专题36 综合题(解析版).pdf

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1、专题专题 3636综合题综合题1 （2020温州模拟）已知，如图，抛物线yx2+bx+c 经过直线 yx+3 与坐标轴的两个交点A，B此抛物线与 x 轴的另一个交点为 C抛物线的顶点为D（1）求此抛物线的解析式（2）若点 M 为抛物线上一动点，是否存在点 M使ACM 与ABC 的面积相等？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）根据抛物线 yx2+bx+c 经过直线 yx+3 与坐标轴的两个交点 A，B，可以先求的点 A和点 B 的坐标，然后即可求得该抛物线的解析式；（2）先判断是否存在点 M，然后根据题意和图形即可得到点M 的坐标，本题得以解决【解答】解： （1）直线

2、yx+3，当 x0 时，y3，当 y0 时，x3，直线 yx+3 与坐标轴的两个交点A，B，点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（0，3） ，抛物线 yx2+bx+c 经过直线 yx+3 与坐标轴的两个交点A，B，2 = 23 + 3 + = 0，得， = 3 = 3即抛物线的解析式为 yx2+2x+3；（2）存在点 M使ACM 与ABC 的面积相等抛物线 yx2+2x+3（x3） （x+1）（x1）2+4 与 x 轴的另一个交点为 C抛物线的顶点为D，点 C 的坐标为（1，0） ，点 D 的坐标为（1，4） ，ACM 与ABC 的面积相等，点 B 的坐标为（0，3） ，点 M 的纵

3、坐标是 3 或3，当点 M 的纵坐标为 3 时，3x2+2x+3，得 x10，x22，1则点 M 的坐标为（2，3） ；当点 M 的纵坐标为3 时，3x2+2x+3，得 x3= 7 +1，x4= 7 +1，则点 M 的坐标为（7 +1，3）或（7 +1，3） ；由上可得，点 M 的坐标为（2，3） 、 （7 +1，3）或（7 +1，3） 2 （2019 秋诸暨市期末）如图已知直线y= x+ 与抛物线 yax2+bx+c 相交于 A（1，0） ，B（4，m）两点，抛物线 yax2+bx+c 交 y 轴于点 C（0，2） ，交 x 轴正半轴于 D 点，抛物线的顶点为M（1）求抛物线的解析式；（2）

4、 设点 P 为直线 AB 下方的抛物线上一动点， 当PAB 的面积最大时， 求PAB 的面积及点 P 的坐标；（3）若点 Q 为 x 轴上一动点，点 N 在抛物线上且位于其对称轴右侧， 当QMN 与MAD 相似时，求 N点的坐标31212【分析】 （1）将点 B（4，m）代入 y=2x+2，求出 m=2，将点 A（1，0） ，B（4， ） ，C（0，2）211553代入 yax2+bx+c，即可求函数解析式；（2）设P（n， n2n2） ，则经过点P 且与直线 y=2x+2垂直的直线解析式为 y2x+2n2+n2，直2131113线 y= x+ 与其垂线的交点 G（ n2+ n ，532121

5、212545121513n + n+） ，可求 GP=（n2+3n+4） ，当 n= 时，510521015GP 最大，此时PAB 的面积最大，所以 P（ ，） ，PAB 的面积=224=16；815555125（3）可证明MAD 是等腰直角三角形，由QMN 与MAD 相似，则QMN 是等腰直角三角形，设N（t， t2t ）2132当 MQQN 时，N（3，0） ；当 QNMN 时，过点N 作 NRx 轴，过点M 作 MSRN 交于点 S，由MNSNMS（AAS） ，得到t1= 2t2+t+2，可求 N（5，15） ；132当 QNMQ 时，过点 Q 作 x 轴的垂线，过点 N 作 NSx 轴

6、，过点 N 作 NRx 轴，与过 M 点的垂线分别交于点 S、R；可证MQRQNS（AAS） ，得到 t+21+ t2t ，N（5，6） ；当 MNNQ 时，过点 M 作 MRx 轴，过点 Q 作 QSx 轴，过点 N 作 x 轴的平行线，与两垂线交于点 R、S；可证MNRNQS（AAS） ，得到 t2t2=t1，求得 N（2+5，1+5） ；综上所述：N（3，13123220）或 N（2+5，1+5）或 N（5，6）或 N（5，15） 【解答】解： （1）将点 B（4，m）代入 y=112x+2，m=52，将点 A（1，0） ，B（4，532） ，C（0，2）代入 yax2+bx+c，解得

