专题14 函数综合题(解析版).pdf

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1、专题专题 1414 函数的综合问题函数的综合问题1.一次函数与二次函数的综合。2.一次函数与反比例函数的综合。3.二次函数与反比例函数的综合。4.一次函数、二次函数和反比例函数的综合。专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析【例题【例题 1 1】(2019(2019 黑龙江绥化黑龙江绥化) )一次函数 y1x+6 与反比例函数 y2变量 x 的取值范围是_.8(x0)的图象如图所示.当 y1y2时,自x专题知识回顾专题知识回顾第 18 题图【答案】【答案】2xy2时,自变量 x 的取值范围是 2x4.x【例题【例题 2 2】 （20192019 吉林长春）吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，抛

2、物线y=ax2-2ax+8(a0)与 y 轴交于点 A，过3点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点M，P 为抛物线的顶点， 若直线 OP 交直线 AM 于点 B，且 M 为线段 AB的中点，则 的值为1【答案】2.【解析】本题主要考查二次函数的综合运用，首先根据二次函数的解析式可得出点A 和点 M 的坐标，然后8-a 的形式，得出点P 的坐标，进而得出OP 的方程，进而得出点38B 的坐标，最后根据 M 为线段 AB 的中点，可得=4，进而得出答案.83a8令 x=0，可得 y=，38点 A 的坐标为（0，） ，38点 M 的坐标为（2，）.388y=ax2-2ax+=a(x-1)2+-a，3

3、38抛物线的顶点 P 的坐标为（1，-a） ，38直线 OP 的方程为 y=(-a)x，388令 y=，可得 x=，383a88点 B 的坐标为（，）.83a3将二次函数的解析式配方写出y=a(x-1)2+M 为线段 AB 的中点，8=4，解得 a=2。83a【例题【例题 3 3】 （20192019 广西省贵港市）广西省贵港市）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(1,0)，点D(4,4)在反2k比例函数y (x 0)的图象上，直线y x b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE3x（1）求k，b的值；（2）求ACE的面积【答案】将解析。【解析】由菱形的性质可知B(6,0)，C

4、(9,4)，点D(4,4)代入反比例函数y k，求出k；将点C(9,4)代入x2y 22x b，求出b；求出直线y x 2与x轴和y轴的交点，即可求AEC的面积；33（1）由已知可得AD 5，Q菱形ABCD，B(6,0)，C(9,4)，Q点D(4,4)在反比例函数y k(x 0)的图象上，xk 16，将点C(9,4)代入y b 2；2x b，3（2）E(0,2)，直线y 2x 2与x轴交点为(3,0)，31SAEC2(2 4) 62专题典型训练题专题典型训练题1. 1. （20192019 广东深圳）广东深圳） 已知函数 y=ax2+bx+c （a0） 的图象如图所示， 则函数 y=ax+b

5、与 y=c的图象为 （）x【答案】C【解析】 二次函数的图象与系数的关系； 一次函数的图象与系数的关系； 反比例函数的图象与系数的关系；符号判断。先根据二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象确定 a，b，c 的正负，则判断一次函数与反比例函数的图象所在的象限由二次函数的图象可知，a0，c0当a0，c0 时，一次函数y=ax+b 经过第一、二、四象限；反比例函数 y=c位于第二、四象限，选项C 符合故选 Cx3x22x(x 0)2. 2.（20192019 四川省雅安市）四川省雅安市） 已知函数y 的图像如图所示，若直线y=x+m 与该图像恰有三x(x 0)个不同的交点，则 m 的取值范围为

6、 _.y yx x【答案】【答案】0m0mO O0014x22x(x 0)【解析】【解析】 观察图像可知， 当直线 y=x+m 经过原点时与函数y 的图像有两个不同的交点，x(x 0)再向上平移，有三个交点，当向上平移到直线y=x+m 与y x 2x的图像有一个交点时，此直线y=x+m2x22x(x 0)与函数y 的图像有两个不同的交点，不符合题意，从而求出m 的取值范围x(x 0)由由 y=x+m 与y x 2x得x m x2 2x，整理得x2 xm 0，当有两个交点2b24ac (1)24m 0，解得 m0，m 的取值范围为 0m0m11，故答案为 0m0m443. 3. （2019201

7、9 湖北仙桃）湖北仙桃）如图，在平面直角坐标系中， 四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O（0，0） ，A（12，0） ，B（8，6） ，C（0，6） 动点P 从点 O 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿边OA 向终点 A 运动；动点Q 从点 B 同时出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿边BC 向终点 C 运动设运动的时间为 t 秒，PQ2y（1）直接写出 y 关于 t 的函数解析式及 t 的取值范围：；（2）当 PQ35时，求 t 的值；（3）连接 OB 交 PQ 于点 D，若双曲线 y=（k0）经过点 D，问 k 的值是否变化？若不变化，请求出 k的值；若变化，请说明理由4【答案】见解析。

