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1、中考 2020 专题 14 函数的综合问题 1.一次函数与二次函数的综合。2.一次函数与反比例函数的综合。3.二次函数与反比例函数的综合。4.一次函数、二次函数和反比例函数的综合。【例题 1】(2019 黑龙江绥化)一次函数 y1x+6 与反比例函数 y28x(x0)的图象如图所示.当 y1y2时,自变量 x 的取值范围是_.第 18 题图【答案】2xy2时,自变量 x 的取值范围是 2x4.【例题 2】（2019 吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+83(a0)与y轴交于点 A，过点 A作x轴的平行线交抛物线于点 M，P为抛物线的顶点，若直线 OP交直线 AM于点
2、B，且 M为线段 AB的中点，则的值为 专题知识回顾 专题典型题考法及解析中考 2020【答案】2.【解析】本题主要考查二次函数的综合运用，首先根据二次函数的解析式可得出点 A和点 M的坐标，然后将二次函数的解析式配方写出 y=a(x-1)2+83-a的形式，得出点 P的坐标，进而得出 OP的方程，进而得出点B的坐标，最后根据 M为线段 AB的中点，可得883a=4，进而得出答案.令x=0，可得y=83，点 A的坐标为（0，83），点 M的坐标为（2，83）.y=ax2-2ax+83=a(x-1)2+83-a，抛物线的顶点 P的坐标为（1，83-a），直线 OP的方程为y=(83-a)x，令y
3、=83，可得x=883a，点 B的坐标为（883a，83）.M为线段 AB的中点，883a=4，解得a=2。【例题 3】（2019 广西省贵港市）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(1,0)，点(4,4)D在反比例函数(0)kyxx的图象上，直线23yxb经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE（1）求k，b的值；（2）求ACE的面积 【答案】将解析。【解析】由菱形的性质可知(6,0)B，(9,4)C，点(4,4)D代入反比例函数kyx，求出k；将点(9,4)C代入中考 2020 23yxb，求出b；求出直线223yx与x轴和y轴的交点，即可求AEC的面积；（1）由已知可得5AD
4、，Q菱形ABCD，(6,0)B，(9,4)C，Q点(4,4)D在反比例函数(0)kyxx的图象上，16k，将点(9,4)C代入23yxb，2b ；（2）(0,2)E，直线223yx与x轴交点为(3,0)，12(24)62AECS 1.（2019 广东深圳）已知函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则函数 y=ax+b 与 y=cx的图象为（）【答案】C【解析】二次函数的图象与系数的关系；一次函数的图象与系数的关系；反比例函数的图象与系数的关系；符号判断。先根据二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象确定 a，b，c 的正负，则判断一次函数与反比例函数的图象所在的象限 由二次函数
5、的图象可知，a0，c0当 a0，c0 时，一次函数 y=ax+b 经过第一、二、四象限；反比例函数 y=cx位于第二、四象限，选项 C符合故选 C 专题典型训练题中考 2020 2.（2019 四川省雅安市）已知函数22(0)(0)xx xyx x 的图像如图所示，若直线 y=x+m与该图像恰有三个不同的交点，则 m的取值范围为 _.xy00O【答案】0m14【解析】观察图像可知，当直线 y=x+m经过原点时与函数22(0)(0)xx xyx x 的图像有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，当向上平移到直线 y=x+m 与22yxx 的图像有一个交点时，此直线 y=x+m与函数22(0)(
6、0)xx xyx x 的图像有两个不同的交点，不符合题意，从而求出 m的取值范围 由 y=x+m与22yxx 得22xmxx ，整理得20 xxm ，当有两个交点 224(1)40bacm，解得 m0，m的取值范围为 0m14，故答案为 0m14 3.（2019 湖北仙桃）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）动点P从点O出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿边BC向终点C运动设运动的时间为t秒，PQ2y（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围
7、：；（2）当PQ3时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y（k0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由 中考 2020 【答案】见解析。【解析】（1）过点P作PEBC于点E，如图 1 所示 当运动时间为t秒时（0t4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（82t，6），PE6，EQ|8 2t3t|8 5t|，PQ2PE2+EQ262+|8 5t|225t280t+100，y25t280t+100（0t4）故答案为：y25t280t+100（0t4）（2）当PQ3时，25t280t+100（3）2，整理，得：5t216t+110，解得：t11，