7、a=1，b1，c= 322，函数解析式为 y=132x2x2；（2）设 P（n，1n2n322） ，则经过点 P 且与直线 y=1x+1垂直的直线解析式为 y2x+1n2+n32222，直线 y=1x+1与其垂线的交点 G（1n2241225+5n5，10n2+15n+110） ，GP=55（n2+3n+4） ，当 n=32时，GP 最大，此时PAB 的面积最大，P（3152，8） ，AB=55=552，PG4，PAB 的面积=15522551254=16；（3）M（1，2） ，A（1，0） ，D（3，0） ，AM22，AB4，MD22，MAD 是等腰直角三角形，QMN 与MAD 相似，QMN

8、 是等腰直角三角形，设 N（t，132t2t2）3如图 1，当 MQQN 时，N（3，0） ；如图 2，当 QNMN 时，过点 N 作 NRx 轴，过点 M 作 MSRN 交于点 S，QNMN，QNM90，MNSNMS（AAS）t1= t2+t+ ，t5，t1，t= 5，N（5，15） ；如图 3，当QNMQ 时，过点Q 作 x 轴的垂线，过点N 作 NSx 轴，过点N 作 NRx 轴，与过M 点的垂线分别交于点 S、R；QNMQ，MQN90，MQRQNS（AAS） ，SQQR2，t+21+2t2t2，t5，N（5，6） ；如图 4，当 MNNQ 时，过点 M 作 MRx 轴，过点 Q 作 Q

9、Sx 轴，过点 N 作 x 轴的平行线，与两垂线交于点R、S；QNMN，MNQ90，MNRNQS（AAS） ，SQRN， t t=t1，21232131232t25，t1，t2+5，N（2+5，1+5） ；综上所述：N（3，0）或 N（2+5，1+5）或 N（5，6）或 N（5，15） 453 （2020余杭区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x+2 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B点C 的坐标是（1，0） ，抛物线 yax2+bx2 经过 A、C 两点且交 y 轴于点 D点 P 为 x 轴上一点，过点 P作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 M，交抛物线于点 Q，连结 DQ，设点

10、P 的横坐标为 m（m0） （1）求点 A 的坐标（2）求抛物线的表达式（3）当以 B、D、Q，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求m 的值1【分析】 （1）令 y= 2x+20，解得：x4，即可求解；（2）把点 A、C 坐标代入二次函数表达式，即可求解；（3）以 B、D、Q，M 为顶点的四边形是平行四边形时，利用|MQ|BD 即可求解【解答】解： （1）令 y= 2x+20，解得：x4，y0，则 x2，即：点 A 坐标为： （4，0） ，B 点坐标为： （0，2） ；（2）把点 A、C 坐标代入二次函数表达式，116解得：b= ，c2，故：二次函数表达式为：y=x2 x2；（3）设点 M（m

11、，2m+2） ，则 Q（m， m22m2） ，2113123232以 B、D、Q，M 为顶点的四边形是平行四边形时，12则：|MQ|（ m m4）BD4，2当 m2m44，21解得：m117；当 m2m44，21解得：m2，m0（舍去） ；故：m2 或 1+17或 1174 （2020下陆区模拟）如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8） ，点C 的坐标为（6，0） 抛物线 y= 9x2+bx+c 经过点 A、C，与 AB 交于点 D（1）求抛物线的函数解析式；（2）点 P 为线段 BC 上一个动点（不与点 C 重合） ，点 Q 为线段 AC 上一个动点，AQCP，连接

12、PQ，设 CPm，CPQ 的面积为 S求 S 关于 m 的函数表达式；当 S 最大时，在抛物线 y= x2+bx+c 的对称轴 l 上，若存在点 F，使DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由494【分析】 （1）将 A、C 两点坐标代入抛物线 y= 9x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；（2）先用 m 表示出 QE 的长度，进而求出三角形的面积S 关于 m 的函数；47直接写出满足条件的F 点的坐标即可，注意不要漏写【解答】解： （1）将 A、C 两点坐标代入抛物线，得 =48，9 36 + 6 + = 0解得： =43， = 8抛物线的解析式为

13、y= 449x2+3x+8；（2）OA8，OC6，AC= 2+ 2=10，过点 Q 作 QEBC 与 E 点，则 sinACB=3=5，10=35，QE=35（10m） ，S=11332CPQE=2m5（10m）= 10m2+3m；S=1CPQE=1m3（10m）= 322510m2+3m= 310（m5）2+152，当 m5 时，S 取最大值；在抛物线对称轴 l 上存在点 F，使FDQ 为直角三角形，抛物线的解析式为 y= 4439x2+3x+8 的对称轴为 x=2，D 的坐标为（3，8） ，Q（3，4） ，当FDQ90时，F31（2，8） ，当FQD90时，则 F32（2，4） ，当DFQ

