《平面向量与三角形的心综合.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量与三角形的心综合.pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心综合向量与三角形内心、外心、重心、垂心综合一、三角形外心的性质一、三角形外心的性质BGCA性质性质 1 1：三角形三边中垂线的交点，G 为外接圆圆心性质性质 2 2：点G是ABC外心：GA GB GCGA2=GB2=GC2(G到三顶点距离相等)(GA+GB)AB=(GB+GC)BC=(GC+GA)CA=0(G为三边中垂线交点)性质性质 3 3：正弦定理：二、三角形内心的性质二、三角形内心的性质BFEAabc 2R，R为ABC的外接圆半径sin AsinBsinCDOC性质性质 1 1：三角形的三个角平分线的交点，O内切圆圆心。性质性质 2 2：三角形的内心到三
2、边的距离相等，都等于内切圆半径R性质性质 3 3：内角平分线定理：ABC中，AD是A的角平分线，D在BC上，则有：BDABCDAC性质性质 4 4：设a,b,c是三角形的三条边长，O 是ABC 的内心,aOAbOB cOC 0 O为ABC的内心证明：ABACABACAC方向上的单位向量，、分别为AB、平分BAC,cbcbABACbc)，令，cba bcAO(AO ABACbc（)cba b c化简得(a bc)OAbABcAC 0aOAbOB cOC 0性质性质 5 5：O是ABC的内心的充要条件是ABACBABCCACBOBOC 0OAABACBABCCACB性质性质 6 6：已知O是平面上
3、一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满ABAC，(0，足OP OA)，则动点P的轨迹一定通过ABC的ABAC内心三、三角形重心的性质三、三角形重心的性质AFBDGCE性质性质 1 1：三角形三边中线的交点性质性质 2 2：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离比为2：1，即GAGBGC2=GDGEGF1性质性质 3 3：重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等，即SABG SACG SBCG性质性质 4 4：重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为G性质性质 5 5：O是ABC的重心OAOB OC 0 x1 x2 x3y1 y2 y3,331G为ABC的重心PG(PA
4、 PB PC)3P是ABC平面内任一点.G是ABC的重心PG(PA PB PC).证明如下：PG PA AG PB BG PC CG3PG (AG BGCG)(PA PB PC)G是ABC的重心GAGB GC 0AG BG CG 0，即3PG PA PB PC131由此可得PG(PA PB PC).3性质性质 6 6：已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OA(AB AC)，(0，)，则P的轨迹一定通过ABC的重心.四、三角形垂心的性质四、三角形垂心的性质性质性质 1 1：垂心为三角形三边高的交点；性质性质 2 2：OAOB OBOC OC OA O为为ABC
5、的垂心的垂心.证明：如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心，BE 垂直 AC，AD 垂直 BC，D、E 是垂足.OAOB OBOC OB(OAOC)OBCA 0 OB ACAEO同理OA BC，OC ABO为ABC的垂心BDC性质性质 3 3：已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满ABAC，(0，足OP OA)，则动点P的轨迹一定通过AB cosBAC cosCABC的垂心例例题题 1 1：是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OA(AB AC)，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的AEBDC解析：如图所示ABC，D、E分别为边BC、AC的中
6、点.AB AC 2AD，OP OA 2ADOP OA AP，AP 2AD APADPABCC例题例题 2 2：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OA(ABABACAC)，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的解析：ABACAC方向上的单位向量，分别为AB、ABACABABACAC平分BAC,点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.例例题题 3 3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OA(ABAB cosBACAC cosC)，0,，则点P轨迹一定通过ABCAEBDC解析：如图所示 AD 垂直 BC，BE 垂直 AC，D、E 是垂足
7、.(ABAB cosBACAC cosC)BC=ABBCAB cosBACBCAC cosC AB BC cosB=AB cosBAC BC cosCAC cosC=BC+BC=0点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.巩固练习：巩固练习：练习练习 1 1：已知 O，N，P 在ABC所在平面内OA=OB=OC,NA NB NC 0,PAPB PBPC PC PA则点O,P,N依次ABC是的()A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心C.外心 重心 垂心解析：C D.外心 重心 内心练习练习 2 2：已知点O是ABC的重心，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且2aOAbOB 解析：2
8、3cOC 0，则角C的大小是 .33点O是ABC的重心，OAOB OC 0又2aOAbOB 2 3cOC 032a b 2 3c3223c2 3c2ca2b2c2331，C cosC 32ab23c 2 3c233练习练习 3 3：已知P是ABC所在平面内任意一点，且PA PB+PC 3PG,则G是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心解析：CPA PB+PC 3PG(PA PG)(PB PG)(PC PG)0GAGB GC 0G是ABC的重心1练习练习 4 4：O是ABC所在平面内一定点，若动点P满足OP OA AB BC,20，+,则P的轨迹一定经过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心解析：B