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1、导数与函数的单调性1 函数单调性与导数在某个区间(a , b)内，若f(x)0 ，则函数y=f(x)在这个区间内单调递增；若f(x)0 ，则函数y=f(x)在这个区间内单调递减2 若函数y=f(x)在某个区间(a , b)内单调递增，则xa , b , fx0(含等号)恒成立，但不存在一区间(c , d)(a , b)内使得fx=0；解释 假如存在一区间(c , d)(a , b)内使得fx=0，那原函数y=f(x)在区间(c , d)内恒等于一个常数，即fx=m(m是个常数)，则原函数不可能在(a , b)内单调递增.函数y=f(x)在某个区间(a , b)内单调递减有类似结论！【题型一】
2、不含参函数的单调性【典题1】函数f(x)的定义域为R，且图象如图所示，则不等式xf(x)0；当x(12 , 12)时，f(x)0不等式xf(x)0f(x)0或x0，当x0时，有x(12 , 12)，即x(0 , 12)；当x0，g(x)在(0 , 2)递增，故g(x)1，则不等式exf(x)ex1的解集为 .【解析】设g(x)=exf(x)1，则gx=exf(x)1+exfx=exfx+fx10故g(x)在R上单调递增，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，所以g(0)=1，而不等式exfxex1exfx11，即g(x)g(0)，又g(x)在R上单调递增，x0【点拨】本题属于构造
3、函数题型，如何构造呢？角度有二 从已知条件fx+fx1fx+fx10入手，思考某函数g(x) =fx+fx1，这需要熟悉求导法则的逆运用，下表举例供参考(其中c是常数)：(1) fx+(x)形式，构造函数gx=fx+(x)+c；(2) xf(x)+f(x)形式，构造函数 gx=xfx+c；(3) xf(x)+nf(x)形式，构造函数 gx=xnfx+c；(4) xf(x)f(x) 形式，构造函数gx=f(x)x+c(5) fx+f(x) 形式，构造函数gx=exfx+c；(6) fxf(x) 形式，构造函数gx=fxex+c；形式多样，不需要死记，要灵活运用，本题可利用第(5)个例子. 从求证
4、入手，要求不等式exf(x)ex1，变形得exfx1+10，想到构造函数gx=exfx1+1也不难. 【典题4】求函数f(x)=x212xlnx的单调区间.【解析】函数f(x)的定义域是(0 , +)， (注意定义域)由f(x)=x212xlnx，得f(x)=xlnx1，令g(x)=xlnx1，则g(x)=11x，令g(x)0，解得x1，令g(x)0，解得0x0的解集为 . 【答案】(2，1)(1，1)【解析】结合导数与单调性关系可知，2x1，1x2时，函数单调递减，此时f(x)0，当1x0，由不等式f(x)x+10可得，(x+1)f(x)0，解可得，1x1或2x0，a=x，b=xx22，c=
5、ln(1+x)，则()AcbaBbacCcabDbc0，f(x)=111+x0，函数f(x)在(0，+)上单调递增，f(x)f(0)=0，可得ac令g(x)=cb=ln(x+1)x+x22，x(0，+)g(x)=11+x1+x=x21+x0，函数g(x)在(0，+)上单调递增，g(x)g(0)=0cb综上可得：acb故选：D3() 已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=3，对xR恒有f(x)2，则f(x)2x+1的解集为()A1 , +)B( , 1C(1 , +)D( , 1) 【答案】B【解析】令F(x)=f(x)2x1，则F(x)=f(x)2，又对xR恒有f(x)2，F(x)=f(x
