ARMA模型解析.ppt

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1、 ARMA模型是一类常用的随机时间序列模型，模型是一类常用的随机时间序列模型，是一种精度较高的时间序列短期预测方法，其基本是一种精度较高的时间序列短期预测方法，其基本思想是：某些时间序列是依赖于时间思想是：某些时间序列是依赖于时间 的一族随机的一族随机变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变化却有一定的规律性，可以定性，但整个序列的变化却有一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描述用相应的数学模型近似描述. 通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认识时间序列的结构与特征，达到最小方差意

2、义下认识时间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测的最优预测. t tX自回归序列 ： tX1122tttptptXXXXu如果时间序列 是它的前期值和随机项的线性函数，即可表示为【1】pp【1】式称为 阶自回归模型，记为AR（ ） 注注1：实参数：实参数 称为自回归系数，是待估参数称为自回归系数，是待估参数.随机项随机项 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、方差为方差为 的正态分布的正态分布.随机项与滞后变量不相关。随机项与滞后变量不相关。 12,p tu2注注2：一般假定：一般假定 均值为均值为0，否则令，否则令 tXttXX kBkktt

3、kB XX212ptttpttXBXB XB Xu记 为 步滞后算子，即 ，则模型【1】可表示为212( )1ppBBBB 令 ，模型可简写为( )ttB XuAR（ ）过程平稳的条件是滞后多项式 p( )B的根均在单位圆外，即 ( )0B的根大于1 【2】 tXtX1122ttttqt qXuuuu 如果时间序列 是它的当期和前期的随机误差项的线性函数，即可表示为 【3】qq式【3】称为阶移动平均模型，记为MA（ ）注：实参数12,q 为移动平均系数，是待估参数 引入滞后算子，并令212( )1qqBBBB 则模型【3】可简写为 ( )ttXB u注1：移动平均过程无条件平稳 注2：滞后多项

4、式( )B的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程能相互表出，即过程可逆，【4】21201itittiw Bw BXw BXu 即为MA过程的逆转形式，也就是MA过程等价于无穷阶的AR过程注3：【2】满足平稳条件时， AR过程等价于无穷阶的MA 过程，即21201jttjtjXv Bv Buv Bu 自回归移动平均序列自回归移动平均序列 ：tXtX11221122tttpt ptttq t qXXXXuuuu如果时间序列是它的当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数，即可表示为【5】( , )p q式【5】称为阶的自回归移动平均模型，记为ARMA( , )p q12,p 12,q 注1：实参数

5、称为自回归系数，为移动平均系数，都是模型的待估参数注2：【1】和【3】是【5】的特殊情形注3：引入滞后算子，模型【5】可简记为( )( )ttB XB u【6】注4：ARMA过程的平稳条件是滞后多项式 ( )B的根均在单位圆外 可逆条件是滞后多项式( )B的根都在单位圆外 12,tttt kXXXXkk构成时间序列的每个序列值构成时间序列的每个序列值相关关系称为自相关。自相关程度由自相关系数相关关系称为自相关。自相关程度由自相关系数表示时间序列中相隔表示时间序列中相隔期的观测值之间的相关程度。期的观测值之间的相关程度。 之间的简单之间的简单度量，度量，121()()()n ktt ktkntt

6、XXXXXX注1：nkX是样本量，为滞后期，代表样本数据的算术平均值 注2：自相关系数 k的取值范围是 1,1 且|k越接近1，自相关程度越高 tX121,ttt kXXX tXt kX偏自相关是指对于时间序列，在给定的条件下， 与之间的条件相关关系。 kk11kk 其相关程度用度量，有 偏自相关系数111,111,112,3,1kkkjkjjkkkkjjjkkkk其中是滞后期的自相关系数， 1,1,1,2,1kjkjkkkkjjk 如果一个时间序列是纯随机序列，意味着序列没有任何规律性，序列诸项之间不存在相关，即序列是白噪声序列，其自相关系数应该与0没有显著差异。可以利用置信区间理论进行判定

