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1、第三章第三章 ARMA ARMA模型的特性模型的特性nARMA模型，一方面，它基于观测时间序列建立起来的随机微分方程，因而它解释了动态数据的统计特性；另一方面，由于可视为某一系统的输出，因而，它又揭示了产生此动态数据的系统的动态特性。n同时，不论是数据的统计特性，还是系统的动态特性，均可在时域和频域中得到描述，所有这些特性，构成了ARMA模型的基本特性。n本章重点讨论ARMA模型的最主要的时域特性系统的单位脉冲响应函数和动态数据的自协方差函数。前者表征系统特性，在时序方法中又称为Green函数，后者表征数据的统计特性。n同时，还将介绍ARMA模型的另外两个时域特性逆函数和偏自相关函数。n讨论模
2、型特性的目的在于，一方面，它是实际应用的理论基础，很多实际问题的解决往往就是模型特性直接应用的结果；另一方面，它又是建立模型的必要准备。线性常系数差分方程及其解的一般形式线性常系数差分方程及其解的一般形式n在时间序列的时域分析中，线性差分方程是非常重要，也是极为有效的工具。n任何一个ARMA模型都是一个线性差分方程；因此，ARMA模型的性质往往取决于差分方程根的性质。n为了更好地讨论ARMA模型的特性，先简单介绍线性差分方程的一般知识。时间序列模型与线性差分方程时间序列模型与线性差分方程n线性差分方程在时间序列分析中有着重要的应用，常用的时间序列模型和某些模型的自协方差函数和自相关函数都可以视
3、为线性差分方程，而线性差分方程对应的特征根的性质对判断模型的平稳性有着非常重要的意义。n是普通的n阶差分方程，其中为系统参数的函数，当为常数时，就是常系数n阶差分方程，是个离散序列，也叫驱动函数；是系统的响应。当时，上式变为n称为n阶齐次差分方程。线性差分方程n线性差分方程n齐次线性差分方程n设AR(1)AR(1)模型的模型的GreenGreen函数函数n1、AR(1)AR(1)模型的模型的GreenGreen函数函数n首先，将最简单的AR(1)模型作为一个例子。nAR(1)模型：n反复进行迭代n即：GreenGreen函数的定义函数的定义n当一个相关的平稳时间序列可以用一个无关的平稳时间序列
4、的现在值和过去值的线性组合表示时，其“权权”定义为GreenGreen函数，即函数，即 式中，式中，称为称为GreenGreen函数，函数，（1）式可以记为其中式（1）表明具有传递形式的平稳序列可以由现在时刻以前的白噪声通过系统“”的作用而生成，是j个单位时间以前加入系统的干扰项 对现实响应的权，亦即系统对 的“记忆”。格林函数的意义格林函数的意义格林函数格林函数的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。nGreen函数刻画了系统动态响应衰减的快慢程度。nGreen函数所描述的动态性完全取决于系统参数。则AR(1)模型的格林函数可以表示为：AR
5、(1)模型可表示为同时，可用一个无限阶MA来逼近。例例：下面是参数分别为0.9、0.1的AR（1）系统对扰动的记忆情况。（P46）AR(1)AR(1)系统的平稳性系统的平稳性n系统稳定性的概念以及稳定性与平稳性的关系系统稳定性的概念以及稳定性与平稳性的关系一阶系统的稳定性nGreen函数的另一个重要作用是，可表明系统的稳定性这一重要的动态特性。所谓一个系统是不稳定的，是指它在任意瞬间受到一个一瞬即逝的干扰(即脉冲)后，其运动状态偏离平衡位置越来越远，这相当于，是发散的；反之，如果其运动状态最终能回到平衡位置上，这相当于，则称系统是渐进稳定的；n线性系统的稳定性仅由系统本身的固有特性所决定，而与
6、外界无关，即，ARMA模型所描述的线性系统，其稳定性只与AR部分有关，而与MA部分无关，因此，AR(1)，ARMA(1,1)，ARMA(1,m)系统的稳定性问题实质上是一致的，从而可根据Green函数的取值情况判断它们所对应的不同的一阶系统的稳定性。n2、AR(1)AR(1)系统的平稳性条件系统的平稳性条件 平平稳稳性性的的涵涵义义就就是是干干扰扰项项对对系系统统的的影影响响逐逐渐渐减减弱弱，直直到到消消失失，对对于于一一个个ARAR（1 1）系系统统，将将其其写写成成格林函数的表示形式格林函数的表示形式:如果系统是平稳的，则预示随着j，扰动的权数 对于AR(1)系统即这要求上述条件等价于AR
7、(1)系统的特征方程的根在单位圆内(或方程的根在单位圆外).AR（n）模型，即其中：的平稳性条件为：的根在单位圆外（或的根在单位圆内）。AR（n）系统的平稳性条件：）系统的平稳性条件：AR(1)AR(1)的结论可以推广到的结论可以推广到AR(n)AR(n)ARMA(2,1)模型的Green函数nAR(2)和ARMA(1,1)模型的Green函数nAR(2)和ARMA(1,1)模型是ARMA(2,1)模型的特殊形式；n描述动态性的Green函数也有上述关系；ARMA(1,1)模型的Green函数nARMA(2,1)系统的平稳性n1、用特征根表示的平稳性条件n这个推论在AR(1)中平稳性的条件，同
