 时，关于x 的方程 ax=logax 无实解 . ”正确与否. 错解：在同一坐标系中分别作出函数y=ax 及 y=logax 的图象（ a1）（如图 1），可见它们没有公共点，所以方

18、程无实解，命题正确. 【评析】实际上对不同的实数a，y=ax 和 y=logax 的图象的延伸趋势不同 .例如当 a=2 时，方程无实数解；而当a=时， x=2 是方程的解.说明两图象向上延伸时，一定相交，交点在直线y=x 上 . 2、注意图象伸展“ 速度 ”【例 20】比较 2n与 n2的大小，其中n2 ，且 nN+. 错解： 在同一坐标系中分别作出函数y=2x及 y=x2的图象 （如图 2）. 由图可知，两图象有一个公共点. 当x=2时，2x=x2；当 x2 时， 2x2，且 nN+时， 2nn2.错因是没有充分注意到两个图象在x2时的递增 “ 速度 ” ！要比较两个图象的递增速度，确实很

19、难由图象直观而得.本题可以先猜想，后用数学归纳法证明 . 本题的正确答案是当 n=2、4 时， 2n=n2；当 n=3 时， 2nn2. 证明略 . 3、注意数形等价转化【例 21】已知方程x2+2kx-3k=0 有两个实数在 -1 与 3 之间，求k 的取值范围 . 错解：令f（x） =x2+2kx-3k ，结合题意画出图象3 中的（ 1），再由图象列出不等解略 . 【评析】事实上，不等式组（*）并不与题意等价，图象3中的（ 2）也满足不等式组（*），但两实根均精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页大于 3，还可以

20、举出两实根均小于-1 的反例 .若不等式组（*）与图3 中的（ 1）等价，需加上条件-3kb0）有四组实数解，求a、b、 m 应满足的关系. 错解：已知方程组中的两个方程分别是椭圆和抛物线的方程，原方程组有四组实数解等价于椭圆与抛物线有四个不同的公共点.由图 4 知， m-b，且a，即 -a2m-b. 【评析】观察图象过于草率！事实上，图5 也是一种可能的情形，即当=a 时，仍有可能为四组解.例如当a=2，b=1，m=-4时，可得解集为： （，）， （，）， （， ） ， （） . 现用数形结合求解：考虑一元二次方程a2y2+b2y-（m+a2） b2=0，令 =0 （即相切情形），解得 m=

21、-，结合图象，注意到 m-b，则 a、b、m 应满足的关系是-m0 时的示意图 . 视角二：由m 0 ，先将原方程变形，得x-1=x，再视方程x-1=x 两边的代数式为两个函数，分别画出函数y=x-1 ，y=x 的图象（如图2），由图易看出：当 01 或-10，即 m1 时，图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根. 视角三：用分离参数法，先将原方程化为=m. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页分别作出函数y=，y=m 的图象（如图3），由图易看出，当m1 时，两函数的图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异

22、实根. 视角四：用分离参数法，先将原方程化为. 当 x0 时，得 1-=，当 x0 时，得 -1-=. 分别作出函数y=，y=的图象（如图4），由图易看出，当01 或-11 或 m-1 时，两函数的图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根. 可见，例1 的各解虽同是数形结合，但大有简繁之分，视角二优于视角一，视角一中两函数中的都含有m，因而他们的图象也是变化的，虽可以通过讨论而获得结论，但讨论时容易因考虑不周而产生漏解，视角三虽看图直观明了，但图象不易作出，而视角四既比视角三作图方便，又比视角二简单，不用讨论，这是因为视角二还有一个函数中含有m，而视角四中已不含m，所以这里以视角四为最理想

23、. 【例 24】已知函数f（x）=ax2+bx 且 2f（1）4 ，1f（-1）2 ，求 f（ -2）的取值范围. 这是我们常出错的题，其代数解法有待定系数法、特征函数法、三角代换法等，而众所周知的数形结合法是线性规划法. 这类问题可看作一个条件极值问题，即变量a、b 在2 a+b41a-b2 这两个约束条件下，求目标函数y=4a-2b 的最大（小）值问题.约束条件2 a+b4，1a-b2 的解集是非空集，在坐标平面上表示的区域是由直线：a+b=4，a+b=2，a-b=2，a-b=1 所围成的封闭图形（图5中的阴影部分）. y 的大小又可以看作直线b=2a-y 在 b 轴上截距的大小，从图中易

