平稳时序模型ARMA.ppt

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1、,平稳时序模型ARMA,本章内容概要,基本概念,随机时间序列从随机概率论的角度出发，是由一系列随机变量（或随机函数）构成的用来描绘随机现象在接连不断地观测过程中的实现结果的集合弱平稳随机时间序列的期望、方差以及自协方差均不随时间变化而变化用数学语言来解释，即当 满足以下条件：对于所有时间t，有(i) 为不变的常数；(ii) 为不变的常数； (iii) 则称 为弱平稳随机变量，由这个随机变量构成的随机过程即为弱平稳过程,基本概念,白噪音白噪音过程是一种最为常用和独特的平稳过程。根据平稳过程的定义，白噪音过程中随机变量 的期望、方差、自相关系数均为常数，且此时期望值和自协方差均为0。所以白噪音过程

2、描述的是所有随机序列相互独立的随机过程。这一过程与普通的平稳过程最大的区别就在于，对于任何 ，均有自协方差 ，自相关函数 。对于白噪音过程，总有下面的等式成立：,一、自回归模型AR,AR模型即自回归模型，就是变量对变量自身的滞后期项进行回归的过程。自回归模型也可以称为自回归过程。一般地，自回归模型定义为：根据模型滞后期数（阶数）的不同，AR模型可以分为AR(1)过程、AR(2)过程，一直到AR(p)过程。AR模型符合弱平稳的定义，是平稳时间序列模型中最基础的一种。,一、自回归模型AR,AR（1）过程一阶自回归过程AR(1)是当期变量对自身的一期滞后项和一个随机扰动项进行线性回归的过程。通常可以

3、写成：其中，c是截距项或者称常数项； ； 是方差为 的白噪音过程如果 ，那么随机扰动因素 对 的影响会随着时间的推移而不断积累，这样就无法得到一个具有有限方差的平稳过程 。相反，如果 ，那么随机扰动项 对 的影响就会随着时间的推移而逐渐消失，这样就可以得到一个平稳的随机过程。 实际上是AR模型是平稳时间序列模型的关键条件,一、自回归模型AR,均值AR(1)模型所描述的过程不会随时间变化而改变，所以，在t-1期时，模型变成：代回到原模型中可以获得下式： 如果这个过程继续迭代下去，那么最终会得到等式：当 时，可以将上式写成对模型取期望，得：所以，对于平稳AR(1)过程，即有：,一、自回归模型AR,

4、利用模型期望，还可以得到AR(1)模型中的截距项： 从上式不难看到，序列 的均值 与AR(1)模型中的截距项c有一一对应的关系。并且对于任何自回归系数 （ ），当且仅当 时，均值 。这一结论对于任意p阶AR模型都成立。,一、自回归模型AR,方差根据方差的定义，对于平稳模型，有： 利用模型均值和白噪音的不变方差 ，就得到下面的结果：在AR(1)过程中 落在某一特定区间的概率在所有时刻点上都是恒定的，比如围绕均值上下两个标准差的范围（对应90的置信区间），即,平稳序列的观测值表现出一种向其均值水平恢复的特征，这种特征在金融时间序列分析中称“均值反转(mean-reverting)”。 利用计算机模

5、拟一个AR（1）过程，并生成两组不同规模的观察值，我们可通过对比来感受自回归模型的均值反转现象。 设定模型如下： 从理论上来说：,图3.4 AR（1）模拟生成的序列图与相关统计量,(a) 样本=30,图3.4 AR（1）模拟生成的序列图与相关统计量,(b) 样本=1000,随着样本的增大，样本均值和方差与理论上的真实值会越来越接近。通过比较图3.4中不同样本数据对应的样本均值和方差可以看出，只有30个观测值的序列均值和方差分别为1.302和0.2342=0.055，与真实值之间有明显的出入；而对于1000个观测值的序列，其均值和方差分别是3.262和0.972=0.947，与理论真实值已经非常

6、接近了。,一、自回归模型AR,自协方差和自相关函数根据自协方差的定义，AR(1)的自协方差为由此可以得到AR(1)过程的自相关函数（ACF）:对于 ，其取值越靠近于1，则自相关函数 取值越大，暗示着 序列相邻观测值之间的相关性越强。反之亦然。,一、自回归模型AR,AR（2）过程二阶自回归模型即AR(2)，通常表示为： 其中， 为白噪音过程。只要特征方程 所有的根均落在单位圆内，则AR(2)模型平稳。把AR（2）模型改写成下面的形式，即：,一、自回归模型AR,此时，如果令 那么模型就可以重新写成： 当AR(2)模型满足平稳性条件时，可以得到： 从而有： 由于c为常数项，因此 ，所以有： 因此与A