8、样对ARMA(2,1)模型也依然适应；此时，nARMA(2,1)系统的平稳性条件为：n即，特征方程的特征根的模在单位圆内ARMA(n,n-1)系统的平稳性2、用自回归系数表示的平稳性条件AR(n)AR(n)模型的模型的GreenGreen函数函数nAR(n)AR(n)模型模型GreenGreen函数的递推公式为：函数的递推公式为：AR（n）模型，即其中：的平稳性条件为：的根在单位圆外（或的根在单位圆内）。AR（n）系统的平稳性条件：）系统的平稳性条件：第二节第二节 逆函数和可逆性逆函数和可逆性 （Invertibility）是零均值平稳序列，如果白噪声序列能够表示为一、逆函数的定义逆函数的定义
9、设则称上式为平稳序列式中的加权系数称为逆函数。的”逆转形式“。n1、逆函数逆函数类似Green函数，逆函数定义为：当一个无关的平稳时间序列可以用一个相关的平稳时间序列的现在值和过去值的线性组合来表示时，其负“权”定义为逆函数.可逆的定义可逆的定义n可逆定义n若一个模型能够表示成为收敛的AR模型形式，那么该模型具有可逆性，也就是可逆的。n可逆概念的重要性n一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。AR(1)模型的逆函数模型的逆函数逆函数逆函数Green函数函数MA(1)模型的逆函数模型的逆函数逆函数逆函数Green函数函数格林函数与逆函数间关系格林函数与逆函数间关系n格林函数与逆函数间的这种对偶
10、性不只是一阶模型所有，对于任意阶模型都成立。n例如：ARMA(2,1)与ARMA(1,2)MA(m)模型逆函数的递推公式n如果一个MA(m)模型满足可逆性条件，它就可以写成如下两种等价形式：MA(m)模型模型逆函数的递推公式逆函数的递推公式MA模型的可逆条件nMA(m)模型的可逆条件是：nMA(m)模型的特征根都在单位圆内ARMA(1,2)模型的可逆性条件模型的可逆性条件例3.6续:考察如下MA模型的可逆性(1)(2)nnn逆函数n逆转形式(3)(4)nnn逆函数n逆转形式ARMA模型一、一、ARMA(n,m)模型可分别表示为：模型可分别表示为：其中：其中：平稳条件与可逆条件nARMA(n,m
11、)模型的平稳条件nn阶自回归系数多项式的根都在单位圆外n即ARMA(n,m)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定nARMA(n,m)模型的可逆条件nm阶移动平均系数多项式的根都在单位圆外n即ARMA(n,m)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定理论自协方差函数和自相关函数对于ARMA系统来说，设序列的均值为零，则自协方差函数第三节第三节 自相关函数与偏自相关函数自相关函数与偏自相关函数自相关函数样本自相关函数的计算在拟合模型之前，我们所有的只是序列的一个有限样本数据，无法求得理论自相关函数，只能求样本的自协方差函数和自相关函数。样本自协方差样本自协方差有两种形式：一、自相关函数自
12、相关函数则相应的样本自相关函数为：样本自相关函数为：1 1、AR(n)AR(n)过程自相关函数过程自相关函数ACFACF1阶自回归模型阶自回归模型AR(1)Xt=Xt-1+at的k阶滞后自协方差函数自协方差函数为：011)(gjjgajgkkttktkXXE=+=-k=1,2,因此，AR(1)模型的自相关函数自相关函数为k=1,2,若若AR(1)稳定，则稳定，则|1，因此，因此，k k时，呈指数时，呈指数形衰减，直到零形衰减，直到零。这种现象称为拖尾拖尾或称AR(1)有有无穷记无穷记忆忆（infinitememory）。注意注意，0时，呈振荡衰减状。一般地，n阶自回归模型阶自回归模型AR(n)
13、Xt=1Xt-1+2Xt-2+nXt-n+atk k期滞后协方差为期滞后协方差为:nknkktntnttKtkXXXXE-+=+=gjgjgjajjjgLL22112211)(从而有自相关函数从而有自相关函数:可见，无论无论k k有多大，有多大，k 的计算均与其到的计算均与其到n n阶滞后阶滞后的自相关函数有关的自相关函数有关，因此呈拖尾状呈拖尾状。如果如果AR(n)AR(n)是平稳的，则是平稳的，则|k k|递减且趋于零递减且趋于零。其中：zi是AR(n)特征方程(z)=0的特征根，由AR(n)平稳的条件知，|zi|1时，时，k k=0，即，即Xt与与Xt-k不相关，不相关，MA(1)MA(