14、90时，设 F（32，n） ，则 FD2+FQ2DQ2，即9+（8n）2+944+（n4）216，解得：n672，8F3（ ，6+2） ，F4（ ，62） ，22满足条件的点 F 共有四个，坐标分别为F1（ ，8） ，F2（ ，4） ，F3（ ，6+222333737372） ，F4（ ，62372） 5 （2019海宁市二模）如图，二次函数 y1x2+bx+c 与 y2x2+cx+b（bc）的图象相交于点 A，分别与 y轴相交于点 C，B，连接 AB、AC（1）过点（1，0）作直线 l，判断点 A 与直线 l 的位置关系，并说明理由（2）当 A、C 两点是二次函数 y1x2+bx+c 图象上

15、的对称点时，求 b 的值（3）当ABC 是等边三角形时，求点B 的坐标【分析】 （1）联立 y1、y2并解得：x1，故点 A（1，1+b+c） ，即可求解；（2）A、C 两点是二次函数 y1x2+bx+c 图象上的对称点，故点A、C 的纵坐标相同，即可求解；（3）HBAHtanHAB1tan30=33，则 HB=+3+b=，而= 1 + + ，即可求解232【解答】解： （1）联立 y1、y2并解得：x1，故点 A（1，1+b+c） ，故直线 l 过点 A；（2）由题意得：点 B、C 的坐标分别为（0，b） 、 （0，c） ，A、C 两点是二次函数 y1x2+bx+c 图象上的对称点，故点A、

16、C 的纵坐标相同，即：1+b+cc，解得：b1；9（3）如下图所示，过等边三角形的点A 作 AHBC，则点 H（0，2） ，点 A（1，1+b+c） ，3则 AH1，则 HBAHtanHAB1tan30=3，3则 HB=b=，而= 1，232解得：b= 33，333） 3故点 B（0，6 （2019温州二模）如图，开口向下的抛物线顶点D 在直线 yx1（x1）上运动，抛物线与 x 轴交于点 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，直线 yx1 与 x 轴交于点 G（1）若抛物线经过点 A（1，0） 、B（4，0）时，求抛物线函数表达式；（2）若抛物线经过点 B（4，0） ，AG：BG2：3，

17、求点 D 的坐标【分析】 （1）根据已知 A 与 B 点可求对称轴 x=2，顶点为（ ， ） ，即可求解析式；22553（2）当点 A、B 分别在点 G 两侧时，点 A 的坐标是（1，0） ，可求 xDxH=2，yDxD1=2；当点 A、B 在点 G 同侧时，点 A 的坐标是（3，0） ，可求 xDxH=【解答】解： （1）设抛物线解析式为 yax2+bx+c，抛物线经过点 A（1，0） 、B（4，0） ，根据抛物线对称性，得 xD=2= 2，顶点为（ ， ） ，2255375=，yDxD1= ；22231b5a，424=，2103c=3252+4，yax25ax+3+2524，当 x1 时，

18、y0，a5a+3252+4 =0，a= 23，y= 2x2+1033x83；（2）针对于直线 yx1，令 y0，则 x1，G（1，0） ，OG1，B（4，0） ，BG32=3，AG2；当点 A、B 分别在点 G 两侧时，点 A 的坐标是（1，0） ，xDxH=32，yDxD1=12，点 D 的坐标是（3，122） ；当点 A、B 在点 G 同侧时，点 A 的坐标是（3，0） ，xDxH=+2=72，yDxD1=52，点 D 的坐标是（7，522） ；117 （2019温州三模）如图，已知直线l：y= x+2 与 x、y 轴分别交于 D、A 两点抛物线y= x2+bx+2 与直线交于 A、E 两

19、点（1）当抛物线与 x 轴交于 B、C 两点时，点 B 坐标为（1，0） ；求该抛物线的解析式；求四边形 ABCE 的面积；（2）当抛物线的顶点在x 轴上方，与 x 轴的距离最大时，求点E 的坐标1212【分析】 （1）把 B 点坐标代入 y= x2+bx+2 中求出 b 即可得到该抛物线的解析式；解方程 x22x+20 得 B（1，0） ，C（4，0） ，再利用一次函数解析式求出A、D 的坐标，接着解方程21512 = + 22组得 E（6，5） ，然后根据三角形面积公式， 利用四边形 ABCE 的面积SEDCSADB125 =2 2 + 2进行计算；（2）利用配方法得到顶点式 y= （x+