6、)2bcBbacCcbaDbca 【答案】B【解析】函数f(x)=x2xsinx=x(xsinx)，设g(x)=xsinx，x(0，+)，则g(x)=1cosx0在(0，+)恒成立，函数g(x)在(0，+)上单调递增，g(x)g(0)=0，即函数g(x)在(0，+)上单调递增，且g(x)0，又函数y=x在(0，+)上单调递增，且y0，函数f(x)=x2xsinx=x(xsinx)，在(0，+)上单调递增，且f(x)0，又f(x)=(x)2(x)sin(x)=x2xsinx=f(x)，函数f(x)是偶函数，a=f(log0.23)=f(log53)=f(log53)，b=f(log30.2)=f
7、(log35)=f(log35)，log55log53log55，12log53log33=1，0.23=0.008，log35log530230，又函数f(x)在(0，+)上单调递增，f(log35)f(log53)f(023)，即bac，故选：B5() 若函数f(x)=sin2x4xmsinx在0 , 2上单调递减，则实数m的取值范围为()A(2，2)B2，2C(1，1)D1，1 【答案】B【解析】依题意，f(x)=2sinxcosx4xmsinx，所以f(x)=2(2cos2x1)4mcosx=4cos2xmcosx60对x0，2恒成立设t=cosx1，1，g(t)=4t2mt6，则g(
8、t)0在1，1上恒成立，由二次函数的性质得g(1)0，g(1)0，解得2m2，故选：B6() 定义在(0 , +)上的函数f(x)满足f(x)0，f(x)为f(x)的导函数，且2f(x)xf(x)0，g(x)在(0，+)上单调递增，g(3)g(2)，即f(2)220，f(2)f(3)49，令(x)=f(x)x3，则x=f(x)x33x2f(x)(x3)20，函数(x)在(0，+)上单调递减，(3)f(3)33，又f(x)0，f(2)f(3)827综上827f(2)f(3)49故选：A7() 求函数fx=ex1xlnx的单调性.【答案】函数f(x)的单调递增区间为(0，+)，无单调递减区间【解析
9、】 f(x)的定义域为(0，+)，f(x)=ex1lnx1，f(x)=ex11x，因为f(x)在(0，+)上单调递增，且f(1)=0，所以当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增，从而当x(0，+)时，f(x)f(1)=0，f(x)单调递增，故函数f(x)的单调递增区间为(0，+)，无单调递减区间； 【题型二】 含参函数的单调性【典题1】 讨论fx=lnx+ax+a1x1的单调性.【解析】y=f(x)的定义域为0 , +，(注意函数的定义域)fx=1x+aa1x2=ax2x+1ax2=x1ax+a1x2，(通分，因式分解是常规操作)令gx=x1ax+a1 , x0 , +；(g(x)与f
10、x的符号相同) (第一步：讨论函数类型)(1)当a=0时，gx=x+1 当x(0 , 1)时，gx0，即fx0，函数fx单调递增；当x(1 , +)时，gx0，即fx0，函数fx单调递减；(2)当a0时，令gx=0，解得x1=1 , x2=1a1；(第二步：讨论二次函数开口方向)当a0时，抛物线gx=x1ax+a1开口向下，由于1a10，即fx0，函数fx单调递增；x1 , +时，gx0，即fx0时，抛物线gx=x1ax+a1开口向上，(第三步：比较导函数零点大小)(i)当a=12时，x1=x2，gx0恒成立，(不要忘了两根相等的情况) 此时fx0，函数fx在0 , +上单调递增； (ii)当
11、0a12时，011a1，0x10，即fx0，函数fx单调递增； x(1 , 1a1)时，gx0，即fx0 , 即fx0，函数fx单调递增； ()当12a1时，01a11 , 0x20 , 即fx0，函数f(x)单调递增； x(1a1 , 1)时，gx0，即fx0，即fx0，函数fx单调递增； () 当a1时，1a10，x20x1 (留意导函数零点和定义域端点0的大小) x(0 , 1)时，gx0 , 即fx0，即fx0，函数fx单调递增；综上所述：当a0时，函数fx在(0 , 1)上单调递增 , 在(1 , +)上单调递减；当a=12时，函数fx在(0 , +)上单调递增；当0a12时，函数f
