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1、10.1随机事件与概率 练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册一、选择题1衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为()A25B45C89D8152下列命题为真命题的有（）A若随机变量X的方差为1225，则D5X+2=14B已知经验回归方程y=3-2x，则y与x具有正线性相关关系C对于随机事件A与B，若P(B)=0.3,P(BA)=0.7则事件A与B独立D根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到2=3.712，根据=0.05的独立性检验(P(23.841)=0.05)，有95%的把
2、握认为X与Y有关3甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为23与12，且每次射击命中与否互不影响，现两人玩射击游戏，规则如下：每次由1人进行射击，若射击一次不中，则原射击人继续射击，若射击一次命中，则换对方接替射击，且第一次由甲射击.则前4次中甲恰好射击3次的概率为（）A29B727C827D134抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是（）A事件A与事件B互为对立事件BP(C)=16CP(BC)=16D事件B与事件C相互不独立5已知P(A)=12,P(AB)=13，则P(BA
3、)=（）A16B13C14D236甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A，B，C表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以D表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是（）A事件A，B，C是两两互斥的事件B事件A与事件D为相互独立事件CP(D|A)=29DP(D)=19727如图，一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为12，这个电路是通路的概率是（）A18B38C58D148小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率
4、均为12，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（）A14B716C1116D34二、多项选择题9A,B两个沿海城市一天中受台风袭击的概率均为p，已知A市和B市每天是否受台风袭击互相独立，且两市一天中至少有一个受台风袭击的概率为0.51，若用X表示某天受台风袭击的城市个数，则（）Ap=0.3BP(X=0)=0.49CP(X=1)=0.36DD(X)=0.4210已知A，B，C是一个随机试验中的三个事件，且0P(A)1，0P(B)1，下列说法正确的是（）A若A与B互斥，则A与
5、B不相互独立B若A与B相互独立，则A与B不互斥C若P(A|B)P(B|A)=P(AB)，且P(AB)0，则A与B相互独立D若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则A，B，C两两独立11 深圳某中学社团招新活动开展得如火如荼，小王、小李、小张三位同学计划篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13 ，且每人选择相互独立，则（）A三人选择社团一样的概率为19B三人选择社团各不相同的概率为227C至少有两人选择篮球社的概率为727D在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为57三、填空题12已知有A,B两个盒子，其中A盒装有3个黑球和3个白球，B盒
6、装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中按上述方法重复操作两次后，B盒中恰有7个球的概率是 13一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件Ai=“第i次命中目标”(i=1,2),P(A1)=14，P(Ai+1Ai)=2P(Ai),P(Ai+1Ai)=14(i=1,2)，则P(A2)= 14甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为23；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为12假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一
7、局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为 四、解答题15近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.（1）顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率;（2）顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒;若当中有烂果，则隔一周再网购一盒;以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率16
8、树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组15，25），第2组25，35），第3组35，45），第4组45，55），第5组55，65），得到的频率分布直方图如图所示（1）求出a的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法
9、抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率17某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为23，12，13，且各老师的审核互不影响（1）在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率；（2）从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望18为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在