20、b）2 b2+2，利用抛物线的顶点在 x 轴上方得到 b2+20，然后利用二次函数的性质得到当 b0 时，2b2+2 有最大值 2，从而得到此时抛物线解析式为 y=2x2+2，然后解方程 x2+2= x+2 得 E 点坐标2112111212121【解答】解： （1）把 B（1，0）代入 y=2x2+bx+2 得+b+20，解得 b= 2，2115所以该抛物线的解析式为y=2x22x+2；当 y0 时， x22x+20，解得 x11，x24，2121515B（1，0） ，C（4，0） ，当 y0 时， x+20，解得 x4，则 D（4，0） ，21当 x0 时，y=2x+22，则 A（0，2）

21、 ， = + 2 = 0 = 62解方程组得或，则 E（6，5） ，125 = 2 = 5 =2 2 + 2四边形 ABCE 的面积SEDCSADB=2（4+4）52（1+4）215；（2）y=2x2+bx+2=2（x+b）22b2+2，抛物线的顶点在 x 轴上方，2b2+20，当 b0 时，2b2+2 有最大值 2，此时抛物线解析式为 y= x2+2，解方程 x2+2= x+2，解得 x11，x20，此时 E 点坐标为（1， ） 221125121111111118 （2019嘉善县模拟）已知点 P 是抛物线 y=82+1 上的任意一点，设点 P 到直线 y1 的距离为 d1，点 P 到点

22、F（0，3）的距离为 d2（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（2）判断 d1，d2的大小关系并证明；（3）若线段 PF 的延长线交抛物线于点Q，且线段 PQ 的长度是 m，线段 PQ 的中点 M 到 x 轴的距离是n直接写出 m 与 n 关系式113【分析】 （1）本题需先根据抛物线的解析式和顶点坐标公式即可得出抛物线的顶点坐标（2）本题需先根据已知条件设出P 点的坐标，分别得出d1和 d2的平方的值，即可得出d1、d2的大小关系（3） 作QSx轴， PRx轴， 过M作x轴的垂线MN， 那么MN就是梯形PRSQ的中位线， 即MN= （PR+QS） ，从而得到 m 与 n 关系式【解答】解： （

23、1）抛物线的解析式为：y=82+1，抛物线的顶点坐标是： （0，1） ，对称轴为 y 轴；（2）设 P（m， m2+1）841222则 d1（ m +2） =+4642821211d22m2+（38m21）2=64+2+4d12d22d10，d20d1d2；（3）作 QSx 轴，PRx 轴，取 RS 中点 N，连接 MN，同（2）可证得 QSQF1，PRPF1，由梯形中位线：2MNQS+PRQF1+PF1QP2，则 2nm2，所以 m2n+2142149 （2019宁波二模）如图，函数 y1的图象经过向左或向右平移一次，再向上或向下平移一次，得到函数y2的图象，我们称函数y1为“基函数” ，y

24、2为“基函数”的“像”左右、上下平移的路径称为平移路径，对应点之间的距离称为平移距离我们所学过的函数：二次函数 yax2，正比例函数 ykx 和反比例函数 y= 都可以作为“基函数” ，沿着平移路径平移可以得到“像”如一次函数 y2x5 是基函数 y2x 的像，由 y2x52（x1）3 可知，平移路径可以是向右平移1 个单位，再向下平移 3 个单位，平移距离= 12+ 32= 10（1）一位同学经过思考后，为函数 y2x5 又找到了一条平移路径，由基函数 y2x 先向左平移 1个单位，再向下平移 7 个单位，相应的平移距离为52；（2）已知函数 yx26x+5 是基函数 yx2的像，请写出平移

25、路径和相应的平移距离；（3）已知函数 y=3+41是基函数 y= 的像，求出平移路径，并求相应的平移距离+1【分析】 （1）由条件可知，向左右平移即含x 的项加一个数（左正右负） ，向上下平移即整个函数式子加一个数（上正下负） 故可设设由基函数 y2x 先左右平移 a 个单位，再向下平移 7 个单位得 y2x5，展开计算即求得 a1，故向左平移 1 个单位，代入平移距离公式即求得52（2）把yx26x+5 进行配方得 y（x3）24，根据平移规律可知是由yx2向右平移 3 个单位，向下平移 4 个单位得到，代入平移距离公式即求得5（3）把 y=+1进行分解，目标是分解到含 x 项的分式分子不含

