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1、重难点0 6 二次函数综合题【命题趋势】首先告诉各位同学二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏.涉及题目数量一般2-3题，其中有一道大题.所占分值大约20-25分.二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大.-次函数在考查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形相结合，综合性很强，技巧性也很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低.其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结
2、.【满分技巧】一.通过思维导图整体把握二次函数所有考点二.熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略1 .线段最值(周长)问题斜化直策略2 .三角形或多边形面积问题铅垂高、水平宽策略3 .线段和最小值问题胡不归+阿氏圆策略问题4 .线段差三角形三边关系或函数5 .相似三角形存在性问题根据相等角分类讨论6 .平行四边形存在性问题中点公式+平移法【限时检测】(建议用时：120分钟)1.(2 0 1 9 山东省淄博市)如图,顶点为M 的抛物线)，=以 2+区+3 与x 轴交于4(3,0),8(-1,0)两点,与 y 轴交于点C.(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)问在y 轴上是否存在一点尸，
3、使 得 为 直 角 三 角 形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点。，满足O A =OA，过 作轴于点G ,设A4 K的内心为/,试求C/的最小值.备用图【解析】(1)抛物线丫 =加+3 过点A(3,0),8(-1,0)9a +3 6 +3 =0 ，”八、,、c 解得:a b+3=0a=-b=2这条抛物线对应的函数表达式为y =-x2+2 x+3(2)在)，轴上存在点P,使得AR4 A7为直角三角形.y=-x2+2 x+3 =-(x-1)2+4顶点 M(l,4)A =(3 1)2+4?=2 0设点P坐标为(0,p):.A P2=32+p2=9+p
4、2,M P2=l2+(4-p)2=1 7-8 +p2若 Z P A M =90 ,则 AM2+A P2=M P2.-.2 0 +9+/?2=1 7-8/7+/?2解得：p=-22若 A A P M =90 ,则 A P2+M P-=AM2.9+/+1 7-8/7+/=2 0解得：P l =1，0 2=3尸(0,1)或(0,3)若 N A M P =90。，贝 I A M?+M p 2=A p 22 0 +1 7 8 +p=9+p解得：p=7;Q 7综上所述，点 P 坐标为(0,-士)或(0,1)或(0,3)或(0,今 时，A R W 为直角三角形.(3)如图，过点/作轴于点E,/_LAZ)于点
5、/，IH L D G于点H。3_1 轴于点6NHGE=ZIEG=NIHG=90二四边形/EGH是矩形点/为&4OG的内心：.IE=IF=IH,AE=AF,DF=DH,EG=HG二矩形/EG”是正方形设 点/坐标为(见)/.OE=m,HG=GE=IE=nAF=AE=OA-OE=3-tnAG=GE+AE=n+3 mDA=OA=3/.DH=DF=D A-AF=3-(3-/H)=tnDG=DH+HG=m+nDG2+AG2=DA1(m+)2+(+3-=32化简得：m2-3m +n2+3n=0配方得：(m-)2+(n+-)2=-2 2 2.,.点/(见)与定点 2(,-)的距禺为，点/在 以点。|)为圆心
6、，半径为邛的圆在第一象限的弧上运动当点/在线段CQ上时，C/最小，*C Q-/Q =3 /;30最小值为巫巫22.(2 0 1 9四川省巴中市)如图，抛物线=0?+法-5#)经过x 轴上的点A(1,0)和点8 及 y轴上的点C,经过8、C两点的直线为y=x+.求抛物线的解析式.点 P从 A 出发，在线段A B 上以每秒1 个单位的速度向8 运动，同时点E从 B 出发，在线段B C上以每秒2个单位的速度向C运动.当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为f 秒，求，为何值时，P B E 的面积最大并求出最大值.过点A 作 A MLB C于点M,过抛物线上一动点N (不与点8、C重合)
7、作直线A M的平行线交直线B C于点Q.若点A、M,N、。为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标.【解析】；点 8、C在直线为)=x+上,：.B(-n,0)、C(0,)，.点4 (1)0)在抛物线上，a+b-5=0 a n2+b n-5=0 n=-5.a-1,b6,.抛物线解析式：y=-X2+6X-5；由题意，得，P B=4-f,BE=2t,由知，ZOBC=45,.点 P 到 B C 的高 h 为 BP s i n 4 5 0=返(4-/),25A PBE BEh X-(4-t)X )2+2 V2 当 f=2 时，A PSE的面积最大，最大值为2 历；由知，B C所在直线为：y=x-5,
