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1、专题03 导数与函数的单调性【重难点知识点网络】：1函数的单调性与其导数的关系在某个区间内，如果_，那么函数在这个区间内单调递增；如果_，那么函数在这个区间内单调递减注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于02函数图象与之间的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较_，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些【重难点题型突破】：一、利用导数判断函数的单调性（1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单
2、调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立一般步骤如下：求导数；判断的符号；给出单调性结论（2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点（3）当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“”连接例1（2021湖北高二开学考试）函数的单调递减区间为（ ）ABCD【变式训练1-1】（2021全国高二单元测试）在内的单调性是（ ）A增加的B减少的C在内是减少的，在内是增加的D在内是增加的，在内是减
3、少的【变式训练1-2】（多选题）函数，则下列说法正确的是（ ）ABC若有两个不相等的实根，则D若均为正数，则例2（2021全国高二课时练习）已知函数.讨论函数的单调性.【变式训练1-2】（2021江苏泰州市泰州中学高二月考）设函数，其中若，讨论的单调性；【变式训练1-3】（2021浙江高三其他模拟）已知函数（）（1）讨论函数的单调性；（2）当时，令，若函数的图象与直线相交于不同的两点，设，（）分别为点，的横坐标，求证：【变式训练1-4】（2021全国高二单元测试）求下列各函数的单调区间：（1）f(x)=2x3-3x2；（2）【变式训练1-5】（2021全国高三月考（文）已知函数.（1）判断的单
4、调性；（2）若方程有唯一实根，求证：.二、函数与导函数图象之间的关系判断函数与导数图象间对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致例2（多选题）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A-3是的一个极小值点；B-2和-1都是的极大值点；C的单调递增区间是；D的单调递减区间是【变式训练2-1】（2021全国高二课时练习）导函数yf (x)的图象如图所示，则函数yf (x)的
5、图象可能是（ ）ABCD【变式训练2-2】（多选题）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）.A在上是增函数；B当时，取得极小值；C在上是增函数、在上是减函数；D当时，取得极大值.三、导数在解决单调性问题中的应用（1）已知函数的单调性求参数的值或取值范围问题，是一类非常重要的题型，其基本解法是利用分离参数法，将或的参数分离，转化为求函数的最值问题（2）利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解例3（2021全国高二月考（理）已知在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）ABCD【变式训练3
6、-1】(多选)已知函数,其中正确结论的是( )A当时,函数有最大值.B对于任意的,函数一定存在最小值.C对于任意的,函数是上的增函数.【变式训练3-2】（2020江苏星海实验中学高二期中）已知在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是_【变式训练3-3】（2021全国高三专题练习）已知函数.若在上是单调递增函数，求的取值范围；【变式训练3-4】（2021全国高三专题练习）已知函数讨论的单调性；【变式训练3-5】（2021陕西榆林市高三二模（文）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围.【变式训练3-6】（2021全国高二课时练习）设函数，讨论函数的单调性.【变式训练3-7】（2021全国高二课时练习）已知函数，讨论的单调性.