26、未知数，所以把 3x+4 分解为 3（x+1）3+415+4，反用同分母分式加法法则计算得y3+上平移 3 个单位，再计算平移距离1，含 x 的项+1 说明向左平移 1 个单位，整个式子+3 即向+1【解答】解： （1）设由基函数 y2x 先左右平移 a 个单位，再向下平移 7 个单位得 y2x5y2（x+a）72x52x+2a72x5a1，即 y2（x+1）7向左平移 1 个单位，平移距离= 12+ 72= 50 = 52故答案为：左平移 1；52（2）yx26x+5（x3）24，是基函数 yx2的像平移路径为：向右平移3 个单位，向下平移 4 个单位平移距离=32+42=5（3）y=3+4

27、+1=3+3+1+1=3(+1)+1+1+1=3+1+1，是基函数 y=1的像平移路径为：向左平移1 个单位，向上平移 3 个单位平移距离=12+32=1010 （2019瑞安市三模）如图，直线 y2x8 分别交 x 轴、y 轴于点 A、点 B，抛物线 yax2+bx（a0）经过点 A，且顶点 Q 在直线 AB 上（1）求 a，b 的值（2）点 P 是第四象限内抛物线上的点，连结OP、AP、BP，设点 P 的横坐标为 t，OAP 的面积为 s1，OBP 的面积为 s2，记 ss1+s2，试求 s 的最值【分析】 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 A，B 的坐标，由二次函数的对称性可

28、得出抛16物线的对称轴为直线 x2，利于一次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线的顶点 Q 的坐标，由点 A，P 的坐标，利用待定系数法即可求出a，b 的值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P 的坐标，利用三角形的面积公式可找出s1，s2，进而可得出 s 关于 t 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题【解答】解： （1）直线 y2x8 分别交 x 轴、y 轴于点 A、点 B，点 A 的坐标为（4，0） ，点 B 的坐标为（0，8） 抛物线 yax2+bx（a0）经过点 A，点 O，抛物线的对称轴为直线x2当 x2 时，y2x84，抛物线顶点 Q 的坐标为（2，4） 将

29、A（4，0） ，Q（2，4）代入 yax2+bx，得：16 + 4 = 0 = 1，解得： = 44 + 2 = 4（2）由（1）得：抛物线解析式为 yx24x，点 P 的横坐标为 t，点 P 的坐标为（t，t24t） ，s1=114（4tt2）8t2t2，s2=8t4t，22ss1+s22t2+12t2（t3）2+1820，且 0t4，当 t3 时，s 取得最大值，最大值为1811 （2019温州二模）如图，抛物线yax2bx+4 与坐标轴分别交于 A，B，C 三点，其中 A（3，0） ，B（8，0） ，点 D 在 x 在轴上，ACCD，过点 D 作 DEx 轴交抛物线于点 E，点 P，Q

30、分别是线段 CO，CD 上的动点，且 CPQD17（1）求抛物线的解析式（2）记APC 的面积为 S1，PCQ 的面积为 S2，QED 的面积为 S3，若 S1+S34S2，求出 Q 点坐标（3）连结 AQ，则 AP+AQ 的最小值为61 （请直接写出答案）【分析】 （1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）作 QNOD，根据等腰三角形的性质得出D（3，0） ，进而求得 E（3，5） ，根据勾股定理求得 CD5，设 PCQDx，由NQCODC 的性质得出 NQ=3(5)，根据 S1+S34S2，列出关于 x 的方5程，即可求得 x 的值，进而求得 NQ 和 ON，就求得 Q 点的坐标（3）

31、连接AE，先证明ACPEQD，则 APEQ，所以 AP+AQEQ+AQ，利用三角形三边的关系得到 EQ+AQAE（当且仅当点 A、Q、E 共线时取等号） ，然后计算出 AE 即可【解答】解： （1）抛物线 yax2bx+4 与坐标轴分别交于 A，B，C 三点， 其中 A（3，0） ，B（8，0） ，C（0，4） ，设抛物线的解析式为 ya（x+3） （x8） ，代入 C 点的坐标得，424a，a= ，y= 6（x+3） （x8） ，抛物线的解析式为：y= 6x2+6x+4；（2）ACCD，COAD，ODOA3，D（3，0） ，E 点的横坐标为 3，把 x3 代入 y= 6x2+6x+4 得，y