7、。 在B-J方法中，测定序列的随机性，多用于模型残差以及评价模型的优劣。若时间序列 tX满足 1）对任意时间t，其均值恒为常数； 2）对任意时间t和s，其自相关系数只与时间间隔 ts有关，而与 的起始点无关。 那么，这个时间序列就称为平稳时间序列 。 和st 序列的平稳性也可以利用置信区间理论进行判定.需要注意的是，在B-J方法中，只有平稳时间序列才能直接建立ARMA模型，否则必须经过适当处理使序列满足平稳性要求 在实际中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序列通过差分可以平稳 判断时间序列的趋势是否消除，只需考察经过差分后序列的自相关系数自相关系数 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔

8、上，序列重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额等时间序列都具有明显的季节变化. 一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个月； 季度资料的时间序列，季节周期为4个季. 判断时间序列季节性的标准为： 月度数据，考察 12,24,36,k 时的自相关系数是否与0有显著差异；季度数据，考察 4,8,12,k 系数是否与0有显著差异。 时的自相关说明各年中同一月（季）不相关，序列不存在季节性，否则存在季节性. 若自相关系数与0无显著不同， 实际问题中，常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况，这时必须再用上述方法，否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判断错误. 包含季节性的时间序列也不能

9、直接建立ARMA模型，需进行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节周期一致. , ,d D p q,P Q在需要对一个时间序列运用B-J方法建模时，应运用序列的自相关与偏自相关对序列适合的模型类型进行识别，确定适宜的阶数以及 （消除季节趋势性后的平稳序列） （1 1）MAMA（q）的自相关与偏自相关函数）的自相关与偏自相关函数自协方差函数自协方差函数 22212111,0,10,qkkkq kqkkqkq2tDu是白噪声序列的方差是白噪声序列的方差 样本自相关函数样本自相关函数 1122011,0,110,kkq kqkkqkkqkqqkkqqMA（）序列的自相关函数在这种性质称为自相关函

10、数的步截尾性； 以后全都是0，随着滞后期 k这种特性称为偏自相关函数的拖尾性 的增加，呈现指数或者正弦波衰减，趋向于0，偏自相关函数 （2 2）ARAR（p）序列的自相关与偏自相关函数）序列的自相关与偏自相关函数偏自相关函数 ,10,kkkkpkp是p步截尾的 ；自协方差函数 k满足 ( )0kB自相关函数 k满足 ( )0kB它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性 （3 3）ARMAARMA（, p q）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的 自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA模型的最主要工具，B-J方法主要利用相关分析法确定模型的阶数. 若样本自协方差

11、函数 k在q步截尾，则判断 tX是MA（ q）序列 kkp若样本偏自相关函数在步截尾，则可判断是AR（tXp）序列 若，都不截尾，而仅是依负指数衰减，这时可初步认为ARMA序列，它的阶要由从低阶到高阶逐步增加，再通过检验来确定. k在kkk，tX是但实际数据处理中，得到的样本自协方差函数和样本偏自相关函数只是 k和kk的估计，要使它们在某一步之后全部为0几乎是而只能是在某步之后围绕零值上下波动，故对于 k和kk不可能的，的截尾性 只能借助于统计手段进行检验和判定。 （1）k的截尾性判断q1,qq MMN对于每一个 ，计算（ 一般取左右），考察其中满足22011|2qkllN22012|2qkl

12、lN或 的个数是否为 M的68.3%或95.5%。 如果当01kq时， k明显地异于0，而 001,qqM近似为0，且满足上述不等式的个数达到了相应的比例， 则可近似地认为 k在0q步截尾 （2）kk的截尾性判断作如下假设检验： 0,:0,1,p k p kHkMMN1:Hk0kkpkMp存在某个，使，且 统计量2221p MkkMkpN 2( )MM2表示自由度为的分布 的上侧分位数点 对于给定的显著性水平 0，若 22( )M，则认为 样本不是来自AR（p）模型 ；22( )M，可认为 样本来自AR（p）模型 。注：实际中，此判断方法比较粗糙，还不能定阶，目前流行的方法是H.Akaike信

