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1、专题14 函数的综合问题 专题知识回顾 1.一次函数与二次函数的综合。2.一次函数与反比例函数的综合。3.二次函数与反比例函数的综合。4.一次函数、二次函数和反比例函数的综合。专题典型题考法及解析 【例题1】(2019黑龙江绥化)一次函数y1x+6与反比例函数y2(x>0)的图象如图所示.当y1>y2时,自变量x的取值范围是_.第18题图【答案】2<x<4【解析】令x+6,解得x12,x24,根据图象可得,当y1>y2时,自变量x的取值范围是2<x<4.【例题2】（2019吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+(a0)与y轴交于
2、点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则的值为 【答案】2.【解析】本题主要考查二次函数的综合运用，首先根据二次函数的解析式可得出点A和点M的坐标，然后将二次函数的解析式配方写出y=a(x-1)2+-a的形式，得出点P的坐标，进而得出OP的方程，进而得出点B的坐标，最后根据M为线段AB的中点，可得=4，进而得出答案.令x=0，可得y=，点A的坐标为（0，），点M的坐标为（2，）.y=ax2-2ax+=a(x-1)2+-a，抛物线的顶点P的坐标为（1，-a），直线OP的方程为y=(-a)x，令y=，可得x=，点B的坐标为（，
3、）.M为线段AB的中点，=4，解得a=2。【例题3】（2019广西省贵港市）如图，菱形的边在轴上，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点，与轴交于点，连接，（1）求，的值；（2）求的面积【答案】将解析。【解析】由菱形的性质可知，点代入反比例函数，求出；将点代入，求出；求出直线与轴和轴的交点，即可求的面积；（1）由已知可得，菱形，点在反比例函数的图象上，将点代入，；（2），直线与轴交点为， 专题典型训练题 1.（2019广东深圳）已知函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则函数y=ax+b与y=的图象为（ ） 【答案】C【解析】二次函数的图象与系数的关系；一次函数的图象与系数的
4、关系；反比例函数的图象与系数的关系；符号判断。先根据二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象确定a，b，c的正负，则判断一次函数与反比例函数的图象所在的象限由二次函数的图象可知，a<0，b>0，c<0当a<0，b>0，c<0时，一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限；反比例函数y=位于第二、四象限，选项C符合故选C2.（2019四川省雅安市） 已知函数的图像如图所示，若直线y=x+m与该图像恰有三个不同的交点，则m的取值范围为 _.【答案】0<m<【解析】观察图像可知，当直线y=x+m经过原点时与函数的图像有两个不同的交点，再向上平移，有三个
5、交点，当向上平移到直线y=x+m与的图像有一个交点时，此直线y=x+m与函数的图像有两个不同的交点，不符合题意，从而求出m的取值范围由y=x+m与得，整理得，当有两个交点，解得m<，当直线y=x+m经过原点时与函数的图像有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，m>0，m的取值范围为0<m<，故答案为0<m<3. （2019湖北仙桃）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边B
6、C向终点C运动设运动的时间为t秒，PQ2y（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围： ；（2）当PQ35时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y=kx（k0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由【答案】见解析。【解析】（1）过点P作PEBC于点E，如图1所示当运动时间为t秒时（0t4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（82t，6），PE6，EQ|82t3t|85t|，PQ2PE2+EQ262+|85t|225t280t+100，y25t280t+100（0t4）故答案为：y25t280t+100（0t4）（2）当PQ35时，25t
7、280t+100（35）2，整理，得：5t216t+110，解得：t11，t2=115（3）经过点D的双曲线y=kx（k0）的k值不变连接OB，交PQ于点D，过点D作DFOA于点F，如图2所示OC6，BC8，OB=OC2+BC2=10BQOP，BDQODP，BDOD=BQOP=2t3t=23，OD6CBOA，DOFOBC在RtOBC中，sinOBC=OCOB=610=34，cosOBC=BCOB=810=45，OFODcosOBC6×45=245，DFODsinOBC6×35=185，点D的坐标为（245，185），经过点D的双曲线y=kx（k0）的k值为245×