12、x在0 , 1 , (1a1 , +)上单调递增 , 在(1 , 1a1)上单调递减； 当12a1时，函数fx在0 , 1a1 , 1 , +单调递增，在(1a1 , 1)单调递减；当a1时，函数fx在(0 , 1)单调递减 , 在1 , +单调递增. 【点拨】原函数的单调性等价于导函数的正负性，我们注重导函数是否存在零点，零点的个数，零点的大小等；求导后，通分、因式分解是个好习惯，fx=1x+aa1x2=ax2x+1ax2=x1ax+a1x2；能因式分解说明导函数存在零点，本题就不需要考虑讨论判别式. 本题分类讨论思路讨论函数类型 &a=0 a0讨论开口方向 a0讨论导函数零点大小 a=12
13、 & , (x1=x2)0a12& , 0x1 x212a1 , 0x2 x1a1 & , (x200，由ex2=0，解得x=ln2， 当xln2时，fxln2，fx0， 故f(x)在( , ln2)递减，在(ln2 , +)递增；(2)若a0，由fx=0，解得x1=ln2或x2=lna， 当0a2时，x2 x1， 当lnaxln2时，fxln2或x0， 故f(x)在(lna , ln2)递减，在( , lna)，(ln2 , +)递增， 当a=2时，x2= x1，fx0在R上恒成立，故f(x)在R上单调递增， 当a2时，x1 x2， 当ln2xlna时，fxlna或x0， 故f(x)在(ln
14、2 , lna)递减，在( , ln2) , (lna , +)上单调递增；综上：当a0，f(x)在( , ln2)递减，在(ln2 , +)递增，当0a2时，f(x)在(ln2 , lna)递减，在( , ln2) , (lna , +)上单调递增【点拨】 令gx=(ex2)(exa)，ex0， y=fx与y=gx的正负性一致，若令gx=0，解得x=ln2或x=lna是错的，因为当a0时lna才有意义，故要按照a0和a0分类讨论； 若a0时，零点有两个x1=ln2或x2=lna，讨论gx=(ex2)(exa)的正负性，由于y=ex2与y=xln2的正负性一样，所以gx=(ex2)(exa)与
15、y=(xln2)(xlna)的正负性一样. 分类讨论思维导图如下讨论导函数零点个数 a0 a0 讨论导函数零点大小 0a2 & , x22 & , x10，解得：x0，令gx0，解得：x1时，gxmin=1a0，易知当x时，g(x)+，当x+时，g(x)+， 由零点存在性定理知：存在x1 , x2，使得g(x1)=g(x2)=0，不妨设x10，即fx0，当x(x1 , x2)时，g(x)0，即fx0，即fx0，故函数f(x)在( , x1)递增，在(x1 , x2)递减，在(x2 , +)递增.综上，当a1时， f(x)在R是单调递增；当a1时，fx先递增再递减再递增.巩固练习1 () 求函数
16、f(x)=alnxax3的单调区间. 【解析】易知，函数的定义域为(0，+)，因为f(x)=axa=a(1x)x若a=0，则fx=0，此时原函数不具有单调性；若a0，当x(0，1)时，fx0，此时函数f(x)为增函数，当x1，+)时，fx0，此时函数f(x)为减函数；若a0，当x(0，1)时，fx0，此时函数f(x)为增函数；2 () 求函数f(x)=ax2+(2a)lnx+2的单调性. 【解析】 依题意，函数f(x)的定义域为(0，+)，f(x)=2ax+2ax=2ax2+2ax，a0，x=a22a，(负值舍去)，当x(0，a22a)时，f(x)0，当x(a22a，+)时，f(x)0恒成立，
17、函数在(0，+)上单调递增，a2时，当x(0，a22a)时，f(x)0，故函数f(x)在(0，a22a)上单调递减，在(a22a，+)单调递增综上，a2时，函数f(x)在(0，a22a)上单调递减，在(a22a，+)单调递增3 () 求函数f(x)=12ax12+x2ex(a0)的单调性.【解析】(1)f(x)=a(x1)+(x1)ex=(x1)(exa)，a0，由f(x)=0可得x=1或x=lna，(i)当0alna，在(1，+)，(，lna)上，fx0，f(x)单调递增，在(lna，1)上，fx0在R上恒成立，即f(x)在R上单调递增；(iii)当ae时，lna1，在(lna，+)，(，1