7、R(1)模型类似的，AR(2)模型可以最终记作：,一、自回归模型AR,均值对模型等式左右两边取期望，即可求出AR(2)过程的均值，即当然，也可以利用平稳过程的特性，即均值恒定，对模型两边直接取期望，得到从而也可以得到同样的结果：,一、自回归模型AR,方差和自协方差根据方差的定义，求AR(2)模型的方差，可得根据模型期望可以到将上式代入到AR(2)模型中，得到并进而整理得可以在上式两侧同时乘以( )，然后取期望，就得到以下关系式,一、自回归模型AR,AR（p）过程一般地，p阶AR模型记做AR(p)，通常写作以下形式：同样地，这里 是方差为 的白噪音过程。利用，AR(p)模型还可以写作：其中： 。

8、 AR(p)模型所对应的特征根方程为：如果模型的所有根都落在单位圆内，则 AR(p)模型是平稳的，当然对应的 也是平稳的时间序列。,一、自回归模型AR,均值对模型求期望，得：从而，可以求解出AR(p)过程的均值模型：方差和自协方差将常数项 表示成均值 和自回归系数 的函数，然后将AR(p)模型写成以下形式在上式左右同时乘以 并取期望，得到,二、移动平均模型MA,移动平均过程也被称为滑动平均过程，是指将时间序列过程 写成一系列不相关的随机变量的线性组合。和AR过程一样，MA过程也分为MA(1)，MA(2)和MA(p)，其中最简单形式是一阶移动平均过程，即MA(1)：其中，c表示常数项， 为系数，

9、 是方差为 的白噪音过程MA(1)过程的属性：MA(1)过程中不论系数 如何取值，其均值、方差和自协方差与时间都没有关系，也就是说，MA(1)过程始终为平稳过程，与参数 没有任何关系。MA(1)过程具有可逆性。即当 时， MA(1)过程可以“逆”过来写成 的形式。,三、自回归移动平均模型ARMA,ARMA（p,q）过程ARMA过程即自回归移动平均过程。事实上，ARMA过程是AR模型和MA模型的组合。通常，一般的ARMA(p,q)过程可以写成如下形式其中： 为方差为 的白噪音过程，c是常数项， 和 分别为自回归系数和移动平均系数。如果 ，那么ARMA过程就成为一个纯AR过程如果 ，那么ARMA过

10、程就成为一个纯MA过程,三、自回归移动平均模型ARMA,均值对ARMA模型左右两边取期望可以得到ARMA过程的均值表达式为这个表达式与AR(p)过程的均值表达式完全相同。这是因为MA部分对应的每个白噪音过程的期望都是0。自协方差将常数项c表示成均值 和自回归系数的函数，代入ARMA模型可得根据变量自协方差的计算公式，可以得出,三、自回归移动平均模型ARMA,ARMA过程与AR过程、MA过程相互转化将AR过程和ARMA过程转化为MA过程需要满足平稳性条件，其中ARMA过程对平稳性的要求全部体现在AR过程之上。AR过程的平稳性条件是，其对应的特征方程的根都要落在单位圆内。将MA过程转化为AR过程也

11、需要满足可逆性条件。类似地，此时ARMA过程的可逆性也全部体现在MA过程上。MA过程的可逆性条件是，其对应的逆特征方程的根都落在单位圆外。,三、自回归移动平均模型ARMA,ARMA过程转化为MA过程考察模型： 如果将模型左右都乘以 ，则可以获得下面的等式其中： ，并且 ，此时ARMA模型已经被转化为一个MA模型。只要 ，那么 上式给出的就是一个MA()的形式,三、自回归移动平均模型ARMA,ARMA过程转化为AR过程考察模型：将该模型都乘以 ，则可以获得下面的等式如果令 ， ，可得不难看出，ARMA模型已经被转化为一个AR模型，并且只要 ，上式给出的就是一个AR()模型。,三、自回归移动平均模

12、型ARMA,AR过程与MA过程的选择MA过程可以清楚地考查以往的随机冲击因素 对当前 的影响效果，在实证研究中经常被用来分析随机扰动因素对代表特定含义的金融或经济变量的影响情况。脉冲响应函数就是以MA过程的形式表达的。AR过程可以相对精确地捕捉到某些金融时间序列变量的动态路径，同时对AR模型进行回归估计比较容易。一般来说，使用普通最小二乘法就可以得到AR模型中的系数估计值。因此当研究金融变量的动态路径时，读者可以考虑采用AR过程的形式。,四、自回归单整移动平均模型ARIMA,当特征方程中一个或多个根落于单位圆上，则此时的ARMA(p,q)过程不再具有平稳性特征，被称为自回归单整移动平均过程，即