8、185=432254. （2019湖南湘西）如图，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y=mx的图象在第一象限交于点A（3，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB4（1）求函数y=mx和ykx+b的解析式；（2）结合图象直接写出不等式组0mxkx+b的解集【答案】见解析。【解析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数y=mx，可得m3×26，反比例函数解析式为y=6x，OB4，B（0，4），把点A（3，2），B（0，4）代入一次函数ykx+b，可得3k+b=2b=-4，解得k=2b=-4，一次函数解析式为y2x4；（2）不等式组0mxkx+b的解集为：x35.（2019山东东营）如图，在
9、平面直角坐标系中，直线y=mx与双曲线y=相交于A（2，a）、B 两点，BCx 轴，垂足为 C，AOC的面积是2（1）求 m、n的值；（2）求直线 AC的解析式【答案】见解析。【解析】根据反比例函数的对称性可得点A与点B关于原点中心对称，则B（2，a），由于BCx轴，所以C（2，0），先利用三角形面积公式得到×2×a2，解得a2，则可确定A（2，2），然后把A点坐标代入ymxymx和y中即可求出m，n；根据待定系数法即可得到直线AC的解析式（1）直线ymx与双曲线y相交于A（2，a）、B两点，点A与点B关于原点中心对称，B（2，a），C（2，0）；SAOC2，×2
10、×a2，解得a2，A（2，2），把A（2，2）代入ymx和y得2m2，2，解得m1，n4；（2）设直线AC的解析式为ykx+b，直线AC经过A、C，解得直线AC的解析式为yx+16.（2019湖北咸宁）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z2x+120（1）第40天，该厂生产该产品的利润是 元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最
11、大利润是多少？在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？【答案】见解析。【解析】由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z2×40+12040，则可求得第40天的利润利用每件利润×总销量总利润，进而求出二次函数最值即可（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z2×40+12040则第40天的利润为：（8040）×401600元故答案为1600（2）设直线AB的解析式为ykx+b（k0），把（0，70）（30，40）代入得b=7030k+b=40，解得b=70k=-1 直线AB的解析式为yx+70（）当0x30时
12、w80（x+70）（2x+120）2x2+100x+12002（x25）2+2450当x25时，w最大值2450（）当30x50时，w（8040）×（2x+120）80x+4800w随x的增大而减小当x31时，w最大值2320w=-2x2+100x+1200，(0x30)-80x+4800，(30x50)第25天的利润最大，最大利润为2450元（）当0x30时，令2（x25）2+24502400元解得x120，x230抛物线w2（x25）2+2450开口向下由其图象可知，当20x30时，w2400此时，当天利润不低于2400元的天数为：3020+111天（）当30x50时，由可知当天
13、利润均低于2400元综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天7. （2019贵州省毕节市）已知抛物线yax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当SCPD：SBPD1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，1），点G为x轴负半轴上的一点，OGE15°，连接PE，若PEG2OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析。【解析】函
14、数的表达式为：ya（x1）（x+3）a（x2+2x3），即可求解；SCPD：SBPD1：2，则BDBC×32，即可求解；OGE15°，PEG2OGE30°，则OHE45°，故OHOE1，即可求解；利用S四边形BOCPSOBC+SPBC8，即可求解（1）函数的表达式为：ya（x1）（x+3）a（x2+2x3），即：3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）OBOC，CBO45°，SCPD：SBPD1：2，BDBC×32，yDBDsinCBO2，则点D（1，2）；（3）如图2，设直线PE交x轴于点
15、H，OGE15°，PEG2OGE30°，OHE45°，OHOE1，则直线HE的表达式为：yx1，联立并解得：x（舍去正值），故点P（，）；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：yx+3，设点P（x，x22x+3），点H（x，x+3），则S四边形BOCPSOBC+SPBC×3×3+（x22x+3x3）×38，整理得：3x2+9x+70，解得：0，故方程无解，则不存在满足条件的点P8.（2019贵州黔西南州）已知抛物线yax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，点P为
16、第二象限内抛物线上的动点（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当SCPD：SBPD1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，1），点G为x轴负半轴上的一点，OGE15°，连接PE，若PEG2OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析。【解析】函数的表达式为：ya（x1）（x+3）a（x2+2x3），即可求解；SCPD：SBPD1：2，则BD=23BC=23×32=22，即可求解；OGE15°，PEG2O
