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1、专题02 导数的计算与复合函数导数的计算【重难点知识点网络】：1几个常用函数的导数几个常用函数的导数如下表：函数导数（为常数）2基本初等函数的导数公式（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则；（6）若，则；（7）若，则；（8）若，则3导数运算法则（1）；（2）；（3）4复合函数的导数（1）复合函数的定义一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数(composite function)，记作（2）复合函数的求导法则复合函数的导数和函数，的导数间的关系为_，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积（3）如果函数在点x处可导，函
2、数f (u)在点u=处可导，则复合函数y= f (u)=f 在点x处也可导，并且 (f )= 或记作 =熟记链式法则若y= f (u)，u= y= f ，则=若y= f (u)，u=，v= y= f ， =【重难点题型突破】：一、简单的函数求导问题例1（1）（2021全国高二课时练习）下列各式中正确的是（ ）A(logax)= B(logax)= C(3x)=3x D(3x)=3xln3【答案】D【分析】根据求导公式直接可判断.【详解】由(logax)=，可知A，B均错；由(3x)=3xln3可知D正确.故选：D（2）.（2021全国高二课时练习）设函数f(x)=cosx，则=（ ）A0B1C
3、-1D以上均不正确【答案】A【分析】根据常数的导数为0可直接得解.【详解】因为为常数，所以故选：A（3）.（2020全国高二课时练习）已知函数，则_.【答案】【分析】利用复合函数的求导法则可求得.【详解】，因此，.故答案为：.【变式训练1-1】、（2021全国高二课时练习）求下列函数的导数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【分析】（1）利用幂函数的导数公式可求得原函数的导数；（2）利用幂函数的导数公式可求得原函数的导数；（3）利用对数函数的导数公式可求得原函数的导数；（4）利用指数函数的导数公式可求得原函数的导数；（5）化简函数解析式，利用正
4、弦函数的导数公式可求得原函数的导数.【详解】（1），；（2），；（3），；（4），；（5），【变式训练1-2】、（2021全国高三专题练习）已知函数（1）求；（2）求曲线过点的切线的方程【答案】（1）；（2）或【分析】（1）利用函数的求导法则可求得；（2）设所求切点的坐标为，利用导数求出所求切线的方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，可得出切点的坐标，进而可求得所求切线的方程.【详解】（1），则；（2）设切点为，所以，切线的斜率为，所求切线方程为将，代入切线方程，得整理得，解得或.当时， 切线方程为，化简得；当时，切线方程为，化简得综上所述，曲线过点的切线的方程为或【点睛】本题考查导数的计算
5、，同时也考查了曲线过点的切线方程的求解，考查导数几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.二、简单的导数运算法则例2（1）（2021全国高二月考（理）已知，则（ ）A-1B0C1D【答案】C【分析】根据导数的运算公式，求得，代入即可求得的值.【详解】由题意，函数，可得，所以.故选：C（2）（2021全国高二单元测试）函数y的导数是（ ）ABCD【答案】A【分析】直接根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得；【详解】解：因为，所以故选：A（3）（2021南昌市新建一中高二期末（理）下列求导运算中错误的是（ ）ABCD【答案】C【分析】依据求导公式及法则一一判断即可.【详解】A选项：，A
6、正确；B选项：，B正确；C选项：，C错误；D选项：，D正确故选：C（4）（2021全国高二单元测试）求下列函数的导数：（1）y(2x23)(3x2)；（2）y.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）已知结合导数的乘法法则计算即可求解；（2）已知结合导数的除法法则计算即可求解.【详解】（1）y(2x23)(3x2)(2x23)(3x2)4x(3x2)3(2x23)18x28x9.(2)y.【变式训练2-1】、（2021陕西西安市高二期末（文）求下列函数的导数：（）；（）.【答案】（）；（）【分析】直接利用导数公式和导数运算法则求解.【详解】（）因为，所以；（）因为，所以三、简单的复合函数求导运算
7、例3（1）（2021全国高二课时练习）已知f (x)ln(3x1)，则f （1）_.【答案】【分析】直接利用复合函数的求导公式求导即可.【详解】，则，所以.故答案为：.（2）（2021全国高二课时练习）函数的导数为_【答案】【分析】根据复合函数的求导法则可得答案.【详解】函数是函数与的复合函数，则.故答案为：.（3）（2021全国高二月考（理）已知，则_.【答案】【分析】先对函数求导得到，再代入即得结果.【详解】由，可得，故.故答案为：.【变式训练3-1】、（2021安徽马鞍山市马鞍山二中高二开学考试（理）函数的导函数为（ ）ABCD【答案】B【分析】利用复合函数求导法则即可求导.【详解】，故
8、选：B.【变式训练3-2】、（2021江西南昌市高二期末（理）函数的导数是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据复合函数的求导法则可求得结果.【详解】.故选：C【变式训练3-3】、（2020陕西省子洲中学高二月考（理）函数的导数是（ ）ABCD【答案】D【分析】利用导数的加法运算与复合函数的求导法则即可求解.【详解】，故选：D.【点睛】思路点睛：求一个函数的导函数，应该先判断出函数的形式，然后选择合适的导数运算法则及基本初等函数的导数公式进行求值，考查学生的运算求解能力，属于基础题.【变式训练3-4】、（2021全国高二单元测试）的导数是（ ）ABCD【答案】A【分析】利用复合函数的导数公式可求
9、得结果.【详解】令，则，.故选：A.四、简单的复合函数求导与运算法则例4（2021全国高二单元测试）函数yx2cos 2x的导数为（ ）Ay2xcos 2xx2sin 2xBy2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x2sin 2x【答案】B【分析】利用复合函数的导数运算法则计算即可【详解】y(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x故选：B【变式训练4-1】、（2021江苏泰州市姜堰中学高二月考）下列求导结果正确的是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用导数的求导法则
10、以及复合函数的求导法则可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，A选项错误；对于B选项，B选项错误；对于C选项，C选项正确；对于D选项，D选项错误.故选：C.【变式训练4-2】、（2020扬州市第一中学高三月考）下列求导运算正确的是（ ）ABCD【答案】B【分析】利用导数的运算法则计算结果.【详解】A.，故A不正确；，故B正确；C.，故C不正确；D.，故D不正确.故选：B【变式训练4-3】、（2021全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）y103x2；（2）yln(exx2)；（3）yx.【答案】（1）yx3103x2ln10；（2）yx；（3）y.【分析】由复合函数的求导法则，即可求出结果.【详解】（1）令u3x2，则y10u.所以yxyuux10uln 10(3x2)3103x2ln 10.（2）令uexx2，则yln u.yxyuux(exx2).（3）y(x)