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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 轻松学习高中数学-高一专题系列课程数形结合思想一作图、识图、用图技巧1作图：常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换描画函数图象时,要从函数性质入手,抓住关键点 等和对称性进行图象最高点、最低点、与坐标轴的交点2识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范畴、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系3用图： 图象形象地显示了函数的性质,因此, 函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合争论4利用基本函数图象的变换作图平移变换：yfx yfxh0,右移 |h|个单位 h0,上移 |k|个单位 k0
2、,下移 |k|个单位yfxk.伸缩变换：yfx错误 .yf x,yfx0A1,纵坐标伸长到原先的A倍 A倍yAfx对称变换：关于x轴对称yfxy fx,关于y轴对称yfxyfx,关于直线 xa对称yfxyf2ax,关于原点对称yfxy fxfx 关于原点对称 y fx二、通法归纳与感悟1应用数形结合的思想应留意以下数与形的转化1集合的运算及韦恩图；2函数及其图像；3方程 多指二元方程 及方程的曲线；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 轻松学习高中数学-高一专题系列课程4对于争论距离、角或面积的问题,直接从几何图形入手进
3、行求解即可；5对于争论函数、 方程或不等式 最值 的问题, 可通过函数的图像求解 函数的零点、 顶点是关键点 ,做好学问的迁移与综合运用2运用数形结合的思想分析解决问题时,应把握以下三个原就1等价性原就在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必需是等价的,否就解题将会显现漏洞,有时,由于图形的局限性,不能完整地表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,但它同时也是抽象而严格证明的诱导2双向性原就在数形结合时, 既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探究,两方面相辅相成,仅对代数问题进行几何分析 或仅对几何问题进行代数分析 在很多时候是很难行得通的例如, 在解析几何中,我们主要
4、是运用代数的方法来争论几何问题,但是在很多时候,假设能充分地挖掘利用图形的几何特点,将会使得复杂的问题简洁化3简洁性原就就是找到解题思路之后,至于用几何方法仍是用代数方法或者兼用两种方法来表达解题过程,就取决于哪种方法更为简洁,而不是去刻意追求代数问题运用几何方法,几何问题运用代数方法三、利用数形结合争论函数零点、方程的解或图像的交点利用数形结合求方程解应留意两点1争论方程的解 或函数的零点 可构造两个函数, 使问题转化为争论两曲线的交点问题,但用此法争论方程的解肯定要留意图像的精确性、全面性,否就会得到错解2正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键,数形结合应以快和准为原就而采纳,不要刻意
5、去数形结合1 2022 长沙模拟 假设 fx11,当 x0,1时,fxx,假设在区间 1,1内 gxf x1fxmx m 有两个零点,就实数 m 的取值范畴是 1 1A. 0,2 B. 2,1 1C. 0,3 D. 0,2解析 D 当 x1,0时, x10,1 ,当 x0,1时, fxx, fx1x1.名师归纳总结 而由 fx1f1,可得 fxf11ymx第 2 页,共 9 页x1x111x1,0x1如以下图,作出函数fx在区间 1,1内的图像,而函数 gx零点的个数即为函数fx与 ymxm 图像交点的个数,明显函数m 的图像为经过点P1,0,斜率为 m 的直线- - - - - - -精选学
6、习资料 - - - - - - - - - 轻松学习高中数学-高一专题系列课程如以下图, f11,故 B1,1直线 PB 的斜率 k111011 2；直线 PO 的斜率为 k20.由图可知,函数 fx与 ymxm 的图像有两个交点,就直线 ymxm 的斜率 k20,时, fx1x2,函数 gx0,x0,1 x, x10 时,无交点由图象可知共9 个交点5 答案 B名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 轻松学习高中数学-高一专题系列课程6函数 y1x的图象与函数 1 y2sin x2x4的图象全部交点的横坐标之和等于 A2
7、 B4C6 D8答案 D解析 依题意：两函数的图象如以下图：由两函数的对称性可知：交点 A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8 的横坐标满意 x1x82,x2x72,x3x62,x4x52,即 x1x2x3x4x5x6x7 x8 8,应选 D二、利用数形结合解不等式或求参数利用数形结合解不等式应留意的问题解含参数的不等式时,由于涉及到参数,往往需要争论, 导致运算过程繁琐冗长假如题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法,问题将会顺当地得到解决7. 1使 log 2 xx1 成立的 x 的取值范畴是 _2假设不等式 |x2a| 1 2x a1 对 xR 恒成立,就a 的取值范畴是 _
8、解析 1 在同一坐标系中,分别作出 y log2x,yx 1 的图像,由图可知,x 的取值范畴是 1,02作出 y|x2a|和 y1 2xa1 的简图,依题意知应有 2a22a,故 a1 2.8. 当 x1,2时,不等式 x12log ax 恒成立,就 a 的取值范畴为B4, A2,3C1,2D2,4解析： C 设 y1x12,y2logax,就 y1 的图名师归纳总结 像为如以下图的抛物线要使对一切x 1,2,第 4 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 轻松学习高中数学-高一专题系列课程x2 时,y11,并且只需当log ax1,即 a2
