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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名校名师举荐（ 37）数学归纳法11n1.已知数列 a n 满意 an1 2 a n N ， a1 2. 试通过求a2，a3， a4 的值猜想an 的表达式，并用数学归纳法加以证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2112113114可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1解： a22 a n12 23， a3 2 a ， a4242 a323 .352 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结猜想： an nn N 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用数
2、学归纳法证明如下：111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 n 1 时，左边 a12，右边k1 1，所以等式成立。211k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 假设 n k 时等式成立， 即 ak k，就当 n k 1 时，ak 1 2 a k k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 11k2 k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ k 1） 1，所以当n k 1 时等式也成立由得，当n N 时等式都成立2.是否存在常数a，b， c ，使等式1n 2 12 2n 2 22 nn 2 n2 an4 bn2c 对一切正整数n 成
3、立？证明你的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：分别用n1， 2， 3 代入解方程组 1a b c 0， 16a4b c 3，81a 9b c 18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a ，4.b1 ，4c 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面用数学归纳法证明 当 n 1 时，由上可知等式成立。 假设当 n k 时，等式成立，就当nk 1 时，左边 1k 1222 1 2k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 22 kk 1 2 k2 k 1k 1 2 k 1 2 1k 2 12 2k 2 22 可编辑资料 - - - 欢迎
4、下载精品名师归纳总结2kk k 12k 1 22k 1 k2k 1 1 41242k k 4 2k 1 22k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k2k 1 1k 1414 4k 1，当 n k 1 时，等式成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由得等式对一切的nN均成立 3设实数c0，整数 p1， nN .1 证明：当x 1 且 x 0 时， 1 xp1 px。1p 1c 1 p1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 数列 an 满意 a1c， an 1ppanpan.证明： anan 1cp.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明
5、： 1用数学归纳法证明：当 p 2 时， 1 x2 1 2xx21 2x，原不等式成立假设 pk k 2， k N 时，不等式 1 xk1 kx 成立当 p k 1 时， 1 xk 1 1 x1 xk1 x1 kx 1 k1 x kx21 k 1x.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名校名师举荐所以 p k1 时，原不等式也成立综合可得，当
6、x1， x0 时，对一切整数p1，不等式 1 xp1 px 均成立12 法一： 先用数学归纳法证明ancp.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n 1 时，由题设知a11c 成立p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 nk k 1， k N 时，不等式ak1成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p 1由 ac 1pcp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1pan pan易知 an0， n N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
7、总结当 n k 1 时， ak 1 p 1c p1a 1c 1 .p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结akp p kpk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 ak c11 1ap0 得 1 ppc 1apk1 ppp 1 p. kak可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此 ak 1c，即 ak 1cp.所以 n k1 时，不等式anc1也成立 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综合可得，对一切正整数n，不等式an1均成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再由 an1 1 1c
8、 1 可得 an 1cp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anaanpp.11，即 an 1an 1c， nN p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x法二： 设 fx p 1pc 1 p， x c1， pp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xpp 1c pp 1c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 x c，并且 f x 1 px 1p0 ，xc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pppxp由此可得， fx在c1， 上单调递增 p因而，当111可编辑资料 - - - 欢迎下
9、载精品名师归纳总结xc时， fx fc c ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ppp当 n 1 时，由 a1p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1cp0，即 a1c 可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p 1c 1 p1c11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a1a1 a1 1p 1 c，从而 a1a2c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ppp a1pp1故当 n 1 时，不等式anan 1c 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p假设 nk k 1， k N 时，不等式a a c1n k 1 时
10、， fa fa 1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk 1成立，就当pkk 1fc p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名校名师举荐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即有 ak1ak12c .p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -
11、 - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 n k1 时，原不等式也成立综合可得，对一切正整数n，不等式anan 1c1均成立p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结42021 盐城模拟 设集合 M 1,2,3 ，n n3 ，记 M 的含有三个元素的子集的个数为Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，全部这些中间的数的和记为 Tn.T3T4T5T61 求，的值。S3S4S5S6Tn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S2 猜想的表达式，并证明n解析： 1当 n 3 时， M 1,2,3 ， S 1， T2， T3 2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
12、归纳总结33S3当 n 4 时， M 1,2,3,4 ， S 4， T 2 2 3 3 10， T45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44同理可得 T5 3， T6 7.S42，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S5S62Tnn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S2 猜想n2， n 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n 3 时，由 1知猜想成立。假设当n kk 3时，猜想成立，即Tk k1，而 S C3 ，所以 T k 13，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sk2kkk32Ck可编辑资料 - - - 欢迎下载