13、ARIMA(p,d,q)其中p与q分别表示AR和MA部分的阶数，而d表示单整的阶数。所谓单整，就是特征方程有一个或多个根落于单位圆上的情况，落在单位圆上的根被称为特征根。特征方程含有一个单位根的称为一阶单整过程即I(1)，含有两个单位根的对应为二阶单整过程，即I(2)。,四、自回归单整移动平均模型ARIMA,在分析ARIMA过程时，需要采用差分法将原本的非平稳过程变为平稳过程。通常，d阶单整过程就需要经历d次差分过程。一阶差分就是指使用原过程获得一次差分项 的表达式，其中 表示差分符号。因此对于ARIMA(p,d,q)模型，即假设与 相关的特征方程满足可逆条件，与 对应的特征方程只含有一个单位

14、根，那么总可以将 写成以下形式其中： 的阶数为(p-1)。因为已经假设了与 对应的特征方程只含有一个单位根，所以与 对应的特征方程所有的根都应该落在单位圆内。,四、自回归移动平均模型ARMA,这样，ARIMA模型可以重新写成从而获得一次差分的表现形式，即或者利用差分符号写成不难看出，上式是一个以一次差分序列 为主体的ARMA(p-1,q)模型。因为 对应的特征方程的根满足平稳性条件，所以 必定是平稳时间序列。这样就完成了从ARIMA过程向ARMA过程的转化。,五、Eviews案例,建立实际GDP的时序模型将实际GDP（rgdp）的水平值转化为增长率后再设立模型。转化过程可以通过打开rgdp序列

15、数据表后，在default项下选择“%change”实现。根据单位根检验可知，rgdp增长率序列为一阶单整时间序列，其一阶差分项才是满足模型要求的平稳时间序列。如果定义rgdp1序列为rgdp序列的一阶差分序列，可以在EVIEWS命令窗口输入“new series rgdp1=d(rgdp)”生成rgdp1序列。根据这些变量在自相关和偏相关函数上的表现，来确定何种单变量动态模型更适合来刻画这些变量的动态路径。,五、Eviews案例,通过自相关和偏相关函数确定动态模型的基本思路如果自相关函数和偏相关函数同时出现拖尾现象，那么应该使用ARMA模型；如果自相关函数在q期之后出现截尾现象，那么MA模型

16、的阶数可以确定为q；如果偏相关函数在p期之后出现截尾现象，那么AR模型的阶数可以确定为p。,AR与MA模型的ACF与PACF特征比较,五、Eviews案例,打开rgdp1序列，点击“View”“Correlogram”菜单，会弹出如左所示的窗口,五、Eviews案例,rgdp1序列的自相关函数图和偏自相关函数图可以看出，rgdp1的自相关和偏相关函数都存在拖尾现象，因此应该采用ARMA模型来描述其动态路径。考虑到自相关函数从第四期开始出现截尾，故q=4；偏相关函数也是从第三期开始出现较大幅度的变化，因此p=3,五、Eviews案例,基本的模型设定为：,由此，在EVIEWS软件中建立模型。点击“

17、Quick”“Estimate Equation”，在弹出窗口“Equation Specification”空白栏中键入“ rgdp1 C MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) AR(1) AR(2) AR(3)”，在“Estimation Settings”中选择“LS-Least Squares(NLS and ARMA)”。,五、Eviews案例,可知，各项的系数估计值在10%的置信区间内均显著。由此可最终确定对rgdp1的动态路径为ARMA(3，4)过程。,五、Eviews案例,模型诊断点击“View”“Residual test”“Correlogram-Q-statis

18、tics”，在弹出的窗口中选择滞后阶数为36，点击“Ok”，就可以得到Q统计量，此时为28.462，p值为0.493，因此不能拒绝原假设，可以认为模型较好的拟合了数据。,五、Eviews案例,模型预测点击“Forecast”，会弹出如下窗口。在Eviews中有两种预测方式：“Dynamic”和“Static”，前者是根据所选择的一定的估计区间，进行多步向前预测；后者是只滚动的进行向前一步预测，即每预测一次，用真实值代替预测值，加入到估计区间，再进行向前一步预测。首先用前者来估计1980年第一季度到2009年第四季度的rgdp1，在“Sample range for forecast”空白栏中键入“1980q1 2009q4”，选择“Dynamic”，其他的一些选项诸如预测序列的名称、以及输出结果的形式等，可以根据目的自行选择，点击“OK” 。,五、Eviews案例,图中实线代表的是rgdp1的预测值，两条虚线则提供了2倍标准差的置信区间。可以看到，随着预测时间的增长，预测值很快趋向于序列的均值（接近0）。图的右边列出的是评价预测的一些标准，如平均预测误差平方和的平方根（RMSE），Theil不相等系数及其分解。可以看到，Theil不相等系数为0.419484，表明模型的预测能力较好。,