24、知当直线b=2a-y 经过 A（，）， C（3，1）时截距分别为最小f（-2）=5 和最大 f（-2） =10. 所以 5f（-2） 10.其实还可有如下数形结合法：要求 f（-2）的取值范围，只要确定f（-2）的最大 （小） 值，即找到 f（x）的图象在x=-2 时的最高点F 与最低点E 的纵坐标，为此只要确定f（x）经过E、F时的函数表达式，由于f（x）=ax2+bx是经过原点（c=0）的抛物线系，所以只要再有两点就可确定，由已知2f（ 1）4 ，1f（-1） 2 ，知 f（ x）在 x=1 时的最高点B（ 1，4），最低点 A（1，2），f（x）在 x=-1时的最高点D（ -1，2），最

25、低点C（-1，1），（如图6），由抛物线的图象特征易知经过F 点的图象就是经过 O、B、D 的图象 C2，经过 E 点的图象就是经过O、A、C 的图象 C1，于是：将 B（1， 4）， D（-1，2）坐标代入f（ x）=ax2+bx 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页解得 a=3，b=1. 故图象经过O、B、D 的函数为 C2f（x）=3x2+x，所以fmax （-2）=10. 将A（1，2），C（-1，1）的坐标代入f（x）=ax2+bx得故图象经过O、A、C 的函数为 C1f（x）=x2+x，fmin（-2

26、）=5. 所以 5f（-2） 10.【例 25】正数 a、b、c、A、B、C 满足 a+A=b+B=c+C=k ，求证： aB+bC+cAk2. 本题的难度较大，用代数方法一时是无从下手的.若能数形结合，揭示其条件a+A=b+B=c+C=k中隐含的几何背景 联想到三数相等的几何图形是等边三角形，则可得如下简捷的证法. 证明：如图7，作边长为k 的正三角形PQR，分别在各边上取点L、M、N，使得 QL=A ，LR=a，RM=B ，MP=b ，PN=C，NQ=c，如果再观察a+A=b+B=c+C=k这个代数条件，从三数相等的几何图形是等边三角形，联想到四数相等a+A=b+B=c+C=k的几何图形是

27、正方形.则又可作边长k 的正方形（图8）. 由面积关系知其结论aB+bC+cAk2显然成立 . 仅举三例， 可见一斑， 不但数形结合的确好，而且同是数形结合，也有不好与好之分，只有把握住 “ 结合 ” 这一数形结合法的核心，才能把在由数到形这一变换、操作过程中的图形选择的多样性，变成解题的灵活性和创造性.在实际学习中要结合具体问题掌握一些常规的操作策略，例如要画的若是函数图象，那就要设法让要画图象的函数尽可能少含参变量， 最好不含参变量，如果一定要含有，也要设法让它在较低次的函数（如一次函数）或在简单函数中含有.只有这样，才能从一个新的层面上去理解、掌握、运用好数形结合法. 【结束语 】 在数

28、形结合法的学习中，我们还应进一步看到运算、证明的简捷化与严格化是密切相关的， “ 数学中每一步真正的进步都与更有力的工具和更简单的方法的发展密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的复杂的东西抛到一边.数学科学发展的这种特点是根深蒂固的. ”“把证明的严格化与简捷化绝对对立起来是错误的.相反，我们可以通过大量的例子来证实；严格的方法同时也是比较简捷比较容易理解的方法.正是追求严格化的努力驱使我们去寻求更简捷的推理方法”.数形结合的思想方法 (2)-高考题选讲数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们

29、能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：“ 数与形本是两依倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微. ”把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页问题过程中 “ 数” 与“ 形” 相互转化的研究策略，就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来. 在使

30、用过程中， 由 “ 形” 到“ 数 ” 的转化， 往往比较明显， 而由 “ 数” 到“ 形” 的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“ 数 ” 到“ 形” 的转化 . 考试中心对考试大纲的说明中强调：“ 在高考中， 充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中， 考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由 形 到 数 的转化为主 . ” 1. 注重图形的内涵与拓展，突出对数字直觉能力的考查【例 1】

31、图 1 有面积关系则由图 2 有体积关系：_. 解：【点评】本题注重考查图形分析能力.思维方式上从平面向空间拓展， 面积与体积类比，直观类比与猜想并举.体现了高考题以能力立意考查注重素质的命题原则. 【例 2】 如图所示，已知椭圆=1 的左、右焦点分别为F1，F2，点 P 在椭圆上，若F1，F2，P是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到 x 轴的距离为（）. 解：以为圆心以1为半径画圆， 可知此圆与椭圆无交点，则12P 中12（或21）为直角，如此求出点坐标即得yp= ，故选 . 【点评】本题以作图直观判断为突破口，直觉与逻辑推理互动，化解析几何问题为平面几何问题，化计算为判断，在理性的高度认