13、精品名师归纳总结当 n k 1 时，易知Sk 1 Ck 1，而当集合M 从1,2,3 ， k 变为 1,2,3 ， k， k 1 时， Tk 1 在 Tk 的基础上增加了1 个2,2 个 3,3 个 4， k1个 k，所以 Tk 1 Tk 2 1 3 2 4 3k k 1k 1C3 2C 2 C2C2C22k234kk 1C3 2C 3 C2C2C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2kk 23334k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2Ck 1 2Ck 1k 2C32k 1k1 12Sk 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Tk 1即Sk 1k
14、1 12，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名校名师举荐所以当 nk 1 时，猜想也成立 综上所述，猜想成立an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n5 2021 大连双基测试数列 an 满意 an 1 2a1， a1 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 证明
15、：数列 an 是等差数列。2 求数列 1 的前 n 项和 Sn，并证明 1 1 1 n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an解析： 1证明： aan，S1S2Sn n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12an 1n 12an111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1，化简得an 2，an 1an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即1 1 2，故数列 1 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列an 1anan2 由1知 1 2n1， S n 12n 1 n2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ann2111111
16、1111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法一： 2 2 2 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S1S2Sn12n1 22 3n n 1223n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 11n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n 1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二： 当 n 1 时， 1 1，n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2S1n ，不等式成立1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设当 nk 时，不等式成立，即1 1 1 k.S1S2Sk k 1就当 n k1 时，
17、 1 1 1 1 k12，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S1S2SkSk1k 1k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又k1k 1111 111k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1 11k 1 21k 21k 1k 1k1 2k 2k 2k 1 2k 2k1 20，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S S S ，12kSk 1 k 2原不等式成立6.已知集合X 1,2,3 ， Yn 1,2,3 ， n nN ，设 Sn a， b|a 整除 b 或 b 整除 a， aX， bYn 令 f n表示集合Sn 所含元素的个数1 写出
18、f6的值。2 当 n6 时，写出fn的表达式，并用数学归纳法证明 解析： 1Y6 1,2,3,4,5,6 ， S6 中的元素 a， b满意： 如 a 1，就 b 1,2,3,4,5,6。如 a 2，就 b 1,2,4,6。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名校名师举荐如 a 3，就 b 1,3,6.所以 f6 13.可编辑资料 - - -
19、欢迎下载精品名师归纳总结2 当 n6 时，nnn 2， n 6t，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n 1n 2， n6t 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2nn 2n 23， n 6t 2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23fnt N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nn 2， n 6t 3，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 2 n n 1， n 6t 4，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
20、名师归纳总结23n 1n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 223， n 6t5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面用数学归纳法证明：当 n 6 时， f6 6 26613，结论成立。23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设n kk 6时结论成立，那么n k1 时， Sk 1 在 Sk 的基础上新增加的元素在1， k1 ， 2， k 1， 3， k1中产生，分以下情形争论： a如 k 16t ，就 k 6t 1 5，此时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fk 1 fk 3 k 2
21、k 12k 23 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k1 2 k 12k 1，结论成立。 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b如 k 16t 1，就 k6t ，此时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fk 1 fk 1 k 2kk 123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k1 2 k 1 1 k1 1，结论成立。23c如 k 16t 2，就 k 6t 1，此时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fk 1 fk 2 k 2k 12k 13 2可编辑资料 - - - 欢迎下
22、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k1 2 k 12k 1 2，结论成立。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d如 k 16t 3，就 k6t 2，此时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fk 1 fk 2 k 2kk 2 223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - -
23、 - - - - - - - -名校名师举荐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k1 2k 1 12k 1，结论成立。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e如 k 16t 4，就 k 6t 3，此时有k 1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fk 1 fk 2 k 2 223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k1 2k 12k 1 13，结论成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 如 k 1 6t 5，就 k 6t 4，此时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fk 1 fk 1 k 2kk 13 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k1 2 k 1 1 k1 2，结论成立23综上所述，结论对满意n 6 的自然数n 均成立6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载