8、【解析】（1）过点 P 作 PEBC 于点 E，如图 1 所示当运动时间为 t 秒时（0t4）时，点 P 的坐标为（3t，0） ，点 Q 的坐标为（82t，6） ，PE6，EQ|82t3t|85t|，PQ2PE2+EQ262+|85t|225t280t+100，y25t280t+100（0t4） 故答案为：y25t280t+100（0t4） （2）当 PQ35时，25t280t+100（35）2，整理，得：5t216t+110，解得：t11，t2=5（3）经过点 D 的双曲线 y=（k0）的 k 值不变连接 OB，交 PQ 于点 D，过点 D 作 DFOA 于点 F，如图 2 所示115OC6

9、，BC8，OB= 2+ 2=10BQOP，BDQODP，=23=，32OD6CBOA，DOFOBC在 RtOBC 中，sinOBC=10=4，cosOBC=10=5，OFODcosOBC65=5，DFODsinOBC65=5，点 D 的坐标为（2454243186384，185） ，245经过点 D 的双曲线 y=（k0）的 k 值为185=432254. 4.（20192019 湖南湘西）湖南湘西） 如图， 一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y=的图象在第一象限交于点A （3， 2） ，与 y 轴的负半轴交于点B，且 OB4（1）求函数 y=和 ykx+b 的解析式；（2）结合图象直

10、接写出不等式组0kx+b 的解集【答案】见解析。【解析】（1）把点 A（3，2）代入反比例函数 y=反比例函数解析式为 y=，OB4，B（0，4） ，6，可得 m326，63 + = 2把点 A（3，2） ，B（0，4）代入一次函数 ykx+b，可得， = 4 = 2解得， = 4一次函数解析式为 y2x4；（2）不等式组 0kx+b 的解集为：x35.5.（20192019山东东营）山东东营）如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx与双曲线y=x 轴，垂足为C，AOC的面积是 2（1）求 m、n的值；（2）求直线 AC的解析式n相交于A（2，a）、B 两点，BCx【答案】见解析。【解析】【解析

11、】根据反比例函数的对称性可得点A 与点 B 关于原点中心对称，则B（2，a） ，由于BCx 轴，所以C（2，0） ，先利用三角形面积公式得到12a2，解得 a2，则可确定A（2，2） ，然后把 A 点坐标2代入 ymxymx 和 y中即可求出 m，n；根据待定系数法即可得到直线AC 的解析式（1）直线 ymx 与双曲线 y相交于 A（2，a） 、B 两点，点 A 与点 B 关于原点中心对称，B（2，a） ，C（2，0） ；S AOC2，12a2，解得 a2，2A（2，2） ，7把 A（2，2）代入 ymx 和 y得2m2，2（2）设直线 AC 的解析式为 ykx+b，直线 AC 经过 A、C，

12、解得，解得 m1，n4；直线 AC 的解析式为 y1x+126.6.（20192019 湖北咸宁）湖北咸宁）某工厂用 50 天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80 元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z2x+120（1）第 40 天，该厂生产该产品的利润是元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400 元的共有多少天？【答案】见解析。【答

13、案】见解析。【解析】【解析】由图象可知，第40 天时的成本为 40 元，此时的产量为z240+12040，则可求得第40 天的利润利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可（1）由图象可知，第 40 天时的成本为 40 元，此时的产量为z240+12040则第 40 天的利润为： （8040）401600 元故答案为 1600（2）设直线AB的解析式为ykx+b（k0） ，把（0，70） （30，40）代入得 = 70 = 70，解得30 + = 40 = 1直线AB的解析式为yx+70（）当 0 x30 时8w80（x+70）（2x+120）2x+100 x+12002（x25） +

14、2450当x25 时，w最大值2450（）当 30 x50 时，22w（8040）（2x+120）80 x+4800w随x的增大而减小当x31 时，w最大值232022+ 100 + 1200，(0 30) = 80 + 4800，(30 50)第 25 天的利润最大，最大利润为2450 元（）当 0 x30 时，令2（x25） +24502400 元解得x120，x230抛物线w2（x25） +2450 开口向下由其图象可知，当 20 x30 时，w2400此时，当天利润不低于 2400 元的天数为：3020+111 天（）当 30 x50 时，由可知当天利润均低于2400 元综上所述，当天