13、息定阶准则（AIC） （3）AIC准则确定模型的阶数AIC定阶准则： S22N是模型的未知参数的总数是用某种方法得到的方差的估计为样本大小，则定义AIC准则函数 22( )lnSAIC SN用AIC准则定阶是指在 , p q的一定变化范围内，寻求使得 ( )AIC S最小的点 ( , )p q作为( , )p q的估计。 AR（p）模型 ：22lnpAICNARMA( , )p q模型 ：22()lnpqAICN 在阶数给定的情形下模型参数的估计有三种基本方法：矩估计法、逆函数估计法和最小二乘估计法，这里仅介绍矩估计法 （1）AR（p）模型 11111212212111pppppp 白噪声序列

14、tu的方差的矩估计为201 pjjj （2）MA（q）模型 222102111 ,1,qkkq kqkkq（3）ARMA( , )p q模型的参数矩估计分三步： i）求12,p 的估计 11111212212qqqpqqqqpqqpqpqqpp 11tttptpYXXXtYii）令，则的自协方差函数的矩估计为 ( )000 , 1ppYkijkj iij tYqiii）把近似看作MA（）序列，利用（2） 对MA（q）序列的参数估计方法即可 对于给定的样本数据1,NXXAIC准则确定了模型的类型和阶数，用矩估计法确定了模型中的参数，从而建立了一个ARMA模型，来拟合真正的随机序列。但这种拟合的优

15、劣程度如何，主要应通过实际应用效果来检验，也可通过数学方法来检验。，我们通过相关分析法和pqkkk 对于ARMA模型，应逐步由ARMA（1，1），ARMA（2，1），ARMA（1，2），ARMA（2，2），依次求出参数估计，对AR（）和MA（）模型，先由和初步定阶，再求参数估计。 的截尾性 一般地，对ARMA( , )p q模型 11pqttit ijtjijuXXu011,qu uu011,pXXX12,Nu uu取初值和它们均值为0），可递推得到残量估计现作假设检验：（可取它们等于0，因为0:H12,Nu uu是来自白噪声的样本 ( )11NjujtjttuuN0,1,jk( )( )(

16、)0ujuju1, ,jk 令 k10N其中取左右。 0HkQk2则当成立时，服从自由度为的分布。 2( )kkQ0H2( )kkQ对给定的显著性水平，若，则拒绝，即模型与原随机序列之间拟合得不好，则认为模型与原随机序列之间拟合需重新考虑得较好，模型检验被通过。建模；若22( )( )11kkuukjjjjQNN 若模型经检验是合适的，也符合实际意义，可用作短期预测若模型经检验是合适的，也符合实际意义，可用作短期预测. B-J方法采用L步预测，即根据已知 n个时刻的序列观测值 12,nXXX，对未来的 nL个时刻的序列值做出估计， 线性最小方差预测是常用的一种方法. 误差的方差达到最小. 其主

17、要思想是使预测若( )nZL表示用模型做的L步平稳线性最小方差预测，那么，预测误差( )( )nn Lne LXZL并使 22( )( )nn LnE e LE XZL达到最小. 1 1、ARAR（p）序列预测）序列预测模型（1）： 1122tttptptXXXXu的L步预测值为12( )(1)(2)()nnnpnZLZLZLZLp()nnjZjX0j 其中（） 2 2、MAMA（q）的预测）的预测对模型（3）： 1122ttttqt qXuuuuLq1122n Ln Ln Ln Lqn L qXuuuu n( )0nZL 当时，由于可见所有白噪声的时刻都大于，故与历史取值无关，； 从而当Lq时，各步预测值可写成矩阵形式： 111221111100(1)(1)010(2)(2)001( )( )000nnnnnqqnnqZZZZXZqZq递推时，初值000(1),(2),( )ZZZL均取为0。 结束结束