18、)上，fx0，f(x)单调递增，在(1，lna)上，fx0，f(x)单调递减； 【题型三】函数单调性的应用【典题1】已知a5且ae5=5ea，b4且be4=4eb，c3且ce3=3ec，则()AcbaBbcaCacbDabc【解析】根据题意，设f(x)=exx， (同构)a5且ae5=5ea，变形可得eaa=e55，即f(a)=f(5)，b4且be4=4eb，变形可得ebb=e44，即f(b)=f(4)，c3且ce3=3ec，变形可得ecc=e33，即f(c)=f(3)，f(x)=exx，其导数f(x)=ex(x1)x2，在区间(0 , 1)上，f(x)0，则f(x)为增函数，其草图如图，则有
19、0abcyex移项易得函数fx=x+ex；(2) lnx1x2nm两边取对数得nlnmmlnn易得函数fx=lnxx.(4)x1x2ex1x2两边取对数得 lnx1x212(x1x2)可得函数fx=lnx12x，或者两边平方得x12x22beb通过变形lnaelnabeb可得函数fx=xex , 则有flnaf(b). f(x)=exx是常见的超越函数，其图象如下图.【典题2】已知02，则下列不等式中恒成立的是()AD0，解得0xe，令f(x)e，函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+)上单调递减，函数f(x)在(0 , 2)上单调递增，f()f()，即lnln，lnln，即lnln，
20、故选：D【点拨】 遇到“指数型函数”可两边取对数找到需要构造的函数. 对于选项左右式子“结构相似”可构造函数gx=xx , 但这函数复杂故放弃，两边取对数可得lnln , 则可构造函数fx=xlnx , 它在(0 , 1e)上递减，(1e , +)上递增 , 故判断不了、大小.f(x)=lnxx是常见的超越函数，其图象如下图.巩固练习1() 若a=ln44 , b=ln5.35.3，c=ln66，则a、b、c的大小是()AabcBcbaCcabDba0，可得0xe，令f(x)e，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+)上单调递减，因为e45.3f(5.3)f(6)，即ln44ln5.3
21、5.3ln66，即abc故选：B2() 若 , 2 , 2，且sinsincoscos，则下列结论中必定成立的是()ABC| 【答案】D【解析】不等式sinsincoscos，可整理为sincossincos，令f(x)=xsinxcosx，x2，2，上述不等式等价于f()f()，f(x)=(x)sin(x)cos(x)=xsinxcosx=f(x)，f(x)为偶函数又f(x)=2sinx+xcosx，当00，xcosx0，f(x)0，f(x)在(0，2上单调递增，在2，0)上单调递减结合f(x)的单调性和奇偶性可作出函数f(x)的大致草图如下：f()f()，|故选：D3() 若lnxlny1
22、，y1)，则()Aeyx1Beyx1Deyx11 【答案】A【解析】依题意，lnx1lnx0，函数f(t)在R上单调递增，lnx1lnxlny1lny，即f(lnx)f(lny)，lnxlny，1x0，eyxe0=1故选：A4() 已知 , (0 , )，若ee=cos2cos，则下列结论一定成立的是()AsinsinBcossinDcoscos【答案】A【解析】构造函数f(x)=excosx，x(0，)，则f(x)=ex+sinx0，函数f(x)在(0，)上单调递增，又ee=cos2cos，即ecos=ecoscos，亦即f()=f()cos，当，(0，2)时，cos0，则f()f()， ；当，(2，)时，cos0，则f()；又函数y=sinx在(0，2)单调递增，在(2，)单调递减，故由可知，选项A一定成立故选：A