15、利润不低于2400 元的共有 11 天7. 7. （20192019 贵州省毕节市）贵州省毕节市）已知抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，点 P 为第二象限内抛物线上的动点（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图 1，连接 OP 交 BC 于点 D，当 SCPD：SBPD1：2 时，请求出点 D 的坐标；（3）如图 2，点 E 的坐标为（0，1） ，点 G 为 x 轴负半轴上的一点，OGE15，连接 PE，若PEG2OGE，请求出点 P 的坐标；（4）如图 3，是否存在点 P，使四边形 BOCP 的面积为 8？若存在，请求出

16、点 P 的坐标；若不存在，请说明理由229【答案】见解析。【答案】见解析。【解析】【解析】函数的表达式为：ya（x1） （x+3）a（x2+2x3） ，即可求解；22SCPD：SBPD1：2，则 BDBC3222，即可求解；33OGE15，PEG2OGE30，则OHE45，故 OHOE1，即可求解；利用 S四边形BOCPSOBC+SPBC8，即可求解（1）函数的表达式为：ya（x1） （x+3）a（x2+2x3） ，即：3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x+3 ，顶点坐标为（1，4） ；（2）OBOC，CBO45，SCPD：SBPD1：2，22BDBC3222，33yDBDsin

17、CBO2，则点 D（1，2） ；（3）如图 2，设直线 PE 交 x 轴于点 H，OGE15，PEG2OGE30，OHE45，1 0OHOE1，则直线 HE 的表达式为：yx1，1 17（舍去正值） ，21 171 17故点 P（，） ；22联立并解得：x（4）不存在，理由：连接 BC，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H，直线 BC 的表达式为：yx+3，设点 P（x，x22x+3） ，点 H（x，x+3） ，11则 S四边形BOCPSOBC+SPBC33+（x22x+3x3）38，22整理得：3x2+9x+70，解得：0，故方程无解，则不存在满足条件的点P8. 8.（201920

18、19 贵州黔西南州）贵州黔西南州）已知抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，点 P 为第二象限内抛物线上的动点（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图 1，连接 OP 交 BC 于点 D，当 SCPD：SBPD1：2 时，请求出点 D 的坐标；（3）如图 2，点 E 的坐标为（0，1） ，点 G 为 x 轴负半轴上的一点，OGE15，连接 PE，若PEG2OGE，请求出点 P 的坐标；（4）如图 3，是否存在点 P，使四边形 BOCP 的面积为 8？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由1 1【答案】见解析。【答案

19、】见解析。【解析】【解析】函数的表达式为：ya（x1） （x+3）a（x2+2x3） ，即可求解；SCPD：SBPD1：2，则 BD= BC=232 32 =22，即可求解；3OGE15，PEG2OGE30，则OHE45，故 OHOE1，即可求解；利用 S四边形BOCPSOBC+SPBC8，即可求解（1）函数的表达式为：ya（x1） （x+3）a（x2+2x3） ，即：3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x+3，顶点坐标为（1，4） ；（2）OBOC，CBO45，SCPD：SBPD1：2，BD=3BC=3 32 =22，yDBDsinCBO2，则点 D（1，2） ；（3）如图 2，

20、设直线 PE 交 x 轴于点 H，22OGE15，PEG2OGE30，OHE45，1 2OHOE1，则直线 HE 的表达式为：yx1，联立并解得：x=故点 P（1172117（舍去正值） ，2，171） ；2（4）不存在，理由：连接 BC，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H，直线 BC 的表达式为：yx+3，设点 P（x，x22x+3） ，点 H（x，x+3） ，则 S四边形BOCPSOBC+SPBC=233+2（x22x+3x3）38，整理得：3x2+9x+70，解得：0，故方程无解，则不存在满足条件的点P9. 9.（20192019 湖北十堰）湖北十堰）已知抛物线 ya（x2）

21、2+c 经过点 A（2，0）和C（0， ） ，与x 轴交于另一点 B，4911顶点为 D（1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图，点 E，F 分别在线段 AB，BD 上（E 点不与 A，B 重合） ，且DEFA，则DEF 能否为等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；（3）若点 P 在抛物线上，且=m，试确定满足条件的点P 的个数1 3【答案】见解析。【答案】见解析。【解析】【解析】利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题可能分三种情形当 DEDF 时，当 DEEF 时，当 DFEF 时，分别求解即可如图 2 中，连接BD，当点P 在线段 BD 的右侧时，作DHA