8、t2（3）经过点D的双曲线y（k0）的k值不变 连接OB，交PQ于点D，过点D作DFOA于点F，如图 2 所示 中考 2020 OC6，BC8，OB10 BQOP，BDQODP，OD6 CBOA，DOFOBC 在 RtOBC中，sin OBC，cos OBC，OFOD cos OBC6，DFOD sin OBC6，点D的坐标为（，），经过点D的双曲线y（k0）的k值为 4.（2019 湖南湘西）如图，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象在第一象限交于点A（3，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB4（1）求函数y和ykx+b的解析式；（2）结合图象直接写出不等式组 0kx+b的解集 【答
9、案】见解析。【解析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数y，可得m326，反比例函数解析式为y，OB4，B（0，4），中考 2020 把点A（3，2），B（0，4）代入一次函数ykx+b，可得，解得，一次函数解析式为y2x4；（2）不等式组 0kx+b的解集为：x3 5.（2019山东东营）如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx与双曲线y=nx相交于A（2，a）、B 两点，BCx 轴，垂足为 C，AOC的面积是2（1）求 m、n的值；（2）求直线 AC的解析式 【答案】见解析。【解析】根据反比例函数的对称性可得点A与点B关于原点中心对称，则B（2，a），由于BCx轴，所以C（2，0），先利用三
10、角形面积公式得到122a2，解得a2，则可确定A（2，2），然后把A点坐标代入ymxymx和y中即可求出m，n；根据待定系数法即可得到直线AC的解析式（1）直线ymx与双曲线y相交于A（2，a）、B两点，点A与点B关于原点中心对称，B（2，a），C（2，0）；SAOC2，122a2，解得a2，A（2，2），中考 2020 把A（2，2）代入ymx和y得2m2，2，解得m1，n4；（2）设直线AC的解析式为ykx+b，直线AC经过A、C，解得 直线AC的解析式为y12x+1 6.（2019 湖北咸宁）某工厂用 50 天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件 80 元的价格全部订
11、购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z2x+120（1）第 40 天，该厂生产该产品的利润是 元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元 求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？在生产该产品的过程中，当天利润不低于 2400 元的共有多少天？【答案】见解析。【解析】由图象可知，第 40 天时的成本为 40 元，此时的产量为z240+12040，则可求得第 40 天的利润利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可（1）由图象可知，第 40 天时的成
12、本为 40 元，此时的产量为z240+12040 则第 40 天的利润为：（8040）401600 元 故答案为 1600（2）设直线AB的解析式为ykx+b（k0），把（0，70）（30，40）代入得，解得 直线AB的解析式为yx+70（）当 0 x30 时 中考 2020 w80（x+70）（2x+120）2x2+100 x+1200 2（x25）2+2450 当x25 时，w最大值2450（）当 30 x50 时，w（8040）（2x+120）80 x+4800 w随x的增大而减小 当x31 时，w最大值2320 第 25 天的利润最大，最大利润为 2450 元（）当 0 x30 时，令
13、2（x25）2+24502400 元 解得x120，x230 抛物线w2（x25）2+2450 开口向下 由其图象可知，当 20 x30 时，w2400 此时，当天利润不低于 2400 元的天数为：3020+111 天（）当 30 x50 时，由可知当天利润均低于 2400 元 综上所述，当天利润不低于 2400 元的共有 11 天 7.（2019 贵州省毕节市）已知抛物线yax2+bx+3 经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；（2）如图 1，连接OP交BC于点D，当SCPD：SBPD1：2 时，请求
14、出点D的坐标；（3）如图 2，点E的坐标为（0，1），点G为x轴负半轴上的一点，OGE15，连接PE，若PEG2OGE，请求出点P的坐标；（4）如图 3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为 8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 中考 2020 【答案】见解析。【解析】函数的表达式为：ya（x1）（x+3）a（x2+2x3），即可求解；SCPD：SBPD1：2，则BD23BC233222，即可求解；OGE15，PEG2OGE30，则OHE45，故OHOE1，即可求解；利用S四边形BOCPSOBC+SPBC8，即可求解（1）函数的表达式为：ya（x1）（x+3）a（x2+2x3）
