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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date基本不等式(第1课时)教学设计基本不等式(第1课时)教学设计必修5第三章 不等式3.4.1 基本不等式第一课时(王乙橙)一、教学目标1.核心素养通过学习基本不等式，提升学生的直观想象、数学运算与逻辑推理的能力.2.学习目标（1） 探索基本不等式的证明过程；（2） 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.3.学习重点应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基
2、本不等式的证明过程.4.学习难点用基本不等式求的最大（小）值.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务1.预习课本97页内容,感性认识a2+b22ab这个重要不等式和等号成立的条件.2.能尝试从两方面证明基本不等式吗：(1)代数法(2)几何法2.预习自测1.设a0,b0,则+ 2（填或），并指出“”成立的条件.答案：2.已知aR,设P(4+a2)(4+)，Q24，则P与Q的大小关系是.答案：PQ3.设a0,b0,ab,P=,Q=,M=，则P、Q、M按由小到大的顺序排列是答案：QMP（二）课堂设计1.问题探究问题探究一 什么是基本不等式？活动一 重要不等式？ 观察与思考：如图是在北京召开的第24界
3、国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你还记得是什么吗？（1）设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为_;面积为_,4个直角三角形的面积和是_.（2）根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们在初中的时候从这个图案中找出过一个相等关系_，化简后得到勾股定理 .（3）根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得到一个怎样的不等式_.（4）4个直角三角形的面积和与正方形的面积有相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？（5）你能给出它的证明吗？归纳小结：（重要不等式），对于任意的实数a,b,都
4、有_;当且仅当_.活动二 什么是基本不等式？（1）既然对于任意的实数,都有,如果，用分别代替中的可以得到 .（2）对于不等式，你能给出证明吗？归纳小结：若那么_,我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）.（3）如下图，是圆的直径，点是上任一点，过点作垂直于，连接、.你能利用这个图形得出基本不等式几何解释吗？基本不等式解读：基本不等式的几何意义： 平均数解释： 基本不等式成立的条件是_；结论是_.问题探究二 基本不等式有那些推论与重要变形？ 重点知识，运用技巧1.平方平均、算术平均、几何平均与调和平均的关系：若，则有，当且仅当 取等.2. 基本不等式的几个重要变形：（1）,，当且仅当 取
5、等；（2），当且仅当 取等；（3）若， 则 2，当且仅当 取等；问题探究三 利用基本不等式能解决哪些问题？ 重点、难点知识活动一 运用基本不等式比较大小例1(1)已知a、b(0,1)，且ab，那么在ab，2，a2b2，2ab中的最大者为_.【知识点：基本不等式及取等条件】详解：方法一a、b(0,1)且ab，ab2，a2b22ab.又当a、b(0,1)时，aa2，bb2，aba2b2.最大者为ab.方法二(特值法)，取a，b，代入即得：最大者为ab.(2)设a0，b0，试比较， ，的大小，并说明理由.【知识点：算数平均数，几何平均数，调和平均数，均方根引出的重要结论】详解：方法一a0，b0，即(
6、当且仅当ab时取等号).又()2， (当且仅当ab时等号成立)而，故 (当且仅当ab时等号成立).方法二（特值法）取a1，b4代入即得结论.点拨：(1)利用均值不等式及函数单调性是比较大小的常用方法；(2)代入特殊值，通过计算先估算大小关系，后比较大小更具有目标性活动二 利用基本不等式求最值 例2 (1)已知a0，b0，且ab2，则当ab_时，ab有最小值_.(2)已知a0，b0，且ab2.则当ab_时，ab有最大值_.【知识点：基本不等式】详解：(1)ab2，当ab时，ab有最小值2.(2)ab()2，当ab1时，ab有最大值1.点拨：利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：各项均为
7、正数；其和或积为常数；等号必须成立.即“一正，二定，三相等”.简记：积定和最小，和定积最大.活动三 利用基本不等式求最值例3 (1)已知x1，求f(x)x的最小值.(2)已知x0、y0，且5x7y20.求xy的最大值.【知识点：基本不等式；数学思想：配凑，基本不等式推论】详解：(1)x1，x10.f(x)xx11211.当且仅当x1，即x0时取“”.f(x)min1.(2)x0，y0，xy(5x7y)()2()2.当且仅当5x7y10，即x2，y时，取“”.(xy)max.点拨：在应用基本不等式求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正(各项都是正数)，二定(积或和是定值)，三相等(等号能