17、GE30°，则OHE45°，故OHOE1，即可求解；利用S四边形BOCPSOBC+SPBC8，即可求解（1）函数的表达式为：ya（x1）（x+3）a（x2+2x3），即：3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）OBOC，CBO45°，SCPD：SBPD1：2，BD=23BC=23×32=22，yDBDsinCBO2，则点D（1，2）；（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，OGE15°，PEG2OGE30°，OHE45°，OHOE1，则直线HE的表达式为：yx1，联立并解得：x=-1
18、±172（舍去正值），故点P（-1-172，17-12）；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：yx+3，设点P（x，x22x+3），点H（x，x+3），则S四边形BOCPSOBC+SPBC=12×3×3+12（x22x+3x3）×38，整理得：3x2+9x+70，解得：0，故方程无解，则不存在满足条件的点P9.（2019湖北十堰）已知抛物线ya（x2）2+c经过点A（2，0）和C（0，94），与x轴交于另一点B，顶点为D（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E
19、点不与A，B重合），且DEFA，则DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且SPBDSCBD=m，试确定满足条件的点P的个数【答案】见解析。【解析】利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题可能分三种情形当DEDF时，当DEEF时，当DFEF时，分别求解即可如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DHAB于H，连接PD，PH，PB设Pn，-316（n2）2+3，构建二次函数求出PBD的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题（1）由题意：16a+c=04a+c=94，解得a=-316c=3，抛物线的解析式为y=-316（x2）2+3，顶点D
20、坐标（2，3）（2）可能如图1，A（2，0），D（2，3），B（6，0），AB8，ADBD5，当DEDF时，DFEDEFABD，EFAB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立当DEEF时，又BEFAED，BEFAED，BEAD5当DFEF时，EDFDEFDABDBA，FDEDAB，EFBD=DEAB，EFDE=BDAB=58，AEFBCEEBAD=EFDE=58，EB=58AD=258，答：当BE的长为5或258时，CFE为等腰三角形（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DHAB于H，连接PD，PH，PB设Pn，-316（n2）2+3，则SPBDSPBH+SPDHSBDH=12&
21、#215;4×-316（n2）2+3+12×3×（n2）-12×4×3=-38（n4）2+32，-380，n4时，PBD的面积的最大值为32，SPBDSCBD=m，当点P在BD的右侧时，m的最大值=325=310，观察图象可知：当0m310时，满足条件的点P的个数有4个，当m=310时，满足条件的点P的个数有3个，当m310时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）10.（2019湖北咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-12x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点
22、C（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当ABD2BAC时，求点D的坐标；（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标【答案】见解析。【解析】求得A、B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c的值，获得抛物线的解析式通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标B、O、E、F四点作平行四边形，以已知线段OB为边和对角线分类讨论，当OB为边时，以EFOB的关系建立方程求解，当OB为对角线时，OB与EF互相平分，利用直线相交获得点E坐标（1）在y=-1
23、2x+2中，令y0，得x4，令x0，得y2A（4，0），B（0，2）把A（4，0），B（0，2），代入y=-12x2+bx+c，得c=2-12×16+4b+c=0，解得b=32c=2 抛物线得解析式为y=-12x2+32x+2（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为FBEx轴，BACABEABD2BAC，ABD2ABE即DBE+ABE2ABEDBEABEDBEBAC设D点的坐标为（x，-12x2+32x+2），则BFx，DF=-12x2+32xtanDBE=DFBF，tanBAC=BOAODFBF=BOAO，即-12x2+32xx=24解得x10（舍