15、，即：3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）OBOC，CBO45，SCPD：SBPD1：2，BD23BC233222，yDBDsin CBO2，则点D（1，2）；（3）如图 2，设直线PE交x轴于点H，OGE15，PEG2OGE30，OHE45，中考 2020 OHOE1，则直线HE的表达式为：yx1，联立并解得：x1172（舍去正值），故点P（1172，1172）；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：yx+3，设点P（x，x22x+3），点H（x，x+3），则S四边形BOCPSOBC+SPBC123
16、3+12（x22x+3x3）38，整理得：3x2+9x+70，解得：0，故方程无解，则不存在满足条件的点P 8.（2019 贵州黔西南州）已知抛物线yax2+bx+3 经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；（2）如图 1，连接OP交BC于点D，当SCPD：SBPD1：2 时，请求出点D的坐标；（3）如图 2，点E的坐标为（0，1），点G为x轴负半轴上的一点，OGE15，连接PE，若PEG2OGE，请求出点P的坐标；（4）如图 3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为 8？若存在，请求出点P的坐标；若不
17、存在，请说明理由 中考 2020 【答案】见解析。【解析】函数的表达式为：ya（x1）（x+3）a（x2+2x3），即可求解；SCPD：SBPD1：2，则BDBC2，即可求解；OGE15，PEG2OGE30，则OHE45，故OHOE1，即可求解；利用S四边形BOCPSOBC+SPBC8，即可求解（1）函数的表达式为：ya（x1）（x+3）a（x2+2x3），即：3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）OBOC，CBO45，SCPD：SBPD1：2，BDBC2，yDBDsin CBO2，则点D（1，2）；（3）如图 2，设直线PE交x轴于点H，OGE1
18、5，PEG2OGE30，OHE45，中考 2020 OHOE1，则直线HE的表达式为：yx1，联立并解得：x（舍去正值），故点P（，）；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：yx+3，设点P（x，x22x+3），点H（x，x+3），则S四边形BOCPSOBC+SPBC33（x22x+3x3）38，整理得：3x2+9x+70，解得：0，故方程无解，则不存在满足条件的点P 9.（2019 湖北十堰）已知抛物线ya（x2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点E，F分别在
19、线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且DEFA，则DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且m，试确定满足条件的点P的个数 中考 2020 【答案】见解析。【解析】利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题 可能分三种情形当DEDF时，当DEEF时，当DFEF时，分别求解即可 如图 2 中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DHAB于H，连接PD，PH，PB设Pn，（n2）2+3，构建二次函数求出PBD的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题（1）由题意：，解得，抛物线的解析式为y（x2）2+3，顶点D坐标（2，3）（2）可能如图 1，A
20、（2，0），D（2，3），B（6，0），AB8，ADBD5，当DEDF时，DFEDEFABD，EFAB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立 当DEEF时，又BEFAED，BEFAED，BEAD5 中考 2020 当DFEF时，EDFDEFDABDBA，FDEDAB，AEFBCE，EBAD，答：当BE的长为 5 或时，CFE为等腰三角形（3）如图 2 中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DHAB于H，连接PD，PH，PB设Pn，（n2）2+3，则SPBDSPBH+SPDHSBDH4（n2）2+33（n2）43（n4）2，0，n4 时，PBD的面积的最大值为，m，当点P在BD的右侧时，m的最
21、大值，观察图象可知：当 0m时，满足条件的点P的个数有 4 个，当m时，满足条件的点P的个数有 3 个，当m时，满足条件的点P的个数有 2 个（此时点P在BD的左侧）10.（2019 湖北咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C 中考 2020（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当ABD2BAC时，求点D的坐标；（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标 【答案】见解析。【解析】