8、.点A 到直线B C的距离d=2亚，过点N作x 轴的垂线交直线B C于点P,交x轴于点H.设,N （m,-/+6 m-5）,则 H（m，0）、P G n,/?-5）,易证 P Q N为等腰直角三角形，即N Q=P Q=2&，J P N=4,I.N H+H P=4,-m2+6m-5 -（加-5）=4解得皿=1，m 2=4,点A、M、N、。为顶点的四边形是平行四边形,，阳=4；II.N H+H P=4,m-5-(-，2+6M-5)=4解得=5+画,佗=殳国，2-2点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形,7 5,5+41 t i l -，2HI.N H-H P=4,-(-m2+6 z n -5)
9、-(m -5)=4,解得见=5+恒,如:会 通，2 2:点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形,77/c=-3.抛物线的函数表达式为)，=x2-2x-3.(2):抛物线与x 轴交于8(-I,0),C(3,0),：.B C=4,抛物线的对称轴为直线x=l,如图，设抛物线的对称轴与x 轴交于点”，则 4 点的坐标为(1,(),BH=2,由翻折得CB=CB=4,在 RtA8，C 中，由勾股定理，得 C H=d c B2-BH2=A/42_22=2遮,.点 C，的坐标为(1,2遮)，ta n/c 与NCBH=60。，由翻折得/。BH=kzC B H 30,2在 RtA 8“。中，”=B，tanNO
10、8”=2tan3(r=3.点。的坐标为(1,2返).3(3)取(2)中的点C，D,连 接 CV,V BC=BC,NCBC=60,.CCS为等边三角形.分类讨论如下：当点尸在x轴的上方时，点。在x轴上方，连接8Q,CP.V APCe，A CCB为等边三角形，:.CQ=CP,BC=CC,NPCQ=NCC8=60,：.ZBCQ=ZCCP,.BCQ丝CCP(SAS),：.BQ=CP.丁点Q在抛物线的对称轴上，：,BQ=CQ,:.CP=CQ=CP,又,：BC=BC,垂直平分CC,由翻折可知8力垂直平分CC,.点。在直线BP上,设直线BP的函数表达式为ykx+b,O=-k+b则1 273 解得 k+b直线
11、BP的函数表达式为），=当点尸在x轴的下方时，点。在x轴下方.J/XPCQ,ACCB为等边三角形,：.CP=CQ,BC=CC,ZCCB=ZQCP=ZCCB=60.:B C P=/C C Q,，丛BCPm丛CCQ(SAS),：.ZCBP=ZCCfQ.：BC=CC,CHLBC,AZCC,Q=yZCCz B=30：.ZCBP=30,设BP与y轴相交于点E,在 RtA BOE 中，O=OtanNC2P=OBtan30=lx逅3 3.点E 的坐标为(0,-返).3设直线BP的函数表达式为y=mx+nf直线BP的函数表达式为y=3*3综上所述，直线8P 的函数表达式 为 尸 害 号 或 安 八 g x 邛
12、.4.(2019天津市)已知抛物线y=-灰+C(6 c 为常数，6 0)经过点A(-1,0),点、M(tn,0)是 x 轴正半轴上的动点.(I)当 6=2 时，求抛物线的顶点坐标；(II)点。，即)在抛物线上，当AM=A。，m=5 时，求人的值；(I I I)点 Q(匕+工，坨)在抛物线上，当 扬 M+2QM的最小值为应返时，求人的值.2 4【解析】(I)；抛物线y=f -fex+c经过点A(-I 0),二 l+b+c=0,B P c=-b-当。=2 时，yj?-2x-3=(x-1)2-4,二抛物线的顶点坐标为(1,-4)；(11)由(1 )知，抛物线的解析式为1,.点 D 5,如)在抛物线-
13、bx-b-1.,.yD=h2-bb-b-1=-h-1,由 6 0,得 6 k 0,-Z-10,2.点。(b,-b-i)在第四象限，且在抛物线对称轴x=旦的右侧，2如 图 1,过点。作。轴，垂足为E,则点0),：.A E=b+l,D Eb+,得 4E=OE,在 RtA A D E 中，Z A D E=ZD A E=45,：.A D=y/2A E,由已知A M=A D,团=5,.*.5-(-I)=A/2 3 1)，:.b=3 2 1 +-1_)-m,2 4 2解得，m -.L,2 4扬M+2 QM=,4V 2 t(-)-(-1)+2加 3!)-(b-L)=2 2返,5.（2 0 19新疆建设兵团）
14、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+乐+c经过A（-1,0）,8（4,0）,C（0,4）三点.（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）将（1）中的抛物线向下平移理个单位长度，再向左平移（人 0）个单位长度，得到新抛4物线.若新抛物线的顶点。在A 4 8 C内，求/?的取值范围；（3）点P为线段B C上一动点（点P不与点8,C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q,当 P Q C与 A 8 C相似时，求A P O C的面积.【解析】(1)函数表达式为：y=a(x+1)(x -4)=a(x2-3 x -4),即-4 a=4,解得：a=-故抛物线的表达式为：y=-f+3%+4,