10、“跑步20分钟”和“跳绳20分钟”中 选择一项进行锻炼.在不下雪的时候，他跑步的概率为80%，跳绳的概率为20%，在下雪天， 他跑步的概率为20%，跳绳的概率为80%.若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为60%，若 前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为40%.已知寒假第一天不下雪，跑步20分钟大约消耗能量300卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里.记寒假第n 天不下雪的概率为R （1） 求P1、P2、P3 的值，并求Pn；（2）设小王寒假第n 天通过运动消耗的能量为X， 求 X 的数学期望.19水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先赢2局者胜），首轮由甲
11、乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去.（1）求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率；（2）求第n轮比赛甲轮空的概率；（3）按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望.参考答案1【答案】C2【答案】C3【答案】C【解析】【解答】记第i次射击由甲射击，且命中为事件Ai，第i次射击由乙射击，且命中为事件Bi.由题知，第一次由甲射击且前4次中甲恰好射击3次有3种情况：A1A2A3，A1A2B3，A1B2A3，所以所求概率P=PA1A2A3+PA1A2B3+PA1B2A3=131323+132312+231213=827故答案为：C.【
12、分析】先分类，然后利用相互独立事件的概率公式结合互斥事件概率加法公式可得.4【答案】C【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，事件A与事件B可以同时发生，故不互为对立事件，A错误；抛掷一枚质地均匀的骰子两次的样本点数共66=36种，事件B的样本点为(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，(6，1)，(6，3)，(6，5)共18种，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，事件C
13、的样本点为(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6)共有12种，所以P(C)=1236=13，B错误；事件BC的样本点为(2，1)，(1，5)，(5，1)，(3，3)，(6，3)，(4，5)共6种，所以P(BC)=636=16，C正确；因为P(BC)=P(B)P(C)，所以事件B与事件C相互独立，D错误故答案为：C.【分析】根据列举法、对立事件的定义以及独立事件对各个选项进行判断即可.5【答案】B【解析】【解答】解：因为P(A)=12,P(AB)=13，所以P(AB)=P(A)-P(AB)=12
14、-13=16，故P(BA)=P(AB)P(A)=1612=13.故答案为：B.【分析】根据P(AB)=13，求出P(AB)，再根据条件概率公式P(BA)=P(AB)P(A)求解即可.6【答案】B【解析】【解答】对于A：因为事件A,B,C不可能同时发生，所以事件A,B,C是两两互斥的事件，故A正确；对于D：由题意可知：P(A)=38,P(B)=38,P(C)=28，P(D|A)=29,P(D|B)=39,P(D|C)=29，由全概率公式可得P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=1972，故D正确；对于B：因为P(AD)=3829=672=112，P(A)P(
15、D)=381972=19192，即P(AD)P(A)P(D)，所以事件A与事件D不是相互独立事件，故B错误；对于C：由条件概率公式可得P(D|A)=P(AD)P(A)=P(D|A)P(A)P(A)=29，故C正确；故答案为：B.【分析】对于A：根据互斥事件的定义分析判断即可；对于D：根据题意利用全概率公式运算求解即可；对于B：根据独立事件概率乘法公式分析判断；对于C：根据条件概率公式运算求解.7【答案】B8【答案】C【解析】【解答】解： 两家店铺能正常开业的对立事件为两家店铺至少有一家不能正常营业，设事件A：两家店铺至少有一家不能正常营业，由于节假日每位员工的休假概率均为12，由题意可知有4人
16、休假的概率为(12)4=116，有3人休假的概率为C43(12)312=416，所以P(A)=116+416=516，所以两家店铺该节假日能正常营业的概率为1-P(A)=1-516=1116.故答案为：C.【分析】由题意求出4人休假的概率和3人休假的概率，利用间接法即可求出P(A)，再根据对立事件的概率公式可求得答案.9【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A，由已知有1-(1-p)2=0.51，解得p=0.3，A正确；B，有P(X=0)=1-P(X1)=1-0.51=0.49，B正确；C，有P(X=1)=2p(1-p)=20.30.7=0.42，C错误；D，有P(X=2)=p2=0.09，从
17、而D(X)=E(X2)-(E(X)2=(0.4212+0.0922)-(0.421+0.092)2=0.42，D正确.故答案为：ABD.【分析】利用对立事件的概率可列出方程1-(1-p)2=0.51，解方程可求出p的值，据此可判断A选项；利用对立事件概率公式进行计算可判断B选；根据p的值，利用相互独立事件的概率进行计算可判断C选项；先求出P(X=2)，再利用方差的计算公式进行计算可判断D选项.10【答案】A,B,C11【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、三人选择社团一样的事件是都选篮球社、都选足球社、都选羽毛球社的和，它们互斥，所以三人选择社团一样的概率为3(13)3=19，故A正确；B
