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1、题型三题型三 三角形“四心三角形“四心”与向量结合与向量结合(一一)平面向量与三角形内心平面向量与三角形内心1、O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足，0,则 P 点的轨迹一定通过ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心2、已 知 ABC，P 为 三 角 形 所 在 平 面 上 的 一 点，且 点 P 满 足：uuu ruuu ruuu raPAbPBcPC 0，则 P 是三角形的（）ABACOP OA(ABAC)外心内心C重心D垂心223、在三角形 ABC 中，动点 P 满足：CA CB 2ABCP，则 P 点轨迹一定通过ABC的：（）外心内心C重
2、心D垂心(二二)平面向量与三角形垂心平面向量与三角形垂心“垂心定理”“垂心定理”H 是ABC 所在平面内任一点，HAHB HBHC HCHA点 H 是ABC 的垂心.证明：证明：由HAHB HBHC HB(HC HA)0 HB AC 0 HB AC,同理HC AB，HA BC.故 H 是ABC 的垂心.（反之亦然（证略）4、已知ABC，P 为三角形所在平面上的动点，且动点 P 满足：uuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu rPAPC PAPB PBPC 0，则 P 点为三角形的（）外心内心C重心D垂心5、点O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OAOB OBOC
3、OC OA，则点 O 是ABC的（）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点6、在同一个平面上有ABC及一点满足关系式：uuuuuu rOCAB，则为ABC的（）外心内心C重心D垂心(三三)平面向量与三角形重心平面向量与三角形重心“重心定理”“重心定理”2uuuuuu ruuuuu r2OABCOBCA2uuuuuu ruuuuuu r2uuuuu r22G G 是是ABCABC 所在平面内一点，所在平面内一点，GAGB GC=0=0点点 G G 是是ABCABC 的重心的重心.证明证明图中GBGC GE连结 BE 和 CE，则 CE=
4、GB，BE=GCBGCE 为平行四边形D 是 BC 的中点，AD为BC边 上 的 中 线.将GBGC GE代 入GAGB GC=0 0，得GA EG=0 0GA GE 2GD，故 G 是ABC 的重心.（反之亦然（证略）的重心的重心PG 1(PA PB PC)3.P P 是是ABCABC 所在平面内任一点所在平面内任一点.G G 是是ABCABC证证明明PG PA AG PB BG PC CG3PG (AG BG CG)(PA PB PC)G 是 ABC 的 重 心GAGB GC=0 0AG BG CG=0 0，即3PG PA PB PC1PG(PA PB PC)3由此可得.（反之亦然（证略）
5、7、已知 O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：OP OA(AB AC)，则 P 的轨迹一定通过ABC 的（）外心内心C重心D垂心8、已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满足),则点 P 一定为三角形 ABC 的（）边中线的中点边中线的三等分点（非重心）C.重心边的中点(四四)平面向量与三角形外心平面向量与三角形外心uuu ruuu ruuu rOA OB OC9、若O为ABC内一点，则O是ABC的（）A内心B外心C垂心D重心10、ABC的 外 接 圆 的 圆 心 为O，两 条 边 上 的 高 的 交 点 为H，O
6、P1=31(21OA+2OB+2OCOH m(OAOBOC)，则实数 m=(五五)平面向量与三角形四心平面向量与三角形四心11、已知向量OP1，OP2，OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0 0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1，求证求证P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五 B 组第 6 题）12、在ABC 中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H 三点共线，且 QG:GH=1:2。13、若 O、H 分别是ABC 的外心和垂心.求证求证OH OAOBOC.14、设 O、G、H 分别是锐角ABC 的外心、重心、垂心.求证求证1OG OH3
7、15OA已 知 点O、N、P在 三 角 形ABC所 在 平 面 内，且OBOCNA NB NC 0=,则PA PB=PB PC=PC PA则点O、N、P依次是三角形ABC的（A）重心、外心、垂心（B）重心、外心、内心（C）外心、重心、垂心（D）外心、重心、内心题型三题型三 三角形“四心三角形“四心”与向量结合答案与向量结合答案AB1、解析：因为e1和 e2，又OP OA AP，则原式可化为AP(e1e2)，由菱形的基本性质知 AP 平分BAC，那么在ABC中，AP 平分BAC，则知选 B.4、解析:由PAPB PB PC得PAPB PB PC 0ABruuu ruuu ruuu是向量AB的单位