32、识问题. 【例】某城市各类土地租价y（万元）与该地段和市中心的距离x（km）关系如图所示.其中l1表示商业用地， l2表示工业用地，l3表示居住用地.要使各类用地租金收入最高，应将工业用地划在（）. . 与市中心距离分别为3km 和 5km 的圆环型区域上 . 与市中心距离分别为1km 和 4km 的圆环型区域上 . 与市中心距离为km 的区域外 . 与市中心距离为5km 的区域内精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页解：由函数y 的实际意义知：在区间（，）上，即在与市中心距离分别为km 和 km 的圆环型区域上，工

33、业用地的租金大于商业用地的租金和居住用地的租金，为了获取最高的租金，因此这个区域应租用给工业，故选B. 【点评】这道题考查的是阅读理解能力，提醒我们在日常的学习中，要注意训练直觉思维，养成整体观察、检索信息、把握问题实质的良好习惯. 2. 注重绘图，突出对动手能力和探究性学习的考查【例】设奇函数f（x）定义域为，若当x，时，f（x）图象如下图，则不等式f（x）0 的解集是 _. 解：由奇函数的图象关于原点对称，完成f（x）在定义域内的图象，再由f（x）0找出使f（x）图象在x 轴下方的区域，从而得到不等式f（x）0 ，（x，y）xy-n0 ，那么点（，） （B）的充要条件是（）. . m-1，

34、n5. m-1， n5 . m5. m-1， n5 解：先假定点 （，）在直线 2x-y+m=0 和直线 x+y-n=0 上，则 m=-1， n=5.再确定两个不等式2x-y-10和 x+y-50 所共同确定的区域，平移两直线得到答案. 【点评】此题考查了集合、二元一次不等式表示的区域、充要条件等知识.以运动、变化、联系的观点考虑问题，变静态思维方式为动态思维方式，强调辨证思维能力. 3. 注重对思维的灵活性和创造性的考查【例】已知点是椭圆上的动点，1，分别是左、右焦点，为原点，则的取值范围是（）. 解：此题的一种解法是：在1中，根据中线定理得：PF1+PF22P+2F1，再由椭圆定义，得到（

35、 PF1-PF） P，由2 P2得答案 .另一种解法是数形结合，根据点所处精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页的位置对取值的影响来判断出结论.逐渐移动点到长轴端点，P 值逐渐增大，逐渐接近，当移动点到短轴端点时PF1PF，取最小值 0.从而判断出答案为. 【点评】解法二是采用极端性原则变静态思维方式为动态思维方式，把数与形分别视为运动事物在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位置.运用动态思维方式处理、研究问题， 揭示了问题的本质，体现了思维的灵活性 . 4. 注重方法的通用性、应用性，突出能力考查【例 7】电信局为了满

36、足客户的不同需求，制定了A，B 两种话费计算方案.这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如下图所示（MNCD）. （ 1）若通话时间为2 小时，按方案A，B 各付话费多少元？（ 2）方案 B 从 500 钟以后，每分钟收费多少元？（ 3）通话时间在什么范围内方案B 才会比方案A 优惠？解：由 M（60，98）， C（500，168）， N（500，230） . MN CD. 设这两方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别为fA（x）， fB（x），（ 1）通话两小时的费用分别是116 元和 168 元. （ 2）由 fB（n+1）-fB（n）=0.3（n500）或由直线CD 的斜

37、率的实际意义知方案B 从 500 分钟以后每分钟收费 0.3 元. （ 3）由图知： 当 0 x 60时 fA（x）500 时 fA（x）fB（x）；当 60fB（x）得 x，即通话时间为（，+）时方案 B 较优惠 . 【评析】此题在实际问题中融入函数，直线等知识，考查了阅读理解能力，体现了在知识应用过程中对能力的考查 . 下面就高考中出现的一些相关题进行点评【例 8】. 若方程 lg( x23xm)lg(3 x) 在 x (0,3) 内有唯一解，求实数m的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页【分析】将对

38、数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。【解】原方程变形为30332xxxmx即：30212xxm()设曲线 y1(x 2)2 , x(0,3)和直线 y21m ，图像如图所示。由图可知： 当 1 m 0 时，有唯一解，m 1; 当 11 m4时，有唯一解，即3m 0, m 1 或 30),椭圆中心D(2p2,0) ，焦点在x 轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问 p 在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L 的距离？【分析】由抛物线定义，可将问题转化成：p 为何值时，以A 为焦点、 L