15、函数顶点D(W,l i)；2 4(2)物线向下平 移 至 个单位长度，再向左平移/?(6 0)个单位长度，得到新抛物线的顶点。4(2-/2,1),2将点A C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线A C的表达式为：y=4x+4,将点O坐标代入直线A C的表达式得：1=4 (W-6)+4,2解得：人=2,4故：0 旦；4(3)过点P作)，轴的平行线交抛物线和x轴于点。、H：0 B=0 C=4,:N P B A =N O C B=45o=N QP C,直线B C的表达式为：y=-x+4,贝|J A8=5,BC=4 M，AC=J T 7,SA ABC=L(6,-1)代 入%=吗+尤 +。4。-2 +c
16、=1得36。-6+。=-1解得1a=4，c=2%=-x+x+2,8(2,3)；（2）易得直线4 3 的解析式：y=x+l,若B为直角顶点，BE工AB,kBE kAR=-1,直 线 t 解析式为y =-x+5f y =-x+5联立y=x2+x+2解得x=2,y =3 或 x=6,y =-l,(6,-1)；若A为直角顶点，AELAB同理得A E*解析式：y =-x-3,y=-x-3联立 1 2 ，y=+x+2解得x=-2 ,y =-1 或 x=1 0,y =-1 3,(1 0,-1 3)；若E 为直角顶点，设 E(m,-ivr+z +2)由 A E L B E得 心：kA E=-l,tn+tn-l
17、 m+m+3即士-解得机=2 或-2 (不符合题意舍去)，点 E 的 坐 标 (6,-1)或 E(1 0,-1 3)；(3)X，,%，/.-2 M 2,设 A 7(f,1+z)N(t,厂 +/+2),目.一 2领 1 2,4 4易求直线A 尸的解析式：y =-x-3,过 M 作x 轴的平行线MQ交 A 厂于。，则Q(，产产+/),4 4S,=Q M yF-yA=一1 广 2+4,4 +6x2设 AB交MN于点P,易知P Q/+1),S2=PNXA-XB=2-t22S=S1 4-S2=4 r +8 ,当f =2 时，S的最大值为1 6.9.(201 9 四川省广元市)如图，直线y=-x+4 与
18、x轴，y轴分别交于A,B两点，过 A,B两点的抛物线yax2+bx+c与 x轴交于点C (-1,0).(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC,若点E是线段AC上的一个动点(不与A,C重合)，过 点 E作 E F B C,交 A 3于点尸，当ABEF的面积是互时，求点E 的坐标；2(3)在(2)的结论下，聘 BEF绕点、F旋 转180。得夕试判断点E 是否在抛物线上，并说明理由.【解析】(1)y=-x+4，令 x=0,y4,令 y=0,则 x=4,故点4、8 的坐标分别为(4,0)、(0,4),抛物线的表达式为：y=a(x+1)(JC-4)=a(?-3x-4),即-4。=4,解得：a-1.故抛物
19、线的表达式为：y=-f+3 x+4；(2)设点 E(rn,0),直线8 c 表达式中的值为4,EF/BC,则直线EF的表达式为：y=4x+,将点E 坐标代入上式并解得：直线E尸的表达式为：y=4x-4?，联立并解得：=当(机+1)，5则点尸(细 a,i6 Y in),5 55A O A B 5A O B E AEF ,解得：m,2 2 5 2 2故点 E(W,0)、点 E(2,2)；4(3)B E F 绕点 F 旋转 180。得 BE F,则点？4),2当 x=3时，y=-/+3*+4=-(旦)2+3X3+4,2 2 2故点E不在抛物线上.1 0.(201 9四川省遂宁市)如图，顶点为P (3
20、,3)的二次函数图象与x轴交于点A (6,0),点8在该图象上，。8交其对称轴/于点用，点 例、N关于点P对称，连接B N、O N.(1)求该二次函数的关系式.(2)若点B在对称轴/右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：连接OP,当O P=LMN时，请判断 NOB的形状，并求出此时点B的坐标.2求证：N B N M=/O N M.【解析】(1)；二次函数顶点为P(3,3).设顶点式y=a (x-3)2+3.,二次函数图象过点4 (6,0)(6 -3)24+3=0,解得：a=-工3二次函数的关系式为y=-1(x-3)2+3=-k x2+2x3 3(2)设 8 (6-JL/+26)(/3)3直
21、线0 8解析式为：y (-b+2)x3：0 B交对称轴/于点M二当 XM=3 时，y“=(-b+2)x 3=-b+6,.,.M(3.-b+6)3.点 M、N 关于点 P 对称，:.N P=M P=3-(-b+6)=b-3,：.yN=3+b-3=b,即 N(3,b).O P=LW M A O P=M P2A J32+32=Z -3,解得：b=3+342：.-k b1+2h=-L x (3+37 2)2+2X(3+3 我)=-33 3：.B(3+3V 2，-3),N(3,3+3圾)Z.0 =(3+3&)2+(-3)2=36+1 8&,O N2=32+(3+3圾)2=36+1 8我，B N2=(3+3圾-3)2+(-3-3-3 V 2)2=7 2+36 血：.O B=O N,O B2+O N2=B N2.N 08是等腰直角三角形，此时点8坐 标 为(3+3圾，-3).证明：如图，设直线8 N与x轴交于点V B (h,-2廿+26)、N(3,b)3设直线B N解析式为y=kx+d1 2kb+d=+2b3k+d=b解得一 k=Tbd=2b/.直线 BN：y=bx+2b3当 y=0 时，-益 什2。=0,解得：x=6,：.D(6,0)VC(3,0),NCJ_x轴，N C垂直平分0。：.ND=NO:/BNM=NONM