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1、精选优质文档-倾情为你奉上第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数一、知识梳理1任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|角度与弧度
2、的换算1rad，1 rad5718弧长公式l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号正正正正负负负负正负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦常用结论1象限角2轴线角3三角函数定义的推广设点P(x，y)是角终边上任意一点且不与原点重合，r|OP|，则sin ，cos ，tan .二、教材衍化1角225_弧度，这个角在第_象限答案：二2设角的终边经过点P(4，3)，那么2cos sin _答案：3一条弦的长等于半径，这条弦所
3、对的圆心角大小为_弧度答案：一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)终边相同的角的同一三角函数值相等()(5)若，则tan sin .()(6)若为第一象限角，则sin cos 1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易错纠偏常见误区(1)终边相同的角理解出错；(2)三角函数符号记忆不准；(3)求三角函数值不考虑终边所在象限1下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) D
4、k(kZ)解析：选C由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为2k或k36045(kZ).2若sin 0，且tan 0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选C由sin 0知的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan 0知的终边在第一或第三象限，故是第三象限角故选C3已知角的终边在直线yx上，且cos 0，则tan _解析：如图，由题意知，角的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则yx，由三角函数的定义得tan 1.答案：1考点一任意角与弧度制(基础型)复习指导了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化核心素养：数学抽象角度一
5、象限角及终边相同的角1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角； 315是第一象限角其中正确命题的个数为()A1 B2 C3 D4解析：选C是第三象限角，故错误；，所以是第三象限角，故正确；40036040，所以400是第四象限角，故正确；31536045，所以315是第一象限角，故正确，故选C2若角是第二象限角，则是()A第一象限角 B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角解析：选C因为是第二象限角，所以2k2k，kZ，所以kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角所以是第一或第三象限角3集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：
6、选C当k2n(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样，故选C4在7200范围内所有与45终边相同的角为_解析：所有与45终边相同的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600(kZ)，得765k36045(kZ)，解得k(kZ)，从而k2和k1，代入得675和315.答案：675和3155终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为_解析：如图，在坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是，在0，2)内，终边在直线yx上的角有两个：，；在2，0)内满足条件的角有两个：，故满足条件的角构成的集合为.答案
7、：(1)表示区间角的三个步骤先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间；起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合(2)象限角的两种判断方法图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；转化法：先将已知角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角的终边所在的象限判断已知角是第几象限角提醒注意“顺转减，逆转加”的应用，如角的终边逆时针旋转180可得角180的终边，类推可知k180(kZ)表示终边落在角的终边所在直线上的角角度二扇形的弧长及面
8、积公式 已知扇形的圆心角是 ，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】(1)60，l10(cm)(2)由已知得，l2R20，则l202R，0R0，cos tan 0，得的终边落在第一或第三象限，由cos tan cos sin 0，得的终边落在第三或第四象限，综上的终边落在第三象限故选C【答案】C三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置注意终边在坐标轴上的特殊情况
9、1(2020江西九江一模)若sin x0，则角x是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选D因为1cos x1，且sin(cos x)0，所以0cos x1，又sin x0，所以角x为第四象限角，故选D2点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A BC D解析：选A由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足xcos，ysin.所以Q点的坐标为.3若角的终边落在直线yx上，则_解析：因为角的终边落在直线yx上，所以角的终边位于第二或第四象限当角的终边位于第二象限时，0；当角的终边位于第四象限时，0.所以0.答案：0基础题组练1(多选)下列
10、与角的终边相同的角是()A B2k(kZ)C2k(kZ) D(2k1)(kZ)解析：选AC与角的终边相同的角为2k(kZ)，k2时，4.2已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析：选B由题意知tan 0，cos 0，根据三角函数值的符号规律可知，角的终边在第二象限故选B3若角的终边在直线yx上，则角的取值集合为()A|k36045，kZB|k2，kZC|k180，kZD|k，kZ解析：选D由图知，角的取值集合为|2n，nZ|2n，nZ|(2n1)，nZ|2n，nZ|k，kZ4已知角的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角终
11、边上的一点P到原点的距离为，若，则点P的坐标为()A(1，) B(，1)C(，) D(1，1)解析：选D设点P的坐标为(x，y)，则由三角函数的定义得即故点P的坐标为(1，1)5已知点P(sin xcos x，3)在第三象限，则x的可能区间是()A BC D解析：选D由点P(sin xcos x，3)在第三象限，可得sin xcos x0，即sin xcos x，所以2kx2k，kZ.当k0时，x所在的一个区间是.6已知是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos x，则x_解析：因为cos x，所以x0或x或x，又是第二象限角，所以x.答案：7若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心
12、角的弧度数是_解析：设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为r，所以圆心角的弧度数是.答案：8已知点P(sin ，cos )是角终边上的一点，其中，则与角终边相同的最小正角为_解析：因为，故P，故为第四象限角且cos ，所以2k，kZ，所以与角终边相同的最小正角为.答案：9已知，且lg(cos )有意义(1)试判断角所在的象限；(2)若角的终边上一点M，且|OM|1(O为坐标原点)，求m的值及sin 的值解：(1)由，得sin 0，所以是第四象限角(2)因为|OM|1，所以m21，解得m.又为第四象限角，故m0，从而m，sin .10.如图，在平面直角坐标系xOy中，角的
13、始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动(1)若点B的横坐标为，求tan 的值；(2)若AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合解：(1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tan .(2)若AOB为等边三角形，则AOB，故与角终边相同的角的集合为.综合题组练1(2020河北唐山第二次模拟)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin ，3)(sin 0)，则cos ()A B C D解析：选A由三角函数定义得tan ，即，得3cos 2sin22(1cos2)，解得cos 或cos 2(舍去)故选
14、A2(2018高考北京卷)在平面直角坐标系中，是圆x2y21上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边若tan cos sin ，则P所在的圆弧是()A B C D解析：选C设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得xy，所以x0，所以P所在的圆弧是，故选C3(创新型)已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是_解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则APtm，根据切线的性质知OAAP，所以S
15、1tmrS扇形AOB，S2tmrS扇形AOB，所以S1S2恒成立答案：S1S24(创新型)(2020四川乐山、峨眉山二模)九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦矢矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为_解析：由题意可得AOB，OA4.在RtAOD中，易得AOD，DAO，ODOA42，可得矢422.由ADAOsin 42，可得弦AB2AD4.所以弧田面积(弦矢矢2)(4222)42.答案：425若角的终边过点
16、P(4a，3a)(a0)(1)求sin cos 的值；(2)试判断cos(sin )sin(cos )的符号解：(1)因为角的终边过点P(4a，3a)(a0)，所以x4a，y3a，r5|a|，当a0时，r5a，sin cos .当a0时，r5a，sin cos .(2)当a0时，sin ，cos ，则cos(sin )sin(cos )cos sin0；当a0时，sin ，cos ，则cos(sin )sin(cos )cossin 0.综上，当a0时，cos(sin )sin(cos )的符号为负；当a0时，cos(sin )sin (cos )的符号为正6(创新型)在一块顶角为120、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？解：因为AOB是顶角为120、腰长为2的等腰三角形，所以AB30，AMBN1，AD2，所以方案一中扇形的弧长2；方案二中扇形的弧长1；方案一中扇形的面积22，方案二中扇形的面积11.由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短因此方案一最优专心-专注-专业