32、5，E（3，5） ，OD3，OC4，151511618CD5，设 PCQDx，作 QNOD，交 OC 于 N，NQCODC，=，即3=55，NQ=3(5)5，S1+S34S2，12x3+12533(5)13(5)542x5解得 x=52，QD=52，CQ5552=2，=，53=4=25，NQ=32，CN2，ON422，Q（32，2） ；（3）连接 AE，ACCD，COAD，OC 平分ACD，ACODCO，EDOC，DCOCDE，DECDAC5，CPQD，ACPEDQ，APEQ，AP+AQEQ+AQ，19而 EQ+AQAE（当且仅当点 A、Q、E 共线时取等号） ，EQ+AQ 的最小值= 2+

33、2= 52+ 62= 61，AQ+AP 的最小值为61，故答案为6112 （2019温州二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，2） ，B（5，0） ，抛物线 yax22ax（a0）交 x 轴正半轴于点 C，连结 AO，AB（1）求点 C 的坐标和直线 AB 的表达式（2）设抛物线 yax22ax（a0）分别交边 BA，BA 延长线于点 D，E若 AE3AO，求抛物线表达式若CDB 与BOA 相似，则 a 的值为1013 （请直接写出答案）【分析】 （1）求得对称轴，由对称性可知C 点坐标，AB 求直线解析式；（2）由 AE3AO 的关系，建立 K 型模型相似，求得点E 坐标代入解析式可得；

34、若CDB 与BOA 相似，则ACDB90，由相似关系可得点D 坐标，代入解析式可得 a 值【解答】答案： （1） = = 12O，C 两点关于直线 x1 对称C（2，0）设直线 AB：ykx+b，把 A（1，2） ，B（5，0）代入得 = 2 +2（2）A（1，2） ，B（5，0） ，O（0，0）OA= 5，OB5，AB= 25OA2+AB2OB22015OAB90OAE90作 EFAF，AGx 轴FEAOAG，FAGO90EAFAOG（AA）= 3E（5，5）代入解析式可得， = =2172717若CDB 与BOA 相似，=355=2565=D（135，）1013代入解析式可得， =13 （

35、2019永康市一模）定义：若抛物线的顶点和与 x 轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时则称此抛物线为正抛物线概念理解：（1） 如图， 在ABC 中， BAC90， 点 D 是 BC 的中点 试证明： 以点 A 为顶点， 且与 x 轴交于 D、C 两点的抛物线是正抛物线；问题探究：（2）已知一条抛物线经过x 轴的两点 E、F（E 在 F 的左边） ，E（1，0）且 EF2 若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；21应用拓展：（3）将抛物线 y1x2+23x+9 向下平移 9 个单位后得新的抛物线y2抛物线 y2的顶点为 P，与 x 轴的两个交点分别为 M、N（M 在 N 左侧） ，把

36、PMN 沿 x 轴正半轴无滑动翻滚，当边PN 与 x 轴重合时记为第 1 次翻滚，当边PM 与 x 轴重合时记为第 2 次翻滚，依此类推，请求出当第2019 次翻滚后抛物线 y2的顶点 P 的对应点坐标【分析】 （1）由 RtABC 中 AD 是斜边 BC 的中线可得 ADCD，由抛物线对称性可得 ADAC，即证得ACD 是等边三角形（2）设抛物线顶点为G，根据正抛物线定义得EFG 是等边三角形，又易求E、F 坐标，即能求G 点坐标由于不确定点 G 纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式（3） 根据题意求出抛物线y2的解析式， 并按题意求出 P、 M、 N 的坐标， 得到等边

37、PMN， 所以当PMN翻滚时，每 3 次为一个周期，点 P 回到 x 轴上方，且横坐标每多一个周期即加63，其规律为当翻滚次数 n 能被 3 整除时，横坐标为：3 +n23 =（2n+1）32019 能被 3 整除，代入即能求此时点P 坐标【解答】解： （1）证明：BAC90，点 D 是 BC 的中点ADBDCD= BC抛物线以 A 为顶点与 x 轴交于 D、C 两点ADACADACCDACD 是等边三角形以 A 为顶点与 x 轴交于 D、C 两点的抛物线是正抛物线（2）E（1，0）且 EF2，点 F 在 x 轴上且 E 在 F 的左边F（3，0）1222一条经过 x 轴的两点 E、F 的抛物