39、 为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。【解】由已知得： a2，b1, A(p2,0) ，设椭圆与双曲线方程并联立有：ypxxpy22222241()，消 y 得： x2(4 7p)x (2p p24) 0 所以 1664p48p20, 即 6p28p20，解得： p1。结合范围 (p2,4+p2) 内两根，设f(x) x2(4 7p)x (2pp24) ，所以p2472p4+p2即 p0 、f(4+p2)0 即 p432。结合以上，所以4 32p13。【注】本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，当给出方程的解的

40、情况求参数的范围时可以考虑应用了“判别式法”，其中特别要注意解的范围。另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行了综合运用。【例 10】. 设 a、b是两个实数， A(x,y)|xn，ynab （nZ），B(x,y)|xm ，y3m215 (mZ)，C(x,y)|x2y2144，讨论是否，使得A B与(a,b)C同时成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页【分析】集合A、B 都是不连续的点集，“存在a、 b，使得 AB”的含意就是“存在a、b 使得nab3n215(nZ)有解（

41、 AB时 xnm ）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点 (a,b)在直线 L：nxy3n215 上，且直线与圆x2y2144 有公共点，但原点到直线L 的距离 12。【解】由 AB 得： nab3n215 ; 设动点 (a,b) 在直线 L：nxy3n215 上，且直线与圆x2y2144 有公共点，所以圆心到直线距离d|315122nn3(n21412n) 12 n 为整数 上式不能取等号，故a、b 不存在。【注】集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。本题直接运用代数

42、方法进行解答的思路是：由 AB 得： nab3n215 , 即 b3n215an （式）；由(a,b)C得， a2b2144 （式）；把式代入式，得关于a 的不等式：(1 n2)a22n(3n215)a (3n215)2144 0 （式） , 它的判别式4n2(3n215)24(1 n2)(3n215)2144 36(n23)2因为 n 是整数，所以n230, 因而 0, 故式不可能有实数解。所以不存在a、b，使得 AB与(a,b) C同时成立【例 11】已知 f（ x）=ax+b，2a2+6b2=3，证明对任意x，恒有f（x）. 【点拨】从等式2a2+6b2=3 联想到几何图形：椭圆.于是一

43、个好解法出现了. 这精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页是本题的一个优美解，从等式的外形联想到构造一个几何图形，思维在数和形的天地里驰骋. 【例 12】设 p=（log2x）2（ t-2）log2x+1-t，当 t，时恒有p0，求 x 的范围 . 【点拨】初读，无论如何与图形挂不起钩来，但t 的范围不是确定了吗？而且发现p 是关于 t 的一次函数 .这个发现好极了，一次函数的图象太简单了，于是按t 降幂排列： p=f（t）=（log2x-1）t+log22x-2log2x+1，t，时p0 恒成立（如图2），f（）

44、0 且 f（） 0，x8 或 0 x. 简捷吧？数与形和谐地统一，使得问题真正化繁为简了. 【例 13】设 x1 ，求点（ x+，x-）与点（，）之间的距离的最小值. 【点拨】是个动点，这个动点在坐标平面上的轨迹图形是什么呢？令 z=x+，y=x-，则 y2-z2=-4（z2 ）. 这个表达式太熟悉了，它的图象是双曲线的一支. 用不着画出图形来，在脑子里做想像，我们准确地判断min=1. 【点拨】机敏的读者一下子发现了一个熟悉的图形：椭圆.这样，思路纳入了解析几何的轨道，下面的解法，当然与解析几何紧密地联系在一起了. 如图所示，设椭圆的长轴为2a，焦距为2c，丰富的想像，是数向形转化的前提，外

45、形的启发，是构造图象的直接提示.数形结合，既有它的优越性又有其局限性，它决非放之四海而皆准，只有那些因为数形结合而使得解答简捷的问题，我们才选用. 【例 14】【例 15】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页【点拨】读完题目与任何一个图形似乎很难联系起来，我们在对已知条件的分析中，去寻觅解题的灵感. a2a-b，即为 ba-a2.要证那么 a与 k 如何取得联系呢？今这样一来，一个二次函数的图形出现了，它对解题有帮助吗？二次函数g（a）的图象的对称轴为a=，而 k2 ，则 g（a）在 0a上单调递增，又bg（a），在分析已知条件时找到了一个能够帮助我们解决问题的图形，而正是这个图形的启示，以后的思路畅通无阻了 . 数形结合，发生在解题过程中的任何时刻，我们绝不是刻意地去追求或精心地去构造直观的几何图形，而这个在解题时十分有用的直观图往往总是在对问题透彻了解之后突然出现的，这就是解题中的灵感. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页