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1、三角形的四心与向量三角形的四心与向量四心的概念介绍：四心的概念介绍：(1)(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2 2：1 1；(2)(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3)(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心） ，角平分线上的任意点到角两边的距离相等；，角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4)(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心） ，外心到三角形各顶点的距离相等。，外心到三角形各顶点的距离相等。（一）三角形的内心（一）三
2、角形的内心例题例题1 1O是 平 面 上 一 定 点 ，A,B,C是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P满 足 ：ABACOP OA | AB | AC |,0,)，则P的轨迹一定通过ABC的()A内心【解析】B垂心C重心D外心ACAB、分别表示向量AB、AC方向上的单位向量AC| AB|ACAC的方向与BAC的角平分线一致，又ABABOP OA(ABAC)，| AB| AC |OP OA AP (ABAC)，向量AP的方向与BAC的角平分线一致| AB| AC |一定通过ABC的内心，选A练习练习 1. 1. 已知ABC满足(ABABACAC)BC 0，ABABACAC1，
3、则ABC为()2A顶角为120的等腰三角形C有一个内角为60的直角三角形【解析】设AD B等腰直角三角形D等边三角形ABAB, AE ACAC，则AD AE AF，而AD AE 1，所以AF是BAC的角平分线，又AF BC 0 AF BC，所以ABC为等腰三角形，AB AC cosBAC111cosBACBAC ， 所以ABC是等边三角形.223ABAC2AB ACABAC练练 习习2 2 . . O是 平 面 内 的 一 定 点 ， A , B ， C是 平 面 内 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P满 足则 P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的（）A内心B外心C重心D垂心【解析】、分
4、别表示向量、方向上的单位向量的方向与BAC 的角平分线重合，又可得到 （）向量的方向与BAC 的角平分线重合，一定通过 ABC 的内心，选 A（二）三角形的重心（二）三角形的重心例题例题2 2已知ABC中，向量AP (AB AC)(R)，则点P的轨迹通过ABC的（）A垂心B内心C外心D重心【解析】设D为BC中点，则AB AC 2AD，AP 2AD，即P点在中线AD上可知P点轨迹必过ABC的重心，选D练习练习 1 1过的重心 作直线 ，已知 与、的交点分别为 、 ，若，则实数的值为（）A 或B或C 或D 或【解析】设由于因为即有,因为 G 为的重心，所以，即，所以或 ，选 B=, 则 O 点是
5、ABC 的()D垂心,即三点共线，所以，解之得练习练习 2. 2.已知 O 是 ABC 所在平面上的一点，若A外心B内心C重心【解析】作 BDOC，CDOB，连 OD，OD 与 BC 相交于 G，则 BGCG， （平行四边形对角线互相平分） ，又，可得：，A，O，G 在一条直线上，可得AG 是 BC 边上的中线，同理：BO，CO 的延长线也为 ABC 的中线O 为三角形 ABC 的重心选 C练习练习 3. 3.已知 是点 的轨迹一定通过A内心【解析】表示与所在平面上的一定点，若动点 满足的()B外心C重心D垂心而，则设它们等于 t，共线的向量,而点 D 是 BC 的中点，所以即 P 的轨迹一定
6、通过三角形的重心，选C练习练习 4. 4.已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足，则点 P 的轨迹一定通过【解析】设 D 为 BC 的中点，则的_心，于是有，P，D 三点共线，又 D 是 BC 的中点，所以 AD 是边 BC 的中线，于是点 P 的轨迹一定通过例题例题3 3的重心所在平 面内 一点 ，是的中点， 动点满足是平面 上不 共线 的三 点，为，则点 的轨迹一定过【解析】动点 P 满足且（22）（1+2）_心（内心、外心、垂心或重心）（R） ，P、C、D 三点共线，又 D 是 AB 的中点，CD 为中线，点 P 的轨迹一定过 ABC 的重心故答案为重心
7、（三）三角形的外心（三）三角形的外心例题例题4 4已 知 点A为外 接 圆 的 圆心 ， 且CD， 则的 内 角等于 ()B【解析】因为延长所以练习练习 1. 1.已知交，所以点 为于 ，则 为，则的中点，又，同理可得的重心，为，外接圆的圆心，为等边三角形，故选 B.，点 ， 为， 则点 为所在平面内的点，且的 ()C重心，即，即，同理，所以 为A内心【解析】因为又因为所以所以练习练习 2. 2.在A垂心【解析】B外心，所以，所以，即,所以中，设B内心D垂心的外心，选 B的（），则动点 M 的轨迹必通过C重心D外心设 为中点，则为的垂直平分线轨迹必过的外心，选，则 的取值范围为_练习练习 3.
8、 3. 是锐角【解析】设 是的外接圆圆心， 是最大角，若中点，根据垂径定理可知，依题意， 即.由于，所以， 利用正弦定理化简得，即.由于 是锐角三角形的最大角，故，故.练习练习 4. 4.已知 O 是ABC 外接圆的圆心，AB=6，AC=15，=【解析】如图所示，+，2 +3 =1，则 cosBAC=_过 O 点分别作 ODAB，OEAC，垂足分别为 D，E则 AD=DB，AE=EC则则所以即 18=36x+90ycosA，（四）三角形的垂心（四）三角形的垂心例题例题5 5点 P 为过的B重心C垂心D内心所在平面内的动点，满足，则点 P 的轨迹通，因为=+，=90 xcosA+225y，又 2
9、x+3y=1，联立解得 cosA=A外心【解析】处理原式得到故练习练习 1. 1. 在中，若，则 是的（）所在的直线与三角形的高重合，故经过垂心，故选C。A外心B内心C重心D垂心【解析】同理由；OBAC，得到 OABC点 O 是 ABC 的三条高的交点，选D是平面上不共线的三点， 动点 满足的（ ），练习练习 2. 2.是平面上的一定点，则动点 的轨迹一定经过A重心B垂心C外心D内心【解析】 （） ，即点 P 在 BC 边的高上，即点 P 的轨迹经过 ABC 的垂心，选 B（五）三角形问题综合（五）三角形问题综合例题例题6 6在中， 、 、 分别为内角 、 、 的对边，则A【解析】，且，的最大
10、值为（）C， 化简可得，均为单位向量，过 分别作，D，垂足分别为 ， ，点 为线段上一点，B则，两式相加可得，当且仅当时取等号，解可得，由基本不等式可得，则的最大值为 ，选 B练习练习 1. 1. 若点 是所在平面内的一点，且满足，则为（）A等腰三角形B正三角形C直角三角形D以上都不对【解析】即练习练习 2. 2.已知，即，三角形为等腰三角形，选，则是直线 上任意两点， 是 外一点，若 上一点 满足的值是_.【解析】A、B、C 三点共线，且coscos2cos+cos21， （三点共线的充要条件）cos21cos，cos1cos2sin2sin6cos3cos（1sin2）cos（1cos）coscos2cos（1cos）2cos1sin2+sin4+sin6cos+cos2+2cos1cos+1cos+2cos12cos，由 cos21cos 得 cos原式2cos练习练习 3 3已知面积之比为【解析】设为1的重心，过点 的直线与边分别相交于点.若,则当与的或 cos1，舍去，cos时，实数 的值为_.， ， 三点共线，可设，为的重心，两式相乘得，代入即解得或 即或（六）五心综合（六）五心综合练习练习 1. 1.已知 为之比为_.【解析】设，三点共线，可设，的重心，过点 的直线与边分别相交于点，若,则与的面积，为，的重心，解得，