38、线为正抛物线，设顶点为GEFG 是等边三角形xG=+22= 2，|yG|= 2 1 = 32当 G（2，3）时，设抛物线解析式为ya（x2）2+3把点 E（1，0）代入得：a+3 =0a= 3y= 3（x2）2+3当 G（2，3）时，设抛物线解析式为ya（x2）23把点 E（1，0）代入得：a3 =0a= 3y= 3（x2）23综上所述，这条抛物线的解析式为y= 3（x2）2+3或 y= 3（x2）23（3）抛物线 y1x2+23x+9（x3）2+12y1向下平移 9 个单位后得抛物线 y2（x3）2+3P（3，3） ，M（0，0） ，N（23，0）PMMNPN23PMN 是等边三角形第一次翻

39、滚顶点 P 的坐标变为 P1（43， 0） ， 第二次翻滚得 P2与 P1相同， 第三次翻滚得 P3（73， 3）即每翻滚3次为一个周期， 当翻滚次数n能被3整除时， 点P纵坐标为3， 横坐标为：（2n+1）3 +n23 =320193673（22019+1） 3 =40393当第 2019 次翻滚后抛物线 y2的顶点 P 的对应点坐标为（40393，3） 14 （2019义乌市模拟）如图 1，矩形 OABC 中，OA3，OC2，以矩形的顶点 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴， OC 所在的直线为 y 轴， 建立平面直角坐标系 在直线 OA 上取一点 D， 将BDA 沿 BD 翻折，点

40、A 的对应点为点 A，直线 DA与直线 BC 的交点为 F（1）如图 2，当点 A恰好落在线段 CB 上时，取 AB 的中点 E，直接写出点 E、F 的坐标；23设顶点为 F 的抛物线交 y 轴正半轴于点 P，且以点E、F、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；在 x 轴、y 轴上是否分别存在点 M、N，使得四边形 MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由（2）在平面内找一点G，连结 BG、FG，使四边形 ABGF 为正方形，求点 D 的坐标【分析】 （1）BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，可以知道四边形 ADFB 是

41、正方形，因而 BFABOC2，则 CF321，因而 E、F 的坐标就可以求出顶点为 F 的坐标根据第一问可以求得是（1，2） ，因而抛物线的解析式可以设为ya（x1）2+2，以点 E、F、P 为顶点的三角形是等腰三角形，应分EF 是腰和底边两种情况进行讨论当EF 是腰，EFPF 时，已知 E、F 点的坐标可以求出 EF 的长，设 P 点的坐标是（0，n） ，根据勾股定理就可以求出 n的值得到P 的坐标当EF 是腰，EFEP 时，可以判断E 到 y 轴的最短距离与 EF 的大小关系，只有当 EF 大于 E 到 y 轴的距离，P 才存在当 EF 是底边时，EPFP，根据勾股定理就可以得到关于n 的

42、方程，就可以解得 n 的值作点 E 关于 x 轴的对称点 E，作点 F 关于 y 轴的对称点 F，连接 EF，分别与 x 轴、y 轴交于点 M，N，则点 M，N 就是所求点求出线段EF的长度，就是四边形 MNFE 的周长的最小值（2）过 A作 x 轴的垂线 MN 得到等腰 RtAND，由四边形 ABGF 为正方形可得 AFABAB2，且ABF 是等腰直角三角形，即能求 BF 的长，进而求 AM、CM，易得 ODON+DNCM+AN，即求出D 的坐标【解答】解： （1）矩形 OABC 中，OA3，OC2BAOABC90，ABOC2，BCOA3B（3，2）E 为 AB 中点E（3，1）24BDA

43、沿 BD 翻折得BDA，点 A落在 BC 边上的 F 处，BADBAD90，ADAD四边形 ABAD 是正方形ADADABAB2ACBCAB1F（1，2）抛物线顶点 F（1，2） ，设抛物线解析式为 ya（x1）2+2（a0）在 RtEBF 中，EBF90，BE1，BF2EF= 2+ 2= 5设点 P 的坐标为（0，n） ，其中 n0i）如图 1，当 EFPF 时，PF2EF2512+（n2）25解得：n10（舍去） ；n24P（0，4）4a（01）2+2解得：a2抛物线的解析式为 y2（x1）2+2ii）如图 2，当 EPFP 时，EP2FP2，（2n）2+1（1n）2+32解得：n= 52

44、（舍去）iii）当 EFEP 时，EP= 53，这种情况不存在综上所述，符合条件的抛物线解析式是y2（x1）2+2存在点 M，N，使得四边形 MNFE 的周长最小如图 3，作点 E 关于 x 轴的对称点 E，作点 F 关于 y 轴的对称点 F，连接 EF，分别与 x 轴、y 轴交于点 M，N，则点 M，N 就是所求点E（3，1） ，F（1，2） ，NFNF，MEME25BF4，BE3FN+NM+MEFN +NM+MEEF= (3 + 1)2+ 32= 5EF= 5FN+MN+ME+EF5+5四边形 MNFE 的周长最小值是 5+5（2）如图 4，过点 A作 MNx 轴于点 N，交 BC 于点

