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1、专题03 导数与函数的单调性【重难点知识点网络】：1函数的单调性与其导数的关系在某个区间内，如果_，那么函数在这个区间内单调递增；如果_，那么函数在这个区间内单调递减注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于02函数图象与之间的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较_，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些【重难点题型突破】：一、利用导数判断函数的单调性（1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单
2、调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立一般步骤如下：求导数；判断的符号；给出单调性结论（2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点（3）当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“”连接例1（2021湖北高二开学考试）函数的单调递减区间为（ ）ABCD【答案】C【分析】求得导函数，利用，及定义域解不等式即可得出结果.【详解】当时，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C.【变式训练1-
3、1】（2021全国高二单元测试）在内的单调性是（ ）A增加的B减少的C在内是减少的，在内是增加的D在内是增加的，在内是减少的【答案】C【分析】求得函数的导数，根据导数的符号，即可求得函数的单调区间，得到答案.【详解】由题意，函数的定义为，且，令，即，可得；令，即，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.故选：C.【变式训练1-2】（多选题）函数，则下列说法正确的是（ ）ABC若有两个不相等的实根，则D若均为正数，则【答案】BD【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A，由函数性质判断BC，设，且均为正
4、数，求得，再由函数性质判断D【详解】由得：令得，当x变化时，变化如下表：x0单调递增极大值单调递减故，在上递增，在上递减，是极大值也是最大值，时，时，且时，时，A，故A错B，且在单调递增，故：B正确C有两个不相等的零点不妨设要证：，即要证：在单调递增，只需证：即：只需证：令，则当时，在单调递增，即：这与矛盾，故C错D设，且均为正数，则且，故D正确故选：BD例2（2021全国高二课时练习）已知函数.讨论函数的单调性.【答案】答案见解析.【分析】首先求出定义域，再求出导函数，分和两种情况，求出函数的单调区间；【详解】解：因为，所以的定义域为，当时，则在上是增函数；当时，所以；或；，所以在上是减函数
5、，在和上是增函数.【变式训练1-2】（2021江苏泰州市泰州中学高二月考）设函数，其中若，讨论的单调性；【答案】在内单调递增；【详解】解：由已知，的定义域为，且，因此当时，从而，所以在内单调递增【变式训练1-3】（2021浙江高三其他模拟）已知函数（）（1）讨论函数的单调性；（2）当时，令，若函数的图象与直线相交于不同的两点，设，（）分别为点，的横坐标，求证：【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析【分析】（1）求导后，分类讨论，利用导数的符号可得函数的单调性；（2）求出的解析式，利用斜率公式求出，将所证不等式化为（），再构造两个函数，利用导数可证结
6、论成立.【详解】（1）的定义域为，且当时，则在上单调递增当时，若，则，在上单调递增；若，则，在上单调递减综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）当时，所以，所以，所以要证，即证因为，所以，即证令，则，即证（）令（），则，所以在上单调递减，所以，即，（）令（），则，所以在上单调递增，则，即（）综合得（），所以.【点睛】关键点点睛：将所证不等式化为（），再构造两个函数，利用导数证明不等式成立是解题关键.【变式训练1-4】（2021全国高二单元测试）求下列各函数的单调区间：（1）f(x)=2x3-3x2；（2）【答案】（1）递增区间是(-，0)和(1，+)；递减区间是(0
7、，1)；（2）递增区间是(0，e)，递减区间是(e，+)【分析】（1）先求定义域，利用导数求解单调性即可；（2）先求定义域，利用导数求解单调性即可；【详解】解：（1）函数f(x)的定义域为R，且，令，即6x2-6x0，解得x1或x0；令，即6x2-6x0，解得0x1.所以f(x)的递增区间是(-，0)和(1，+)；递减区间是(0，1)；（2）函数f(x)的定义域为(0，+)，且令，即，得0xe，所以f(x)的递增区间是(0，e)，递减区间是(e，+)【变式训练1-5】（2021全国高三月考（文）已知函数.（1）判断的单调性；（2）若方程有唯一实根，求证：.【答案】（1）在上是减函数，在上是增函
8、数；（2）证明见解析.【分析】（1）求得，分析的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）设，利用导数分析函数的单调性，根据已知条件得出，其中为函数的极小值点，可得出，消去可得出，构造函数，分析函数在区间上的单调性，结合零点存在定理证得，即可得出.【详解】（1）因为，所以，则，所以，函数在上是增函数，且，所以，当时，；当时，.所以在上是减函数，在上是增函数；（2）设，则，因为是增函数，又，所以存在唯一的，使得.当时，此时，函数单调递减；当时，此时，函数单调递增.所以，.方程有唯一实根，则，且，即，消去得，设，则，所以，函数在上是减函数，因为，所以，即.【点睛】方法点睛：利用导数解
9、决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.二、函数与导函数图象之间的关系判断函数与导数图象间对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大
10、于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致例2（多选题）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A-3是的一个极小值点；B-2和-1都是的极大值点；C的单调递增区间是；D的单调递减区间是【答案】ACD【分析】由导函数与单调性、极值的关系判断【详解】当时，时，是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是故选：ACD.【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反【变式训练2-1】（2021全国高二课时练习）导函数yf (x)的图象如图所示，则函数yf (x)的图象可能是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据导数图象得出
