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1、平面向量中的三角形四心问题平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。一、重心一、重心（barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。结论结论 1 1：若G为ABC所在平面内一点，则GAGB GC 0 G是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GD GB GCGAGB GC 0 GA GB GCGA 2GD,这表明，G在中线AD上同理可得G在中
2、线BE,CF上故G为ABC的重心结论结论 2 2：1若P为ABC所在平面内一点，则PG(PA PB PC)3 G是ABC的重心1证明：PG(PA PB PC)(PG PA)(PG PB)(PG PC)03 GAGB GC 0 G是ABC的重心二、垂心二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。结论结论 3 3：若H为ABC所在平面内一点，则HAHB HBHC HCHA H是ABC的垂心证明：HAHB HBHC HB(HA HC)0 HB AC 0 HB AC同理，有HA CB,HC AB故H为三角形垂心结论结论 4 4：若H为ABC所在平面内一点，则HA BC H
3、B AC HC AB H是ABC的垂心证明：由HA BC HB CA 得，HA (HB HC)HB (HC HA)2 HBHC HC HA同理可证得，HAHB HBHC HC HA由结论3可知命题成立2222222222222三、外心三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。结论结论 5 5：若O是ABC所在平面内一点，则OA OB OC O是ABC的外心证明：由外心定义可知命题成立结论结论 6 6：若O是ABC所在平面内一点，则（OAOB)BA (OB OC)CB (OC OA)AC O是ABC的外心证明：(OAOB)
4、BA (OAOB)(OAOB)OA OB(OB OC)CB OB OC(OC OA)AC OC OA222222222故OA OB OB OC OC OA OA OB OC故O为ABC的外心222四、内心四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。结论结论 7 7：若P为ABC所在平面内一点，则 AB BABC CACB AC OP OA1 OB 2 OC 3(0)AB BABC CACBAC P是ABC的内心证明：记AB，AC方向上的单位向量分别为e1,e2 ABAC OP OA1 AP 1(e1 e2)ABAC 由平行四边形法则知，(e1 e2)在AB,AC边夹角平分线上即P在A平分线上同理可得，P在B,C的平分线上故P为ABC的内心结论结论 8 8：若P是ABC所在平面内一点，则aPAbPB cPC 0 P是ABC的内心证明：不妨设PD PCaPA bPB cPC 0 a(PD DA)b(PD DB)cPC 0(a b c)PC (aDAbDB)0由于PC与DA,DB不共线，则a b c 0,aDAbDB 0b即DBa由角平分线定理，CD是ACB的平分线同理可得其他的两条也是平分线故P是ABC的内心DA