24、去），x22当x2时，-12x2+32x+2=3点D的坐标为（2，3）（3）当BO为边时，OBEF，OBEF设E（m，-12m+2），F（m，-12m2+32m+2）EF|（-12m+2）（-12m2+32m+2）|2解得m12，m2=2-22，m3=2+22当BO为对角线时，OB与EF互相平分过点O作OFAB，直线OFy=-12x交抛物线于点F（2+22，-1-2）和（2-22，-1+2）求得直线EF解析式为y=-22x+1或y=22x+1直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为-22-2或22-2E点的坐标为（2，1）或（2-22，1+2）或（2+22，1-2）或（-2-22，3+2）或（
25、-2+22，3-2）11.（2019湖南湘西）如图，抛物线yax2+bx（a0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA2，且OA：AD1：3（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使ODP中OD边上的高为6105？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线
26、KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离【答案】见解析。【解析】由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA2，且OA：AD1：3得AD6由于四边形ABCD为矩形，故有ADAB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，得FMFM'、GNGN'易得当M'、F、G、N'在同一直线上时N'G+GF+FM'M
27、9;N'最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M'、N、N'坐标，即求得答案因为OD可求，且已知ODP中OD边上的高，故可求ODP的面积又因为ODP的面积常规求法是过点P作PE平行y轴交直线OD于点E，把ODP拆分为OPE与DPE的和或差来计算，故存在等量关系设点P坐标为t，用t表示PE的长即列得方程求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，0
28、）易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，3），由中点坐标公式即求得m的值（1）点A在线段OE上，E（8，0），OA2A（2，0）OA：AD1：3AD3OA6四边形ABCD是矩形ADABD（2，6）抛物线yax2+bx经过点D、E4a+2b=-664a+8b=0 解得：a=12b=-4抛物线的解析式为y=12x24x（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'y=12x24x=12（x4）28抛物线对称轴为直线x4点C、D在抛物线上，且CDx轴，D（2
29、，6）yCyD6，即点C、D关于直线x4对称xC4+（4xD）4+426，即C（6，6）ABCD4，B（6，0）AM平分BAD，BADABM90°BAM45°BMAB4M（6，4）点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上M'（6，4），FMFM'N为CD中点N（4，6）点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上N'（4，6），GNGN'C四边形MNGFMN+NG+GF+FMMN+N'G+GF+FM'当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'M'N'最小C四边形
30、MNGFMN+M'N'=(6-4)2+(-4+6)2+(6+4)2+(4+6)2=22+102=122四边形MNGF周长最小值为122（3）存在点P，使ODP中OD边上的高为6105过点P作PEy轴交直线OD于点ED（2，6）OD=22+62=210，直线OD解析式为y3x设点P坐标为（t，12t24t）（0t8），则点E（t，3t）如图2，当0t2时，点P在点D左侧PEyEyP3t（12t24t）=-12t2+tSODPSOPE+SDPE=12PExP+12PE（xDxP）=12PE（xP+xDxP）=12PExDPE=-12t2+tODP中OD边上的高h=6105，SODP
31、=12ODh-12t2+t=12×210×6105方程无解如图3，当2t8时，点P在点D右侧PEyPyE=12t24t（3t）=12t2tSODPSOPESDPE=12PExP-12PE（xPxD）=12PE（xPxP+xD）=12PExDPE=12t2t12t2t=12×210×6105解得：t14（舍去），t26P（6，6）综上所述，点P坐标为（6，6）满足使ODP中OD边上的高为6105（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、LKL平分矩形ABCD的面积K在线段AB上，L在线段CD上，如图4K（m，0），L（2+m，0）连接AC，交KL于点HSACDS四边形ADLK=12S矩形ABCDSAHKSCHLAKLCAHKCHLSAHKSCHL=(AHCH)2=1AHCH，即点H为AC中点H（4，3）也是KL中点m+2+m2=4m3抛物线平移的距离为3个单位长度