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1、导数的概念导数的概念( (习题课习题课) ) xyoBx2f (x2)Ax1f (x1)f (x2)-f (x1)x2-x1直线直线AB的斜率的斜率y=f (x)1.1.平均变化率平均变化率函数函数y=f(xy=f(x) )从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为: :121()()2f xf xxx yx 2.2.平均变化率的几何意义：平均变化率的几何意义：割线的斜率割线的斜率121()()2f xf xxx ykx 3.3.导数的概念导数的概念函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率处的瞬时变化率0000( )() ()lim xf xxf xfxx
2、 称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的导数处的导数, 记作记作或或 , 即即0| xxy0() fx导数还可以用下式表示：0000( )()()limxxf xf xfxxx4.4.求求函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处处的导数的一般步骤是的导数的一般步骤是: :001( )()(); yf xxf x求求函函数数的的增增量量002()()( ); 求求平平均均变变化化率率f xxf xyxx003( )()lim. 取取极极限限，得得导导数数xyfxx一差、二比、三极限一差、二比、三极限例例1. (1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导
3、数.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均变附近的平均变化率，并求出在该点处的导数化率，并求出在该点处的导数 题型：求函数在某处的导数题型：求函数在某处的导数例例1. (1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.题型：求函数在某处的导数题型：求函数在某处的导数解：23(1)3x263()xxyx63 x /0(1)limxyfxy (1)(1)fxf263()xxx0lim(63)xx6例例1.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均变附近的平均变化率，并求出在该点处的导数化率，并求出在该点处的导数 题型：求函数在某处的导数题型：求函数在某
4、处的导数解：22( 1)( 1) ( 1)( 1)xx 2()3xx yx平均变化率3x /0( 1)limxyfx0lim(3)xx3y ( 1)( 1)fxf 2()3xxx0001,(),2.2yxxxfxx在处附近有定求例义 且的值:解yx0limxyx 01|,2x xy由000000()()()xxxxxxxxxx 001.xxx 011,22 x得01.x00 xxxx 00,yxxx 0001limxxxx 01,2 x0limx 例例2质量为质量为kg的物体，按照的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动，求运的规律做直线运动，求运动开始后动开始后s时物体的动能时物
5、体的动能。21()2Emv200253limlimxxsttvtt 题型：应用题型：应用221110 253125( )22EmvJ0lim(253)25xt 如果函数如果函数yf (x)在区间在区间(a,b)内每一点都可导内每一点都可导,就说就说函数函数yf (x)在区间在区间(a,b)内可导内可导.这时这时,对每一个对每一个x (a,b)都有唯一确定的导数值与它对应都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间这样在区间(a,b)内就内就构成一个新的函数构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数这个新的函数叫做函数f (x)在区间在区间(a,b)内的内的导函数导函数,记作记作 ,即即:( )()xf
6、xyy或必要时记作00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，导函数也简称在不致发生混淆时，导函数也简称导数导数0000( , ),( )()( )( , )()( ).xa byf xxfxf xa bfxx当时 函数在点 处的导数等于函数在开区间内的导 函 数在点 处的函数值练习练习1.质点按规律质点按规律s(t)=at2+1做直线运动做直线运动(位移单位：位移单位：m , 时间单位：时间单位：s).若质点在若质点在t=2时的瞬时速度为时的瞬时速度为8m/s,求常数求常数a的值。的值。 a=2练习练习2.质量为质量为5kg的物体按规律的物体按规律 （
7、t的单位：的单位：s, s的单位：的单位：cm）做直线运）做直线运动，求物体受到的作用力。动，求物体受到的作用力。2s=2 +3tt0.3N 例例4 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热. 如果第如果第 x h时时, 原油的温度原油的温度(单单位位: )为为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第计算第2h和第和第6h, 原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义并说明它们的意义.C解解: 在第在第2h和第和第6h时时, 原油温度的原油温度的瞬时变化率分