22、B 于 H，连接PD，PH，PB设Pn，2）2+3，构建二次函数求出PBD 的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题16 + = 09，（1）由题意：4 + =4解得 = 16， = 3抛物线的解析式为 y= 顶点 D 坐标（2，3） （2）可能如图 1，3（x2）2+3，1633（n16A（2，0） ，D（2，3） ，B（6，0） ，AB8，ADBD5，当 DEDF 时，DFEDEFABD，EFAB，此时 E 与 B 重合，与条件矛盾，不成立当 DEEF 时，又BEFAED，BEFAED，BEAD51 4当 DFEF 时，EDFDEFDABDBA，FDEDAB，=，=，85AEFBCE=5=

23、，8255EB=8AD=8，答：当 BE 的长为 5 或258时，CFE 为等腰三角形3（3） 如图 2 中， 连接 BD， 当点 P 在线段 BD 的右侧时， 作 DHAB 于 H， 连接 PD， PH， PB 设 Pn， 16（n2）2+3，则 SPBDSPBH+SPDHSBDH=0，n4 时，PBD 的面积的最大值为 ，2338131132234（n2）+3+3 （n2） 43= （n4）+ ，2162282=m，32当点 P 在 BD 的右侧时，m 的最大值=5=10，观察图象可知：当 0m33时，满足条件的点 P 的个数有 4 个，103当 m=10时，满足条件的点 P 的个数有 3

24、 个，当 m10时，满足条件的点 P 的个数有 2 个（此时点 P 在 BD 的左侧） 10.10.（20192019 湖北咸宁）湖北咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线 y= 2x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y= 2x2+bx+c 经过 A，B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C1 5311（1）求该抛物线的解析式；（2）若点 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点，当ABD2BAC 时，求点 D 的坐标；（3）已知 E，F 分别是直线 AB 和抛物线上的动点，当 B，O，E，F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标【答案】见解析。

25、【答案】见解析。【解析】【解析】求得 A、B 两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c 的值，获得抛物线的解析式通过平行线分割 2 倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标B、O、E、F 四点作平行四边形，以已知线段OB 为边和对角线分类讨论，当OB 为边时，以EFOB 的关系建立方程求解，当OB 为对角线时，OB 与 EF 互相平分，利用直线相交获得点E 坐标（1）在 = + 2中，令 y0，得 x4，令 x0，得 y2A（4，0） ，B（0，2）把 A（4，0） ，B（0，2） ，代入 = 22+ + ，得3 = 2 =1，解得2 16 + 4 + = 0 = 221

26、12抛物线得解析式为 = 2+ + 2（2）如图，过点 B 作 x 轴得平行线交抛物线于点E，过点 D 作 BE 得垂线，垂足为 F12321 6BEx 轴，BACABEABD2BAC，ABD2ABE即DBE+ABE2ABEDBEABEDBEBAC设 D 点的坐标为（x，2+ + 2） ，则 BFx，DF= 2+tanDBE=，tanBAC=12321232=，即 2+ 1232=42解得 x10（舍去） ，x22当 x2 时，22+2 + 2 =3点 D 的坐标为（2，3）（3）13当 BO 为边时，OBEF，OBEF设 E（m，2 + 2） ，F（m，22+2 + 2）1 7113EF|（

27、 + 2）（2+ + 2）|2解得 m12，2= 2 22，3= 2 + 22当 BO 为对角线时，OB 与 EF 互相平分121232过点 O 作 OFAB，直线 OF = 2交抛物线于点 F（2 + 22， 1 2）和（2 22， 1 + 2）求得直线 EF 解析式为 = 2 + 1或 =2 + 1直线 EF 与 AB 的交点为 E，点 E 的横坐标为22 2或22 2E 点的坐标为（2，1）或（2 22，1 + 2）或（2 + 22，1 2）或（2 22，3 + 2）或（2 +22，3 2）11.11.（20192019 湖南湘西）湖南湘西）如图，抛物线 yax2+bx（a0）过点 E（

28、8，0） ，矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上（点 A 在点 B 的左侧） ，点C、D 在抛物线上，BAD 的平分线 AM 交 BC 于点 M，点N 是 CD 的中点，已知 OA2，且 OA：AD1：3（1）求抛物线的解析式；（2）F、G 分别为 x 轴，y 轴上的动点，顺次连接M、N、G、F 构成四边形 MNGF，求四边形 MNGF 周长的最小值；（3）在 x 轴下方且在抛物线上是否存在点 P，使ODP 中 OD 边上的高为标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距