14、1)自自相关函数是截尾的。相关函数是截尾的。其自协方差系数自协方差系数为一般地一般地，m阶移动平均过程阶移动平均过程MA(m)相应的自相关函数自相关函数为n可见，当km时，Xt与与Xt-k不相关，即存在截尾现象，因此，当当km时，时，k k=0是是MA(m)的一个特征的一个特征。于是：可可以以根根据据自自相相关关系系数数是是否否从从某某一一点点开开始始一一直直为为0 0来来判断判断MA(m)MA(m)模型的阶。模型的阶。二、二、偏自相关函数偏自相关函数 自相关函数自相关函数ACF(k)给出了给出了X Xt t与与X Xt-1t-1的总体相关性，的总体相关性，但总体但总体 相关性可能掩盖了变量间
15、完全不同的隐含关相关性可能掩盖了变量间完全不同的隐含关系。系。例如，在AR(1)随机过程中，Xt与Xt-2间有相关性相关性可能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来的:n即自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关。与之相反，与之相反，X Xt t与与X Xt-kt-k间的偏自相关函数间的偏自相关函数(partial autocorrelation(partial autocorrelation，简记为，简记为PACF)PACF)则则是是消除了中间变量消除了中间变量Xt-1Xt-1，Xt-k+1 Xt-k+1 带来的带来的间接相关后的直接相关性间接相关后的直接相关性，它是在已知序列，它是在已
16、知序列值值Xt-1Xt-1，Xt-k+1Xt-k+1的条件下，的条件下，XtXt与与Xt-kXt-k间间关系的度量。关系的度量。从Xt中去掉Xt-1的影响，则只剩下随机扰动项at，显然它与Xt-2无关，因此我们说Xt与Xt-2的偏自相关函数偏自相关函数为零，记为 在AR(1)中，0),(2*2=-ttXCorrar 对于AR(1)过程，当k=1时,10，当k1时,k*=0，所以AR(1)过程的偏自相关函数特征是在k=1出现峰值（1=1*）然后截尾。AR(n)模型模型自相关函数：平滑地指数衰减平滑地指数衰减偏自相关函数：k=1时有正峰值然后截尾时有正峰值然后截尾AR(1)模型相关函数与偏自相关函
17、数对比模型相关函数与偏自相关函数对比同样地，在同样地，在AR(n)过程中，对所有的过程中，对所有的kn，Xt与与Xt-k间的间的偏自相关函数为零。偏自相关函数为零。AR(n)的一个主要特征是的一个主要特征是:kn时，时，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即即 k*在在n以后是截尾的。以后是截尾的。一随机时间序列的识别原则：一随机时间序列的识别原则：若若Xt的的偏偏自自相相关关函函数数在在n n以以后后截截尾尾，即即kn时时，k*=0=0，而而它它的的自自相相关关函函数数 k是是拖拖尾尾的的，则则此此序序列列是是自回归自回归AR(n)AR(n)序列。序列。对于一个k阶AR模型，有：由此得到Y
18、ule-Walker方程，记为：已知时，由该方程组可以解出利用克莱姆法则，对k=1，2，3，依次求解得上述序列为AR模型的偏自相关函数。偏自相关性是条件相关，是在给定 的条件下，和的条件相关。换名话说，偏自相关函数是对和所解释的相关的度量。之间未被易得，在AR(k)模型中，第k个偏自相关系数就是AR(k)模型中Xt-k的回归系数。如果自回归过程的阶数为n，则对于kn应该有=0。MA(m)模型模型n可以验证可以验证MA(m)过程的偏自相关函数是非截尾过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。但趋于零的。MA(m)模型的识别规则：模型的识别规则：若随机序列的自相若随机序列的自相关函数截尾，即自关函数截
19、尾，即自m m以后，以后，k k=0=0（km km）；而它的）；而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是移动平均偏自相关函数是拖尾的，则此序列是移动平均MA(m)MA(m)序列。序列。ARMA(n,m)ARMA(n,m)的自相关函数的自相关函数，可以看作MA(m)的自 相关函数和AR(n)的自相关函数的混合物。当当n=0n=0时，它具有截尾性质时，它具有截尾性质；当当m=0m=0时，它具有拖尾性质；时，它具有拖尾性质；当当n n、m m都不为都不为0 0时，它具有拖尾性质时，它具有拖尾性质 ARMA(n,m)ARMA(n,m)过程过程 从识别上看，通常：从识别上看，通常：ARMA(n，m)过程的偏自相关函数（过程的偏自相关函数（PACF）可能可能在在n阶滞后前有几项明显的尖柱（阶滞后前有几项明显的尖柱（spikes），但从），但从n阶滞后项开始逐渐趋向于零；阶滞后项开始逐渐趋向于零；而而它的自相关函数（它的自相关函数（ACF）则是在则是在m阶滞后前有几阶滞后前有几项明显的尖柱，从项明显的尖柱，从m阶滞后项开始逐渐趋向于零。阶滞后项开始逐渐趋向于零。