22、求得A、B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c的值，获得抛物线的解析式 通过平行线分割 2 倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标 B、O、E、F四点作平行四边形，以已知线段OB为边和对角线分类讨论，当OB为边时，以EFOB的关系建立方程求解，当OB为对角线时，OB与EF互相平分，利用直线相交获得点E坐标（1）在中，令y0，得x4，令x0，得y2 A（4，0），B（0，2）把A（4，0），B（0，2），代入，得，解得 抛物线得解析式为（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F 中考 2020 BEx轴，BACABE ABD2BAC，
23、ABD2ABE 即DBE+ABE2ABE DBEABE DBEBAC 设D点的坐标为（x，），则BFx，DF tan DBE，tan BAC，即 解得x10（舍去），x22 当x2 时，3 点D的坐标为（2，3）（3）当BO为边时，OBEF，OBEF 中考 2020 设E（m，），F（m，）EF|（）（）|2 解得m12，当BO为对角线时，OB与EF互相平分 过点O作OFAB，直线OF交抛物线于点F（）和（）求得直线EF解析式为或 直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为或 E点的坐标为（2，1）或（，）或（）或（）或（）11.（2019 湖南湘西）如图，抛物线yax2+bx（a0）过点E（8
24、，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA2，且OA：AD1：3（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离 中考 2020 【答案】见解析。【解析】由点E在x轴正半
25、轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA2，且OA：AD1：3 得AD6由于四边形ABCD为矩形，故有ADAB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M，作点N关于y轴的对称点点N，得FMFM、GNGN 易得当M、F、G、N 在同一直线上时NG+GF+FM MN 最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+MN 根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M、N、N 坐标，即求得答案 因为OD可求，且已知ODP中OD边
26、上的高，故可求ODP的面积又因为ODP的面积常规求法是过点P作PE平行y轴交直线OD于点E，把ODP拆分为OPE与DPE的和或差来计算，故存在等量关系设点P坐标为t，用t表示PE的长即列得方程求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件 由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，0）易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，3），由中点坐标公式即求得m的值（1）点A在线段OE上，E（8，0），OA2 A（2，0）OA：AD1：3 AD3OA6
27、四边形ABCD是矩形 ADAB D（2，6）抛物线yax2+bx经过点D、E 解得：中考 2020 抛物线的解析式为yx24x（2）如图 1，作点M关于x轴的对称点点M，作点N关于y轴的对称点点N，连接FM、GN、MN yx24x（x4）28 抛物线对称轴为直线x4 点C、D在抛物线上，且CDx轴，D（2，6）yCyD6，即点C、D关于直线x4 对称 xC4+（4xD）4+426，即C（6，6）ABCD4，B（6，0）AM平分BAD，BADABM90 BAM45 BMAB4 M（6，4）点M、M 关于x轴对称，点F在x轴上 M（6，4），FMFM N为CD中点 N（4，6）点N、N 关于y轴对
28、称，点G在y轴上 N（4，6），GNGN C四边形MNGFMN+NG+GF+FMMN+NG+GF+FM 当M、F、G、N 在同一直线上时，NG+GF+FM MN 最小 C四边形MNGFMN+MN21012 中考 2020 四边形MNGF周长最小值为 12（3）存在点P，使ODP中OD边上的高为 过点P作PEy轴交直线OD于点E D（2，6）OD，直线OD解析式为y3x 设点P坐标为（t，t24t）（0t8），则点E（t，3t）如图 2，当 0t2 时，点P在点D左侧 PEyEyP3t（t24t）t2+t SODPSOPE+SDPEPExPPE（xDxP）PE（xP+xDxP）PExDPEt2+
29、t ODP中OD边上的高h，SODPODh t2+t2 方程无解 如图 3，当 2t8 时，点P在点D右侧 中考 2020 PEyPyEt24t（3t）t2t SODPSOPESDPEPExPPE（xPxD）PE（xPxP+xD）PExDPEt2t t2t2 解得：t14（舍去），t26 P（6，6）综上所述，点P坐标为（6，6）满足使ODP中OD边上的高为（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L KL平分矩形ABCD的面积 K在线段AB上，L在线段CD上，如图 4 K（m，0），L（2+m，0）连接AC，交KL于点H 中考 2020 SACDS四边形ADLKS矩形ABCD SAHKSCHL AKLC AHKCHL AHCH，即点H为AC中点 H（4，3）也是KL中点 m3 抛物线平移的距离为 3 个单位长度