45、MMNBC，AND90，四边形 OCMN 是矩形ONCM，MNOC2四边形 ABGF 是正方形AFABAB2BF= 2+ 2= 22+ 22= 22AMBMFM=12BF= 2ONCMBCBM32，ANMNAM22ADNAFM45DNAN22ODON+DN32+22 =522点 D 坐标为（522，0）2615 （2019余姚市一模）如图，平面直角坐标系中，A（5，0） ，B（2，3） ，连结 OB 和 AB，抛物线 yx2+bx 经过点 A（1）求 b 的值和直线 AB 的解析式；（2）若P 为抛物线上位于第一象限的一个动点，过P 作 x 轴的垂线，交折线段OBA 于 Q当点Q 在线段 AB

46、 上时，求 PQ 的最大值【分析】 （1）把 A（5，0）代入抛物线抛物线 yx2+bx 中，即可解出可得 b 的值，然后设直线 AB 的解析式为 ykx+n，可把 A（5，0） ，B（2，3）代入利用待定系数法即可求得直线AB 的解析式；（2）设点 P 的坐标，并表示点 Q 的坐标，根据铅直高度表示PQ 的长，并配方可得 PQ 的最大值【解答】解： （1）把 A（5，0）代入抛物线 yx2+bx 中得：52+5b0，解得 b5，设直线 AB 的解析式为 ykx+n，5 + = 0把 A（5，0） ，B（2，3）代入得：，2 + = 3 = 1解得， = 527直线 AB 的解析式为 yx+5

47、；（2）设 P（m，m2+5m） ，则 Q（m，m+5） ，PQm2+6m5（2m5） ，由 PQm2+6m5（m3）2+4 可知，当 m3 时，PQ 有最大值为 416 （2019宁波模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A，B，C，已知 A（1，0） ，B（5，0） ，C（0，5）（1）求抛物线与直线 BC 的表达式；（2）如图 1，P 为线段 BC 上一点，过点 P 作 y 轴平行线，交抛物线于点 D，当BCD 的面积最大时，求点 P 的坐标；（3）如图 2，抛物线顶点为 E，EFx 轴于点 F，N 是线段 EF 上一动点，M（m，0）是 x 轴上一动点，

48、若MNC90，直接写出实数m 的取值范围【分析】 （1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC 的解析式，再设P（t，5t） ，即可得D（t，t2+4t+5） ，即可求得PD 的长，由 SBDCSPDC+SPDB，即可得 SBDC= 2（t2）2+8，利用二次函数的性质，即可求得当BDC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式 m= （n ）2 ，然后根据 n 的取值得到最小值【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（1，0） ，B（5，0） 设该抛物线解析式为：ya（x+1） （x5） （a0）

49、 把 C（0，5）代入，得 5a（0+1） （05） 解得 a11252985512528故该抛物线解析式为：y（x+1） （x5）或 yx2+4x+5（2）设直线 BC 的解析式为 ykx+m（k0） 把 B（5，0） ，C（0，5）代入，得5 + = 0 = 5解得 = 1 = 5直线 BC 的解析式为 yx+5设 P（t，5t） ，D（t，t2+4t+5） ，PD（t2+4t+5）（5t）t2+5t，SBDCSPDC+SPDB=112PDt+2PD （5t）=12PD5=52（t2+5t）= 5（t5）2+125228，当 t=5552时，BDC 的面积最大，此时 P（2，2） ；（3）

50、由（1）yx2+4x+5（x2）2+9，E（2，9） ，设 N（2，n） ，则 0n9，取 CM 的中点 Q（，522） ，MNC90，NQ=12CM，4NQ2CM2，NQ2（252）2+（n2）2，4（22）2+（n52）2m2+25，29整理得，m= （n ）2 ，0n9，当 n=2时，m最小值= 8，n9 时，m20，综上，m 的取值范围为：m20985912529817 （2019金华模拟）如图，抛物线L 经过点 A（1，0） ，B（5，0） ，C（2，1） ，交 y 轴于点 D（1）求抛物线 L 的解析式和点 D 的坐标；（2）已知点 E（0，5） ，在坐标平面内有一点 F，使得BC