2022年曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册.pdf

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1、第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题1曲线积分( )sin( )cosxLf xeydxf xydy与路径无关，其中( )f x有一阶连续偏导数，且(0)0f，则( )f x BA.1()2xxee B. 1()2xxee C. 1()2xxee2闭曲线 C为1xy的正向，则Cydxxdyxy? C .2 C 3闭曲线 C为2241xy的正向，则224Cydxxdyxy? DA.2 B. 2 D. 4为 YOZ平面上221yz，则222()xyzds D B. C. 14 D. 125设222:Cxya，则22()Cxyds? CA.22 a B. 2a C. 32 a D. 34 a6.

2、 设为球面2221xyz，则曲面积分222dS1xyz的值为 B A.4 B.2 C. D.127. 设 L 是从 O(0,0) 到 B(1,1) 的直线段，则曲线积分Lyds C A. 21 B. 21 C. 22 D. 228. 设 I=Ldsy其中 L 是抛物线2xy上点（ 0, 0 ）与点 (1, 1)之间的一段弧 ,则 I=D A. 655 B.1255 C.6155 D. 121559. 如果简单闭曲线l所围区域的面积为，那么是（ D ） A. lydyxdx21； B. lxdxydy21；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师

3、归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - C. lxdyydx21； D. lydxxdy21。10设2222:(0)S xyzRz，1S为S在第一卦限中部分，则有 CA.14SSxdsxds B.14SSydsydsC.14SSzdszds D.14SSxyzdsxyzds二、填空题1. 设 L 是以 (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分Lydyxeydx)(2 -2 为球面2222azyx的外侧 , 则sdxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(0 3.

4、12222yxyxxdyydx =24曲线积分22()Cxyds?，其中C是圆心在原点，半径为a的圆周，则积分值为32 a5设为上半球面2240zzyx，则曲面积分222dsyxz= 32 6. 设曲线C为圆周221xy, 则曲线积分223dCxyxs?2 .7. 设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分Cds)yx(1+28. 设为上半球面224zxy，则曲面积分222d1sxyz的值为83。9. 光滑曲面 z=f （x，y）在 xoy平面上的投影区域为D，则曲面 z=f （x，y）的面积是DdyzxzS22)()(110设L是抛物线3yx上从点(2,

5、8)到点(0, 0)的一段弧，则曲线积分(24 )Lxy dx1211、cos ,sin ,30 xt yt ztt设为螺旋线上相应于从 到的一段弧，222()Ixyzds则曲线积分221。12、设L为222xya的正向，则22Lxdyydxxy?2。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 三、计算题122xyLeds，其中L为圆周221xy，直线yx及 x 轴在第一象限所围图形的边界。解： 记线段OA方程2,02yxx，圆弧AB方程c

6、os,0sin4xy线段OB方程0,01yx。则原式22xyOAeds22xyABeds22xyOBeds22202xedx40ed10 xe dx2(1)4ee22222ln()Lxy dxy xyxxydy，其中L为曲线sin,0yxx与直线段0,0yx所围闭区域D的正向边界。解： 利用格林公式，22Pxy，22ln()Qy xyxxy，则22Pyyxy，222Qyyxxy故原式()DQPdxdyxy2Dy dxdysin200 xdxy dy3014sin39xdx322Ly dxx dy，其中L为圆周222xyR的上半部分，L的方向为逆时针。解：L的参数方程为cossinxRtyRt，

7、t从 0 变化到。故原式22220sin(sin )cos(cos )RtRtRt Rtdt3220(1cos)(sin )(1sin)cos Rtttt dt343R4求抛物面22zxy被平面1z所割下的有界部分的面积。解 ： 曲 面的 方 程 为22,(, )zxyx yD， 这 里D为在XOY 平 面 的 投 影 区 域22( , )1x y xy。故所求面积221xyDzz dxdy221 4()Dxydxdy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - -

8、 - - - - - 212005 51146dr rdr5、计算(sin)(cos)xxLeymy dxeym dy，其中L为圆222()(0)xayaa的上半圆周，方向为从点(2 ,0)Aa沿L到原点 O 。解： 添加从原点到点A的直线段后，闭曲线所围区域记为D，利用格林公式(sin)xPeymy，cosxQeym，cosxPeymy，cosxQeyx于是(sin)(cos)xxLeymy dxeym dy(sin)(cos)xxOAeymy dxeym dy22Dm amdxdy而(sin)(cos)xxOAeymy dxeym dy20000adx，于是便有(sin)(cos)xxLe

9、ymy dxeym dy22m a6222222()()()Lyzdxzx dyxydz，其中L为球面2221xyz在第一卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。解： 曲线由三段圆弧组成，设在YOZ平面内的圆弧AB的参数方程0cossinxytzt，t从2变化到 0。于是222222()()()AByz dxzx dyxydz0222sin( sin )cos (cos )tttt dt43由对称性即得222222222222()()()3()()()4LAByzdxzxdyxydzyzdxzxdyxydz7(1)(1)(1)xdydzydzdxzdxdy，其中为平面1,0,xyzx0,y0z

10、所围立体的表面的外侧。解： 记1为该表面在XOY平面内的部分，2为该表面在YOZ平面内的部分，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 3为该表面在XOZ平面内的部分，4为该表面在平面1xyz内的部分。1的方程为0,01,01zyxx，根据定向，我们有1(1)(1)(1)xdydzydzdxzdxdy1(1)zdxdy010112xyxdxdy同理，21(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy31(1)(1)(1)2xdydzy

11、dzdxzdxdy4的方程为1,01,01zxyyxx，故4(1)zdxdy01012(2)3xyxxy dxdy，由对称性可得4(1)xdydz42(1)3ydzdx，故4(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy于是所求积分为1123228计算曲面积分：()2sin()(3)xySxyz dydzyzx dzdxzedxdy，其中S为曲面1xyz的外侧。解： 利用高斯公式，所求积分等于1(123)uvwdxdydz=1 16 83 2g g g=8 9. 计算 I=sxzdxdyyzdzdxxydydz，其中 S为 x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立体的表面外侧解：

12、 设 V是 x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体由 Gass公式得 : I=Vdxdydzzyx)( =yxxdzzyxdydx101010)( =81精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 10计算 I=ydzxdyzydxx2233, 其中是从点 A(3, 2, 1)到点 B(0, 0, 0)的直线段 AB解： 直线段 AB的方程是123zyx；化为参数方程得： x=3t, y=2t, z=t, t从 1 变到 0

13、，所以： I=ydzxdyzydxx223303221(3 )33 (2 )2(3 )2 ttttt dt48787013dtt11. 计 算 曲 线 积 分I=AMOxxdyyedxyye,)2cos()2sin(其 中AMO是 由 点A(a,0) 至点 O(0, 0) 的上半圆周axyx22解： 在 x 轴上连接点O(0, 0), A(a, 0) 将AMO扩充成封闭的半圆形AMOA 在线段 OA上, OAxxdyyedxyye0)2cos()2sin(从而AMOOAAMOAAMO又由 Green 公式得 :AMOAaxyxxxadxdydyyedxyye2242)2cos()2sin(21

14、2. 计算曲线积分dzydyxdxzL333其中 L 是 z=2)(22yx与 z=322yx的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向解： 将 L 写成参数方程 : x=cost, y=sint, z=2 t: 02于是 : dzydyxdxzL333=20420cossin8tdtdtt =43另证：由斯托克斯公式得dzydyxdxzL333=dxdyxdxdzzdydzy)03()03()03(22222:2,1zxy上侧，则：2221333232001333cos4Lxyz dxx dyy dzx dxdydrdr?13.设曲面 S为平面 x+y+z=1 在第一卦限部分，计算曲面S的面积 I解