11、导数正负判断出函数的单调性即可.【详解】由图可知当x0时，f (x)0，当x0时，f (x)0，所以函数f (x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，对照图象，D选项符合.故选：D.【变式训练2-2】（多选题）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）.A在上是增函数；B当时，取得极小值；C在上是增函数、在上是减函数；D当时，取得极大值.【答案】BC【分析】这是一个图象题，考查了两个知识点：导数的正负与函数单调性的关系，若在某个区间上，导数为正，则函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上是减函数；极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取到极大值，
12、左减右增取到极小值【详解】解：由图象可以看出，在，上导数小于零，故不对；左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以是的极小值点,故对；在，上导数大于零，在上导数小于零，故对；左右两侧导数的符号都为正，所以不是极值点，不对故选：BC【点睛】本题是较基础的知识型题，全面考查了用导数与单调性，导数与极值的关系，是知识性较强的一个题三、导数在解决单调性问题中的应用（1）已知函数的单调性求参数的值或取值范围问题，是一类非常重要的题型，其基本解法是利用分离参数法，将或的参数分离，转化为求函数的最值问题（2）利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给
13、区间内的单调性，由此求解例3（2021全国高二月考（理）已知在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】由已知条件得出在上恒成立，利用参变量分离法得出，结合基本不等式可求得实数的取值范围.【详解】由可得，由条件只需，即在上恒成立，由基本不等式可得，当且仅当，即时，取等号，故的最小值为4，故只需.故选：B.【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；（3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点；（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；（5）函数在区间上存在单调递减区间，
14、使得成立.【变式训练3-1】(多选)已知函数,其中正确结论的是( )A当时,函数有最大值.B对于任意的,函数一定存在最小值.C对于任意的,函数是上的增函数.D对于任意的,都有函数.【答案】BC【分析】根据函数的单调性,导数和函数的最值的关系,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,当时,函数,根据指数单调性可知,此时是单调增函数,故无最大值,故A错误; 对于B,对于任意的, ,易知是在单调增函数,当时, 当时, 存在 当时, ,单调递减 当时, ,单调递增 故B正确;对于C,对于任意的, 函数 , ,可得:,故函数是上的增函数.故C正确;对于D,对于任意的, 函数 , ,可得:,故函数是上的增
15、函数.当时,可得:,故D错误.故选:BC.【点睛】本题考查了根据导数来判断函数的单调性和判断函数是否有最值,解题关键是掌握用导数求函数单调性的求法和最值的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.【变式训练3-2】（2020江苏星海实验中学高二期中）已知在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是_【答案】【分析】求出导函数，由在上恒成立可得的范围【详解】，由题意在时恒成立，即在时恒成立，由对勾函数性质知在单调递增，所以，所以，即故答案为：【点睛】本题考查用函数在某个区间上单调性，解题方法是把问题转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值解题基础求出导函数【变式训练3-3】（2021全国高三专题
16、练习）已知函数.若在上是单调递增函数，求的取值范围；【答案】【分析】根据函数的单调性转化为在R上恒成立，再构造函数，利用导数求出最值即可得解.【详解】（1）在上是单调递增函数,在上，即恒成立， 设， ， 当时， 在上为增函数，当时， 在上为减函数， ， ， ， 即.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：若在上恒成立，则；若在上恒成立，则；若在上有解，则；若在上有解，则.【变式训练3-4】（2021全国高三专题练习）已知函数讨论的单调性；【答案】当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【分析】求出导函数后，分类讨论，利用导数的符号可得函数的单调性.【
17、详解】的定义域为，.当时，恒成立，所以在单调递减.当时，且不恒成立，所以在单调递减.当时，令得，或.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【点睛】关键点点睛：分类讨论，利用导数的符号判断函数的单调性是解题关键.【变式训练3-5】（2021陕西榆林市高三二模（文）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）在和上递增，在上递减；（2）.【分析】（1）直接求函数的导数，进而判断函数的单调性；（2）由，可知，分别求函数最值即可.【详解】（1）由，得，当或，当时，所以，在和上递增，在上递减；（2）因为在上
18、递减，在上递增，所以，因为，所以恒成立，令，则，即：在上恒成立，令，则，所以在上递增，在上递减，所以，故的取随范围的.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理【变式训练3-6】（2021全国高二课时练习）设函数，讨论函数的单调性.【答案】答案见解析.【分析】求出函数导数，分和两种情况讨论导数的符号，即可求出函数单调区间.【详解】当时，在上单调递减；当时，令，则，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增；综上，当时，单调递减区间是，无单调递增区间；当时，单调递减区间是，单调递增是.【变式训练3-7】（2021全国高二课时练习）已知函数，讨论的单调性.【答案】当在 上单调递增；当在上单调递增，在上单调递减.【分析】先求导，然后分和讨论即可.【详解】的定义域为，.当，则x时，故在单调递增.当a0，则x时，；x时，故在单调递增，在单调递减.综上所述, 当在上单调递增；当在上单调递增，在上单调递减.