8、向量设AB与AC方向上的单位向量分别为.即PB(PA PC)0,即PBCA 0则PB CA,同理PA BC,PC AB所以 P 为ABC的垂心.故选 D.8、取 AB 边的中点 M，则OAOB 2OM，由OPMP 2MC3，即点1=31(21OA+2OB+2OC)可得3OP 3OM 2MC，P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点，且点 P 不过重心，故选 B.9、解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O是ABC的外心，选 B。1010、1 11111 证明证明由已知OP1+OP2=-OP3，两边平方得OP1OP2=同理OP2OP3=OP3OP1=1212，|P1P2|=|
9、P2P3|=|P3P1|=3，从而P1P2P3是正三角形.反之，若点O 是正三角形 P1P2P3的中心，则显然有OP1+OP2+OP3=0 0 且|OP1|=|OP2|=|OP3|.即 O 是ABC 所在平面内一点，+OP2+OP3=0 0 且|OP1|=|OP2|=|OP3|点 O 是正P1P2P3的中心.12【证明】：以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设 A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点，则有：xx x2y2xyxD（1,0)、E(1,)、F(2,2)Q（1,y3)、H(x2,y4)22222由
10、题设可设2,uuuu ruuu rx1x2y2xxyyG(,)AH (x2,y4)，QF (21,2 y3)33222FGQOP1C(x2,y2)HEuuurBC (x2x1,y2)uuuu ruuurQ AH BCuuuu r uuurAH BC x2(x2x1)y2y4 0 x(x x1)y4 22y2uuu ruuu u rQ QF ACuuu r uuu u rxxyQF AC x2(21)y2(2 y3)0222x(x x1)y2y3222y22uuu u rx2x x13x2(x2x1)y2QH (x21,y4 y3)（2,)222y22uuurx x1x1y22x x1y2x2(
11、x2x1)y2QG (2,y3)（2,)323632y222x2x13x2(x2x1)y21 2x x13x2(x2x1)y2,)(2,)66y26322y22u r1uuu =QHuuu u r3uuur即QH=3QG，故 Q、G、H 三点共线，且 QG：GH=1：21313 证明证明若ABC 的垂心为 H，外心为 O，如图.连 BO 并延长交外接圆于 D，连结 AD，CD.AD AB，CD BC.又垂心为 H，AH BC，CH AB，AHCD，CHAD，四边形 AHCD 为平行四边形，(AH DC DOOC，故OH OA AH OAOB OC.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外
12、心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.1OG(OAOBOC)31414 证明证明按重心定理G 是ABC 的重心1OG OH3按垂心定理OH OAOBOC由此可得.三角形“四心三角形“四心”与向量结合总结与向量结合总结1 1O 是 ABCABC的重心OAOA OBOB OCOC 0 0;若 O 是 ABCABC的重心，则uuu ruuu ruuu ruuu rPG 1(PA PB PC)3S
13、S BOCBOC S S AOCAOC S S AOBAOB 1 1S S ABCABC3 3故OAOA OBOB OCOC 0 0;G为ABC的重心.的垂心，则2 2O 是 ABCABC的垂心OAOA OBOB OBOB OCOC OCOC OAOA;若O是 ABCABC(非直角三角形)S S BOCBOC：S S AOCAOC：S S AOBAOB tantanA A：tantanB B：tantanC C故tantanA AOAOA tantanB BOBOB tantanC COCOC 0 02 22 23 3O 是 ABCABC的外心|OAOA|OBOB|OCOC|(或OAOA OB
14、OB OCOC)ABCABC若O是的外心S S BOCBOC：S S AOCAOC：S S AOBAOB sinsin BOCBOC：sinsin AOCAOC：sinsin AOBAOB sinsin2 2A A:sinsin2 2B B:sinsin2 2C C故sinsin2 2A AOAOA sinsin2 2B BOBOB sinsin2 2C COCOC 0 0 ABCABC4 4O是内心OAOA (ABAB|ABAB|ACACACAC)OBOB (BABA|BABA|BCBC|BCBC|)OCOC (CACA|CACA|2 2则的CBCB|CBCB|充)0 0要条件是引进单位向量
15、，使条件变得更简洁。如果记ABAB,BCBC,CACA的单位向量为e e1 1,e e2 2,e e3 3，则刚才O是 ABCABC内心的充要条件可以写成OAOA(e e1 1 e e3 3)OBOB(e e1 1 e e2 2)OCOC(e e2 2 e e3 3)0 0，O 是 ABCABC内心的充要条 件 也 可 以 是a aOAOA b bOBOB c cOCOC 0 0。若 O 是 ABCABC的 内 心，则S S BOCBOC：S S AOCAOC：S S AOBAOB a a：b b：c c故a aOAOA b bOBOB c cOCOC 0 0或或sinsinA AOAOA sinsinB BOBOB sinsinC COCOC 0 0;uuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu rr|AB|PC|BC|PA|CA|PB 0 P是ABC的内心;uuu ruuu rACABuu r uuu r)(0)(u向量|AB|AC|所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；