15、： S在 xoy 平面的投影区域为：10,10),(xxyyxDxy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - I=SdS=dxdyxyD310103xdydx23)1(310dxx14. 计算曲线积分Lyxdyyxdxyx22)()(其中L 是沿着圆1) 1() 1(22yx从点A(0,1) 到点 B(2, 1)的上半单位圆弧解： 设22),(yxyxyxP，22),(yxyxyxQ当022yx时，22222)(2yxxyxyxQyP故：

16、所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关则：Lyxdyyxdxyx22)()(=AByxdyyxdxyx22)()(=202)11(dxxx =21ln5-arctan2 15. 确定的值，使曲线积分2124d62dCxxyxxyyy在XoY平面上与路径无关。当起点为0,0，终点为3,1时，求此曲线积分的值。解： 由已知，2124,62PxxyQxyy；由条件得PQyx , 即12461,3xyx, 3,13,1232232230,00,014d62d2263xxyxx yyyxyx y16. 设曲面 S为球面4222zyx被平面 z=1 截出的顶部，计算I=dSzS1解： S的方程为：22

17、4yxzS在 xoy 平面的投影区域为：3),(22yxyxDxy I=dxdyyxxyD22422030242drrrd2ln417. 计算 I=dxdyzyxxzdzdxyzdydz)(，其中是2222)(aazyx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - az0，取下侧解： 作辅助曲面1: z=a ，)(222ayx取上侧设为2222()xyzaa,za所围闭区域xyD为平面区域222ayx11()()Iyzdydzxzdxdzx

18、yz dxdy=dxdydzxyDdxdyayx)(=332axyDdxdyaxyDdxdyyx)0)(=331a18. L为上半椭圆圆周cossinxatybt，取顺时针方向，求.Lydxxdy解：0 sin(sin )cos( cos )Lydxxdybtatatbtdt0.abdtab19计算曲面积分2(2 )xdydzydzdxzz dxdy，其中为锥面22zxy与1z所围的整个曲面的外侧。解：由高斯公式，可得21100(1 122)22.2Izdvzdvddzdz20计算曲线积分()(3)xyLIye dxxedy?，其中L是椭圆22221xyab的正向。解： 令xPye, 3yQx

19、e, 则2QPxy。设L所围成的闭区域为D，则其面积ab。ABxy0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 从而由格林公式可得()(3)222xyLDDIye dxxedydxdydxdyab?. 21 设为柱面222xza在使得0 x，0y的两个卦限内被平面0y及yh所截下部分的外侧，试计算Ixyzdxdy。解：将分成1与2，其中1：22zax（取上侧），2：22zax（取下侧），1与2在xoy面上的投影为: 0, 0 xyDxayh

20、，故12222222220032()221.3xyxyxyDDahDxyzdxdyxyzdxdyxyzdxdyxy ax dxdyxyaxdxdyxy ax dxdydxx axydya h22计算曲面积分2Iz dS，其中是柱面224xy介于06z的部分。解 ： 设1为在 第一 卦 限 的 部 分 曲面 。212:4,04xyxxyyzy， 得222214xxdydzdSdydzyzy。1在yoz面上的投影域为:02, 06yzDyz。故1226222220021448288.44yzDzz dSz dSdydzdyz dzyy23. 计算曲面积分2()Izx dydzzdxdy，其中是旋转

21、抛物面221()2zxy介于0z及2z之间部分的下侧。解： 利用高斯公式，取1:2z且224xy。取上侧，与1构成封闭的外侧曲面，所围的闭域为，1对应的xyD为：224xy。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 111212222222200()()()(1 1)222222880.xyDrzx dydzzdxdyzx dydzzdxdyzx dydzzdxdydvdxdydvdxdyddrrdz24计算曲线积分22ddCyxxyxy

