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1、第1节任意角和弧度制及三角函数的概念考试要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义知识诊断基础夯实【知识梳理】1角的概念的推广(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数(
2、1)定义前提如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做的正弦函数，记作sin ，即sin y余弦x叫做的余弦函数，记作cos ，即cos x正切叫做的正切函数，记作tan ，即tan (x0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数(2)定义的推广设P(x，y)是角终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r0)，那么sin ；cos ，tan (x0)常用结论1三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制
3、必须一致，不可混用3象限角4轴线角【诊断自测】1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)小于90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角()(3)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()(4)若为第一象限角，则sin cos 1.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)锐角的取值范围是.(2)第一象限角不一定是锐角2(必修一P176T7(2)已知是第一象限角，那么是()A第一象限角 B.第二象限角C.第一或二象限角 D.第一或三象限角答案D解析易知2k2k，kZ，故kk，所以是第一或三象限角.3.(必修一P180T3改编)已知角的终边经过点P(12，5)，则sin cos
4、_.答案解析由三角函数的定义可得sin cos .4.已知扇形的圆心角为30，其弧长为2，则此扇形的面积为_.答案12解析30，lr，r12，扇形面积Slr21212.考点突破题型剖析考点一象限角及终边相同的角例1 (1)(多选)下列命题正确的是()A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为|2k，kZB.终边落在y轴上的角的集合为|90k，kZC.第三象限角的集合为D.在7200范围内所有与45角终边相同的角为675和315答案AD解析A项显然正确；B项，终边落在y轴上的角的集合为|k，kZ，角度与弧度不能混用，故错误；C项，第三象限角的集合为，故错误；D项，所有与45角终边相同的角可表示为45
5、k360，kZ，令72045k3600(kZ)，解得k(kZ)，从而当k2时，675；当k1时，315，故正确.(2)已知角在第二象限，且sin ，则角在()A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析角是第二象限角，kZ，kZ，角在第一或第三象限.又sin ，sin 0，角在第三象限.感悟提升1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(kZ)赋值来求得所需的角.2.确定k，(kN*)的终边位置的方法先写出k或的范围，然后根据k的可能取值确定k或的终边所在的位置.训练1 (1)集合
6、中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k取偶数时，比如k0，此时，故角的终边在第一象限或y轴正半轴；当k取奇数时，比如k1，此时，故角的终边在第三象限或y轴的负半轴，综上，角的终边在第一象限或第三象限或y轴上.(2)终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为_.答案解析在坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角为，在0，2)内，终边在直线yx上的角有和；在2，0)内满足条件的角有和，故满足条件的角构成的集合为.考点二弧度制及其应用例2 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若，R10 cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个
7、扇形的面积最大？(3)若，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.解(1)因为，R10 cm，所以l|R10(cm).(2)由已知，得l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225.所以当R5(cm)时，S取得最大值，此时l10(cm)，2.(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l cm，所以S弓形222sin cm2.感悟提升应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.训练2 (1)(多选)(2022青岛质
8、检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有()A.圆的半径为2 B.圆的半径为1C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2答案ABC解析设扇形半径为r，圆心角弧度数为，则由题意得解得或可得圆心角的弧度数是4或1.(2)(2023广州检测)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2，则其面积是()A. B.22C. D.22答案D解析由已知得，则ABBCAC2，扇形CBA的面积为，ABC
9、的面积为22，故弓形AB的面积为，所求面积为322.故选D.考点三三角函数的定义及应用角度1三角函数的定义例3 (1)(2023石家庄质检)已知角的终边上一点P的坐标为(2，1)，则cos 的值为()A. B. C. D.答案D解析由题意可得cos .(2)(2023长沙质检)若角的终边过点P(8m，3)，且tan ，则m的值为()A. B. C. D.答案A解析因为tan ，解得m.角度2三角函数值的符号例4 (多选)(2022重庆八中月考)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(m，1m).若m0，则下列各式的符号无法确定的是()A.sin B.cos C.sin
10、cos D.sin cos 答案AC解析由三角函数的定义得，sin ，cos .对于A，当m(0，1)时，sin 0；当m(1，)时，sin 0；当m1时，sin 0，所以sin 符号无法确定.对于B，cos 0，所以cos 符号确定.对于C，sin cos .当m时，sin cos 0；当m时，sin cos 0；当m时，sin cos 0，所以sin cos 符号无法确定.对于D，sin cos 0，所以sin cos 符号确定.感悟提升1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函
11、数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.训练3 (1)(2023无锡调考)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sin ，tan )在第四象限，则角的终边在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析点P(sin ，tan )在第四象限，sin 0，tan 0，角的终边在第二象限，故选B.(2)sin 2cos 3tan 4的值()A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在
12、答案A解析因为234，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin 20，cos 30，tan 40，所以sin 2cos 3tan 40.分层精练巩固提升【A级基础巩固】1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2k45(kZ) B.k360(kZ)C.k360315(kZ) D.k(kZ)答案C解析与角的终边相同的角可以写成2k(kZ)或k36045(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确.2.若sin cos 0，则角是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案D解析由0，得0，所以co
13、s 0.又sin cos 0，所以sin 0，所以为第四象限角.3.(2023北京东城区调研)在平面直角坐标系中，角的终边过点(1，0)，将的终边绕原点按逆时针方向旋转120与角的终边重合，则cos ()A. B. C. D.答案A解析由题意知2k1，k1Z，2k2，k2Z，故cos cos .故选A.4.已知点P(sin(30)，cos(30)在角的终边上，且2，0)，则角的大小为()A. B. C. D.答案D解析因为P(sin(30)，cos(30)，所以P，所以是第二象限角，又2，0)，所以.5.(多选)下面说法正确的有()A.角与角终边相同B.终边在直线yx上的角的取值集合可表示为|
14、k36045，kZC.若角的终边在直线y3x上，则cos 的取值为D.6730化成弧度是答案AD解析角与角相差2，终边相同，故A正确；终边在直线yx上的角的取值集合可表示为|k18045，kZ，故B错误；若角的终边在直线y3x上，则cos 的取值为，故C错误；6730化成弧度是，故D正确.6.(2023枣庄模拟)已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为()A. B. C. D.答案D解析因为sin 0，cos 0，所以角的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知sin cos ，故角的最小正值为2，故选D.7.在平面直角坐标系中，是圆x2y21上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角以O
15、x为始边，OP为终边.若tan cos sin ，则P所在的圆弧是()A. B. C. D.答案C解析由题意知，四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在上，tan sin ，不满足；在上，tan sin ，不满足；在上，sin 0，cos 0，tan 0，且cos tan ，满足；在上，tan 0，sin 0，cos 0，不满足.8.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比
16、为()A. B.C.3 D.2答案B解析设AOB，半圆的半径为r，扇形OCD的半径为r1，依题意，有，即，所以，从而得.9.若1 560，角与终边相同，且360360，则_.答案120或240解析因为1 5604360120，所以与终边相同的角为360k120，kZ，令k1或k0可得240或120.10.已知扇形的圆心角为120，弧长为2，则扇形面积为_.答案3解析120，lr，r3，Slr233.11.已知的终边过点(x，4)，且cos ，则tan _.答案解析的终边过点(x，4)，且cos ，x0.又cos ，x3，tan .12.在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且|OP|2，
17、则点P的坐标为_.答案(1，)解析设点P的坐标为(x，y)，由三角函数定义得所以所以点P的坐标为(1，).【B级能力提升】13.(多选)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，BOA60，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则()A.经过1 s后，BOA的弧度数为3B.经过 s后，扇形AOB的弧长为C.经过 s后，扇形AOB的面积为D.经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇答案ABD解析经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时BOA的弧度数为3，故A正确；经过 s后，AOB2
18、，故扇形AOB的弧长为1，故B正确；经过 s后，AOB2，故扇形AOB的面积为S12，故C不正确；设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(12)2，解得t(s)，故D正确.14.(2022全国甲卷)沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CDAB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：sAB.当OA2，AOB60时，s()A. B.C. D.答案B解析由题意知，OAB是等边三角形，所以ABOA2.连接OC(图略)，因为C是AB的中点，所以OCAB，OC.又CDAB，所以O，C，D三点
19、共线，所以CDODOC2，所以sAB2.故选B.15.已知P(4t，3t)(t0)为角终边上的一点，则2sin cos _.答案2解析P(4t，3t)为角终边上的一点，点P到原点的距离为r5|t|，cos ，sin .当t0时，cos ，sin ，则2sin cos 2；当t0时，cos ，sin ，则2sin cos 2.16.(2022佛山模拟)九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章给出了弧田(由圆弧和其所对弦所围成)面积的计算公式：弧田面积(弦矢矢2).公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离.如图，弧田是由和其所对弦AB围成的图形，若弧田的长为，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为_.答案82解析设所对圆心角的弧度为，由题意可知4，解得.故扇形AOB的面积为4，AOB的面积为sin 424，故弧田实际的面积为4.作ODAB分别交AB，于点D，C，则AB4，OD2，CD2，所以利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积为(4222)42，则所求差值为(42)82.