8、否成立)”.求最值时，若忽略了某个条件，就会出现错误.导致解题的失败.如：本题(1)已知中将x1改为x2，则值域将变为(，).2.课堂总结1. 基础知识思维导图重要不等式：，均值不等式的应用均值不等式：，均值不等式的重要变形2.重点难点突破利用均值不等式求最值时，应注意的问题（1）各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑.（2）求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值.（3）确保等号成立.以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”.3.基本不等式推广：若， 则(当且仅当时，取等号).一般地，对于个正数，则(当且仅当时，取等号).3.随堂检测1.设0ab，则下列
9、不等式中正确的是()A.abB.abC.ab D.ab【知识点：基本不等式比较大小；】解：0ab，aaab.a.由基本不等式知(ab)，又0ab，abbb，b.a0，则a有最_值2，此时a_.若a0，则a有最_值2，此时a_.(2)若0a1)的最小值为()A.3B.3C.4 D.4【知识点：基本不等式，对数函数】解：x5(x1)626268，当且仅当x1即x2时取“”号，ylog2(x5)log283.故选B.4.设a1，b1且ab(ab)1，那么()A.ab有最小值2(1) B.ab有最大值(1)2C.ab有最大值1 D.ab有最小值2(1)【知识点：基本不等式变形的应用】解：A5.若x，y
10、R，且x2y5，则3x9y的最小值()A.10 B.6 C.4 D.18【知识点：基本不等式，指数式】解：D6.已知ab1，P，Q(lgalgb)，Rlg，比较P、Q、R的大小.【知识点：基本不等式，函数的单调性】解：ab1，lgalgb0.(lgalgb)，故QP.又由，得lglg.即lg(lgalgb)，故RQ.从而PQR.（四）课后作业基础型 自主突破1. 不等式a212a中等号成立的条件是()A.a1 B.a1 C.a1 D.a0【知识点：取等条件】解：B2. 设x0，则y33x的最大值是()A.3 B.32 C.32 D.1【知识点：基本不等式】解：C3. 若a0，b0，且a2b20
11、，则ab的最大值为()A. B.1 C.2 D.4【知识点：基本不等式】解：A4. 下列函数中，最小值为4的函数是()A.yx B.ysinx C.yex4ex D.ylog3xlogx81【知识点：基本不等式，取等条件】解：C5. 已知a0，b0，则2的最小值是()A.2 B.2 C.4 D.5【知识点：基本不等式】解：D6.已知x0，y0，且满足1，则xy的最大值为_ _【知识点：基本不等式】解：37.已知x0，y0，lgxlgy1，求的最小值 【知识点：基本不等式，函数的单调性】解：2能力型 师生共研8. 下列不等式a212a；a244a；|2；ab.其中恒成立的是()A. B. C.
12、D.【知识点：基本不等式】解：与同号，|2.9.(2012福建)下列不等式一定成立的是()A.lg(x2)lgx(x0) B.sinx2(xk，kZ)C.x212|x|(xR) D.1(xR)【知识点：基本不等式，取等条件】解：x212|x|x22|x|10，当x0时，x22|x|1x22x1(x1)20成立；当x1，求y的最小值；（2）求函数y的最小值.【知识点：基本不等式及应用】解：(1)x1，x10.设x1t0，则xt1.于是有yt5259，当且仅当t，即t2时取等号，此时x1.当x1时，函数y取得最小值为9.(2)令tx21，则t1，且x2t1.yt1.t1，t22，当且仅当t，即t1
13、时，等号成立，当x0时，函数取得最小值3.13. 已知实数，若，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【知识点：基本不等式及应用】解：，即的最小值为自助餐1. 如果log3mlog3n4，那么mn的最小值是()A.4 B.18 C.4 D.9【知识点：基本不等式】解：B2. (2013福建)若2x2y1，则xy的取值范围是()A.0,2 B.2,0 C.2，) D.(，2【知识点：基本不等式】解：D3. 若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A.a2b22ab B.ab2 C. D.2【知识点：基本不等式】解：D4. 已知正项等差数列an的前20项和为100，则a5a16
14、的最大值为()A.100 B.75 C.50 D.25【知识点：基本不等式】解：D5. 若正数满足，则的最大值是()A. B. C.2 D.【知识点：基本不等式】解：C6.（襄阳市普通高中2016届高三统一调研）已知x 0，y 0，且，若恒成立，则实数t的取值范围是() A.4，2 B.(4，2) C.(0，2) D.(0，4)【知识点：基本不等式，恒成立】解：B7. 当0x2时，不等式x(2x)a恒成立，则实数a的取值范围是_.【知识点：基本不等式，恒成立】解：1，)8. 若，则的最小值是_；【知识点：基本不等式】解：9.（2013上海高考文科13）设常数a0.若对一切正实数x成立，则a的取值范围为 .【知识点：基本不等式，恒成立】解：，). 考查均值不等式的应用，.10. 已知，则的最大值是_【知识点：基本不等式，配凑思想】解： 点拔: 即，而，所以11.(1)已知x2，求函数y2x的最大值.(2)求y的最小值.【知识点：基本不等式，函数最值】解：(1)x2，x20.y2(x2)42(x2)42424.当且仅当2(x2)(x0，x230.当且仅当x，即x15时，上式等号成立.所以当x15时，y有最小值2 000元.因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少.-