22、Ixy，其中C是自点2,1A沿曲线cos2yx到点2,1B的曲线段。解：222222222222,0 xyyxPxxyyQPQxyxyxyyxxy,取小圆周22:,Cxy充分小 , 取逆时针方向 , 则由 Green 公式可得 :222211()d()dd22arctan21CxIyxxyxyxx?25用高斯公式计算xy dxdyyz xdydz，其中:柱面221yx及平面0,3zz围成封闭曲面的外侧。解：,0,Pyz x QRxy,0,0PQRyzxyz原式 =sinyz dvrz rdrddz =213000sindrdrrz dz =2120093sin2drdrr =209sin4d

23、=92精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 26 计 算 曲 面 积 分281 d d4d d2d dIxzy zyz z xyzx y， 其 中是 曲 面221zxy被平面3z所截下的部分，取下側。解： 补2212:3xyz, 取上侧 ,11I, 而13311( )ddd d(1)d2D zvzx yzz, 其中22( ) :1D zxyz1(18)d dxyDyx y18d d36xyDx y, 38I27计算曲线积分ldyyx

24、dxxyx)()(223，其中 L 是区域 0 x1，0y1 的边界正向。解： 利用 Green 公式ldyyxdxxyx)()(223=Ddxxdyxdxdy10102128、计算曲面积分dxdyzdxdzydydzx222，其中为平面方程x+y+z=1 在第一卦限的上侧。解：dxdyzdxdzydydzx222=Ddxdyyxyx41)1 (222或由对称性：222x dydzy dzdxz dxdy，而2112z dxdy，故14I。或3dSdxdydydzdzdx可知。29. 计算Lxdyyydxxsincos，其中 L是由点 A（0，0）到 B（， 2）的直线段。解： AB 的方程2

25、0,yxx2dydx0cossincos24 sinLxydxyxdyxxxx dx430、设)(xf可微，1)0(f且曲线积分Lxdyxfydxexf)()(22与路径无关。求)(xf。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 解：22,xPQfxfxeyx因该项积分与路径无关，所以2,2xPQfxfxeyx有。令( )yfx，得微分方程22xyye，解得2 xyxce， （ 2 分）代入条件1)0(f得 C=1从而有21xyxe31

26、、计算对面积的曲面积分2222,: ,12dszzyyxz其中。解:2222,xyxyZZyyxx曲面在 XOY平面上的投影为2214yx22222222112xyyxZZyyxx原式 =2222xydxdyyyxD=2225012sinddrr =22101162sin 2624rg=21 2232、计算曲面积分2xz dydzzdxdy，其中是曲面22zyx在1z的部分的下侧。解： 补充曲面1:1z且取上侧，又3PQRxyz，由高斯公式11222xz dydzzdxdyxz dydzzdxdyxz dydzzdxdy =2213yxdxdydzdxdy=2211003322rdrdrdz四

27、、综合题1、证明在整个XOY平面上，(sin)(cos)xxeymy dxeymx dy是某个函数的全微分，求这样的一个函数并计算(sin)(cos)xxLeymy dxeymx dy， 其中 L为从(0,0)到(1,1)的任意一条道路。解： 令( , )sinxP x yeymy，( , )cosxQ x yeymx，则有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - cosxPQeymyx，故知(sin)(cos)xxeymy dxeym

28、x dy是某个函数的全微分。取路径(0,0)( ,0)( , )xx y，则一个原函数为( , )U x y( , )(0,0)(sin)(cos)x yxxeymy dxeymx dy(0,)( ,)(0,0)(0,)(sin)(cos)(sin)(cos)xx yxxxxxeymy dxeymx dyeymy dxeymx dy00 xdx0(cos)yxeymx dysinxeymxy最后(sin)(cos)xxLeymy dxeymx dy(1,1)(0,0)UUsin1em2、证明曲线积分1,20, 122)(ydyxdxyx在 XOY面与路径无关，并求值。解：23,P x yxyx，32,Q x yyyx2PQxyyx可知该曲线积分与路径无关。2, 12123231,010()4xdxydydxydyyyxx2124410116244yyx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -