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1、题型三 三角形“四心”与向量结合(一)平面向量与三角形内心1、O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（ ）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心2、已知ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P是三角形的（） 外心 内心 C 重心 D 垂心3、在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过ABC的： （ ） 外心 内心 C 重心 D 垂心(二)平面向量与三角形垂心 “垂心定理”H是ABC所在平面内任一点，点H是ABC的垂心.证明：由,同理，.故H是ABC的垂心. （反之亦然（证略）4、已知ABC，P为三角形所在平面上的动点，且
2、动点P满足：，则P点为三角形的 （） 外心 内心 C 重心 D 垂心5、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的 （ ）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点6、在同一个平面上有及一点满足关系式： ，则为的 （） 外心 内心 C 重心 D 垂心 (三)平面向量与三角形重心 “重心定理”G是ABC所在平面内一点，=0点G是ABC的重心.证明 图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是ABC的重心.（反之亦然（证略）P是ABC所在平面内任一点
3、.G是ABC的重心.证明 G是ABC的重心 =0=0，即由此可得.（反之亦然（证略）7、已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过ABC的 （） 外心 内心 C 重心 D 垂心8、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足= (+2),则点P一定为三角形ABC的 （ ）A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心 D.AB边的中点(四)平面向量与三角形外心9、若 为内一点，则 是 的（ ）A内心 B外心 C垂心 D重心10、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = (五)平面向量与三
4、角形四心11、已知向量，满足条件+=0，|=|=|=1，求证 P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题）12、在ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。13、若O、H分别是ABC的外心和垂心.求证 .14、 设O、G、H分别是锐角ABC的外心、重心、垂心. 求证 15已知点、在三角形所在平面内，且=,则=则点、依次是三角形的（A）重心、外心、垂心 （B）重心、外心、内心（C）外心、重心、垂心 （D）外心、重心、内心题型三 三角形“四心”与向量结合答案1、解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为
5、， 又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.4、解析:由.即则 所以P为的垂心. 故选D.8、取AB边的中点M，则，由= (+2)可得3，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.9、解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故 是 的外心，选B。10、111证明 由已知+=-，两边平方得=， 同理 =， |=|=|=，从而P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形P1P2P3的中心，则显然有+=0且|=|=|.即O是ABC所在平面内一点，+=0且|=|=|点O是正P1P2P3的中心.12【证明】：以A为原点，AB所在的直线为
6、x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有： 由题设可设,AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：213证明 若ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.，.又垂心为H，AHCD，CHAD，四边形AHCD为平行四边形，故.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.14证明 按重心定理 G是ABC的重心按垂心定理 由此可得 .三角形“四心”与向量结合总结1O是的重心;若O是的重心，则故;为的重心.2O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故3O是的外心(或)若O是的外心则故4O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成 ，O是内心的充要条件也可以是 。若O是的内心，则故;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；