29、离6105221？若存在，求出点 P 的坐1 8【答案】见解析。【答案】见解析。【解析】【解析】由点 E 在 x 轴正半轴且点 A 在线段 OE 上得到点 A 在 x 轴正半轴上，所以 A（2，0） ；由 OA2，且 OA：AD1：3 得 AD6由于四边形 ABCD 为矩形，故有 ADAB，所以点 D 在第四象限，横坐标与A 的横坐标相同，进而得到点D 坐标由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式画出四边形MNGF，由于点 F、G 分别在 x 轴、y 轴上运动，故可作点 M 关于 x 轴的对称点点 M，作点 N 关于 y 轴的对称点点 N，得 FMFM、GNGN易得当 M、F、G、N在

30、同一直线上时 NG+GF+FMMN最小，故四边形 MNGF 周长最小值等于 MN+MN根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M、N、N坐标，即求得答案因为 OD 可求，且已知ODP 中 OD 边上的高，故可求ODP 的面积又因为ODP 的面积常规求法是过点 P 作 PE 平行 y 轴交直线 OD 于点 E，把ODP 拆分为OPE 与DPE 的和或差来计算，故存在等量关系设点 P 坐标为 t，用 t 表示 PE 的长即列得方程求得t 的值要讨论是否满足点P 在 x 轴下方的条件由 KL 平分矩形 ABCD 的面积可得 K 在线段 AB 上、L 在线段 CD 上，画出平移后的抛物线可知，点K

31、由点O 平移得到，点 L 由点 D 平移得到，故有 K（m，0） ，L（2+m，0） 易证 KL 平分矩形面积时，KL 一定经过矩形的中心 H 且被 H 平分，求出 H 坐标为（4，3） ，由中点坐标公式即求得m 的值（1）点 A 在线段 OE 上，E（8，0） ，OA2A（2，0）OA：AD1：3AD3OA6四边形 ABCD 是矩形ADABD（2，6）抛物线 yax2+bx 经过点 D、E14 + 2 = 6 =解得：264 + 8 = 0 = 41 9抛物线的解析式为 y= x24x（2）如图 1，作点 M 关于 x 轴的对称点点 M，作点 N 关于 y 轴的对称点点 N，连接 FM、GN

32、、MN12y= x24x= （x4）28抛物线对称轴为直线 x4点 C、D 在抛物线上，且 CDx 轴，D（2，6）yCyD6，即点 C、D 关于直线 x4 对称xC4+（4xD）4+426，即 C（6，6）ABCD4，B（6，0）AM 平分BAD，BADABM90BAM45BMAB4M（6，4）点 M、M关于 x 轴对称，点 F 在 x 轴上M（6，4） ，FMFMN 为 CD 中点N（4，6）点 N、N关于 y 轴对称，点 G 在 y 轴上N（4，6） ，GNGNC四边形MNGFMN+NG+GF+FMMN+NG+GF+FM当 M、F、G、N在同一直线上时，NG+GF+FMMN最小C四边形M

33、NGFMN+MN= (6 4)2+ (4 + 6)2+ (6 + 4)2+ (4 + 6)2=22 +102 =1222 01212四边形 MNGF 周长最小值为 122（3）存在点 P，使ODP 中 OD 边上的高为过点 P 作 PEy 轴交直线 OD 于点 ED（2，6）OD= 22+ 62= 210，直线 OD 解析式为 y3x设点 P 坐标为（t， t24t） （0t8） ，则点 E（t，3t）216105如图 2，当 0t2 时，点 P 在点 D 左侧PEyEyP3t（ t24t）= t2+t2112SODPSOPE+SDPE= PExP+ PE （xDxP）= PE（xP+xDxP

34、）= PExDPE= t2+tODP 中 OD 边上的高 h=SODP= ODh t2+t=方程无解如图 3，当 2t8 时，点 P 在点 D 右侧1216102102512610，512121212122 1PEyPyE=2t24t（3t）=2t2tSODPSOPESDPE=2PExP2PE （xPxD）=2PE（xPxP+xD）=2PExDPE=2t2t t2t=2210 21161051111111解得：t14（舍去） ，t26P（6，6）610综上所述，点 P 坐标为（6，6）满足使ODP 中 OD 边上的高为5（4）设抛物线向右平移m 个单位长度后与矩形ABCD 有交点 K、LKL 平分矩形 ABCD 的面积K 在线段 AB 上，L 在线段 CD 上，如图 4K（m，0） ，L（2+m，0）连接 AC，交 KL 于点 H2 2S1ACDS四边形ADLK=2S矩形ABCDSAHKSCHLAKLCAHKCHL= ()2= 1AHCH，即点 H 为 AC 中点H（4，3）也是 KL 中点22= 4m3抛物线平移的距离为 3 个单位长度2 3