9、,所以 11,R,假设函数 yfx c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,就实数 c 的取值范畴是 A,21,3 2B , 21,3 4C1,14 14, D 1,3 4 14, 答案 Bx221x3 2,解析 由已知得 fxxx 2 x 32,如图,要使 yfxc 与 x 轴恰有两个公共点,就 1c0,就 c0,所以 b0；当 y0,axb0,所以 xb a0,所以 a0.故 a0,c0,选 C方法点拨 1.给出解析式判定函数图象的题目,一般借助于平移、伸缩11. 理已知 fx是定义在 3,3上的奇函数,当 式 fxcosx0 的解集是 0x3 时, fx的图象如以下图,那么不等名师归纳总结
10、- - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 轻松学习高中数学-高一专题系列课程A3, 20,1 2,3B 2, 10,1 2,3C3, 10,11,3 D3,20,11,3答案 B 分析 由奇函数图象的对称性可画出 fx的图象,不等式 fx cos x0 f x 0或,结合图形可得出解集cosx0f x 0,f x 0,解析 不等式 fxcosx0 等价于 或cosx0.画出 fx在3,3上的图象, cosx 的图象又熟知,运用数形结合,如以下图,从“ 形”中找出图象分别在 x 轴上、下部分的对应“ 数” 的区间为 2, 10,1 2,3a
11、,ab113 文2022 哈三中二模 对实数 a 和 b,定义运算 “* ”：a* b,设函数 fxb,ab1x 21* x2,假设函数 yfx c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,就实数 c 的取值范畴是 A2,4 5, B1,24,5C,14,5 D1,2答案 B解析 由 a*b 的定义知,当 x 21x2x2x11时,即 1x2时, fxx21；当 x2 时, fxx2, y fxc 的图象与 x 轴恰有两个公共点,方程 fxx 2 11x2 ,c0 恰有两不同实根,即 yc 与 y的图象恰有两个交点,数x2 x2,形结合易得 1c2或 4c5.方法点拨 关于函数零点的综合题,经常将幂函
12、数、指数函数、对数函数、三角函数、二次函数揉合在一起组成一个大题,零点作为其条件的构成部分或结论之一,解题时主要依据题目特点： 别离参数, 将参数的取值范畴转化为求函数的值域；数形结合,利用图象的交点个数对参数取值的影响来争论；构造函数,借助于导数来争论名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 轻松学习高中数学-高一专题系列课程三、利用数形结合求最值利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特点,确定目标问题的几何意义一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义其次步：转化为几何问题第三步：解决几何问题第四步：
13、回来代数问题第五步：回忆反思应用几何意义数形结合法解决问题需要熟识常见的几何结构的代数形式,主要有： 1 比值可考虑直线的斜率；2 二元一次式可考虑直线的截距；3 根式分式可考虑点到直线的距离；4 根式可考虑两点间的距离14 已知 a,b 是平面内两个相互垂直的单位向量,假设向量c 满意ac bc0,就 |c|的最大值是A1B2C. 2D.22解析： C由于 ac bc0,所以 acbc如以下图, 设 OC c,OA a,OB b, CAac,CB bc,即 AC BC ,又 OA OB ,所以 O, A,C,B 四点共圆名师归纳总结 当且仅当 OC 为圆的直径时,|c|最大,且最大值为2.P
14、 满意 OP OA AB|AB |第 7 页,共 9 页15 O 是平面上肯定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点AC , 0, ,就点 P 的轨迹肯定通过|AC |ABC 的 A 为起点,就终点在A外心B内心C重心D垂心答案 B分析 由于AB是AB 的单位向量,故 ABAC 对应向量假设以|AB | |AC |AB |BAC 的平分线上,结合OP OA AP 可知点 P 的轨迹- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 轻松学习高中数学-高一专题系列课程P 在 BAC 的平解析 如以下图,易知 AP ABAC ,而AB 与AC 是单位向量,故点|AB
15、| |AC | |AB | |AC |分线上,所以点P 的轨迹通过ABC 的内心,应选B方法点拨 数形结合法在三角函数、平面对量、复数等学问中的应用三角函数的图象、平面对量都是自然的数形结合点和数形结合的工具3 116对于任意 xR,函数 fx表示 x3,2x2,x24x3中的较大者,就 fx的最小值是 A2 B3C8 D 1解析： A 分别画出 y x3,y3 2x1 2,yx24x 3 三个函数的图像,如以下图,得到三个交点 A0,3,B1,2,C5,8x2 4x3,x0,x3,0x1,函数 fx的表达式为fx3 2x1 2, 15,名师归纳总结 fx的图像是图中的实线部分,图像的最低点是B1,2,x,就 fx的值域是 第 8 页,共 9 页所以函数 fx的最小值是2.x4,xg17文设函数 gxx22xR,fxgxgxx,xgxA 9 4, 0 1, B0, C 9 4, D 9 4,0 2, 答案 D解析 由题意知fxx2 x2,x0,就|MN |t2lnt,令 yt2lntt0,就 y2t1 t,由 y0得 t2 2,由 y0得 0t2 2,yt2lnt 在 0,2 2 上单调递减,在2 2,上单调递增,故t2 2时, y 取最小值,即t2 2时, |MN|取最小值- - - - - - -