8、别是瞬时变化率分别是(2)f (6).f 和和(2)(2)fxfx根据导数的定义根据导数的定义,24()7xxxx 00(2)limlim(3)3.xxyfxx 同理可得同理可得(6)5.f 在第在第2h和第和第6h时时, 原油温度的瞬时变化率分别为原油温度的瞬时变化率分别为3和和5. 它说它说明在第明在第2h附近附近, 原油温度大约以原油温度大约以3 / h的速率下降的速率下降; 在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以5 / h的速率上升的速率上升.CC3x 计算第计算第3（h）和第）和第5（h）时，原油温度的瞬时）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。变化率，并说明它们的
9、意义。 35f 13f）（，解：这说明这说明:在第在第3小时附近，原油温度大约以小时附近，原油温度大约以1的速率下降，的速率下降，在第在第5小时附近，小时附近，原油温度大约以原油温度大约以3的速率上升。的速率上升。练习：练习：例例5:设设f(x)在点在点x0处的导数为处的导数为1,求下列各式的值求下列各式的值:000000(1)()( )()()lim;lim).22xhf xxf xf xhf xhxh 000()()lim)(1xf xxf xx 原式解：00-0()()limxf xxf xx 0()fx = -100000()() ()()lim2hf xhf xf xhf xh000
10、()()lim.2(2)hf xhf xhh00000-0()()()()1limlim2hhf xhf xf xhf xhh001()()2fxfx0()1.fx练习练习1:设设f(x)在点在点x0处的导数是处的导数是2,求下列各式的值求下列各式的值:000000()( )()( )(1)lim;(2)limxxxf xf xf xm xf xtxx 2(1)2 ;(2).mt答案：练习练习2:设函数设函数f(x)在点在点x=a处可导处可导,试用试用a、f(a)和和( )( )( )lim.xaaf xxf af axa表示( )( ) ( )( ) () ( )limlim( )( )li
11、m( )( )( ).:xaxaxaaf xxf aa f xf axa f axaxaf xf aaf aaf af axa解00000000()()( )lim.1,.,hf xhf xf xxxhAh xBxhChxDh x 设在处可导，则（ ）与都有关； 仅与 有关与无关；仅与有关与 无关；与都无关B0(1)(1)( )lim31(1).3(1)(1(3)32).xfxff xxA fBfCfD f 设可导，则（ ）.；.；.C练习练习0000000000000000()(). |lim()(). |lim()(). |lim()(). |li3mxxxxxxxxxxxxfxxfxA
12、yxfxxfxB yxfxxfxC yxfxfxxD yx 下 列 各 式 正 确 的 是 ： （ ）.D课堂练习课堂练习00000000()()lim23()()2()()4.5lim.xhf xxf xxf xf xf xhf xhh 若， 则若， 则64 如果函数如果函数yf (x)在区间在区间(a,b)内每一点都可导内每一点都可导,就说就说函数函数yf (x)在区间在区间(a,b)内可导内可导.这时这时,对每一个对每一个x (a,b)都有唯一确定的导数值与它对应都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间这样在区间(a,b)内就内就构成一个新的函数构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数这个
13、新的函数叫做函数f (x)在区间在区间(a,b)内的内的导函数导函数,记作记作 ,即即:( )()xfxyy或必要时记作00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，导函数也简称在不致发生混淆时，导函数也简称导数导数0000( , ),( )()( )( , )()( ).xa byf xxfxf xa bfxx当时 函数在点 处的导数等于函数在开区间内的导 函 数在点 处的函数值.yxy已知，求1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 练习练习:xyxxxxxx解：DD=+ D-=+ D+例例4:证明证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数可导的偶函数的导函数为奇函数; (2)可导的奇函数的导函数为偶函数可导的奇函数的导函数为偶函数.证证:(1)设偶函数设偶函数f(x),则有则有f(-x)=f(x).).()()(lim,)(0 xfxxfxxfxfyx 可可导导函函数数).()()(lim)()(lim)()(lim)(000 xfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxfxxx .)(立立是奇函数，从而命题成是奇函数，从而命题成xf (2)仿仿(1)可证命题成立可证命题成立,在此略去在此略去,供同学们在课后练供同学们在课后练 习用习用.