18、、三人选择社团各不相同，即小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，最后1个社团给小张，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为6(13)3=29，故B错误；C、至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，概率为C32C21(13)3+(13)3=727，故C正确；D、令至少有两人选择羽毛球社的事件为A，P(A)=727，小王选择羽毛球社的事件为B，事件AB是小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率P(AB)=C21C21(13)3+(13)3=527，所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为P(B|A)=
19、P(AB)P(A)=57，故D正确.故答案为：ACD.【分析】利用互斥事件、相互独立事件概率公式、条件概率公式计算判断即可.12【答案】7730013【答案】51614【答案】4172【解析】【解答】分两种情况讨论： （1）第一局甲胜，第二局乙胜：若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为23，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为12，若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为12，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为12，所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为P1=122312+121212=724；（2）第一局乙胜，第二局甲胜：若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为13，第二局甲执黑子先下，
20、则甲胜的概率为23，若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为12，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为23，所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为P2=121323+121223=518.综上所述，甲、乙各胜一局的概率为724+518=4172.故答案为：4172. 【分析】 分两种情况讨论： (1) 第一局甲胜，第二局乙胜： (2)第一局乙胜，第二局甲胜，分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得甲、乙各胜一局的概率 .15【答案】（1）设盒中含0、1个烂果分别为事件A、A，则P(A)=0.8，P(A)=0.2，设甲购买一盒猕猴桃为事件M，则P(M|A)=1，P(M|A)=C
21、194C204=45，则P(M)=P(A)P(M|A)+P(A)P(M|A)=451+1545=2425，所以甲购买一盒猕猴桃的概率为2425（2）设第n周网购一盒猕猴桃为事件Bn，则P(B1)=1，P(B2)=45，P(B3)=P(B2AB1A)=4545+115=2125，P(B4)=P(B3AB2A)=212545+4515=104125，P(B5)=P(B4AB3A)=10412545+212515=521625故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率为52162516【答案】（1）解：由10(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1，得a=0.035（2）解：平均数为：200.
22、1+300.15+400.35+500.3+600.1=41.5岁；设中位数为m，则100.010+100.015+(m-35)0.035=0.5，m42.1岁.（3）解：第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为a1，a2，b1，b2，b3，设从5人中随机抽取2人，为a1，a2，a1，b1，a1，b2，a1，b3，a2，b1，a2，b2，a2，b3，b1，b2，b1，b3，b2，b3共10个基本事件，这2人恰好在同一组的基本事件a1，a2，b1，b2，b1，b3，b2，b3共4个，所以P=410=25.【解析
23、】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，进而求出a的值。（2）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数公式和中位数公式，进而估计出这200人年龄的样本平均数和中位数。（3）利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而求出这2人恰好在同一组的概率 。17【答案】（1）解：设事件AA老师表示通过，事件BB老师表示通过，事件CC老师表示通过，事件D歌手通过晋级，事件E歌手经过复审，则P(A)=23，P(B)=12，P(C)=13，P(D)=P(AB)+P(ABC)+P(ABC)=2312+131213+231213=12P(DE)=1312
24、13+231213=16，因此，P(E|D)=13所以它经过了复审的概率为13（2）解：依题意，X的可能取值为0，1，2，3，显然，XB(3,12)，则P(X=0)=C30(12)3=18，P(X=1)=C31(12)3=38P(X=2)=C32(12)3=38，P(X=3)=C33(12)3=18所以X的分布列如下：X0123P18383818数学期望为E(X)=312=3218【答案】（1）P1=1、P2=0.4、P3=0.52、Pn=12+12(-15)n-1（2）250+30(-15)n-119【答案】（1）解：设Ai=“甲在第i轮获胜”则P(A2A3)=P(A2A3)P(A3)=P(
25、A1A2A3)P(A1A2A3)+P(A1A3)=(12)3(12)3+(12)2=134（2）解：设事件Cn=“第n轮甲轮空”则P(Cn)=P(Cn-1Cn)+P(Cn-1Cn)=P(Cn-1)P(CnCn-1)+P(Cn-1)P(CnCn-1)=121-P(Cn-1)P(Cn)-13=-12P(Cn-1)-13,C1=0P(Cn)=13-13(-12)n-1（3）解：设一轮比赛中甲胜的局数为X，则X=0,1,2P(X=0)=(12)2=14 P(X=1)=C21(12)3=14P(X=2)=(12)2+C21(12)3=12 E(X)=54前六轮比赛中甲参与的轮次数为Y，则Y=3,4,5,6P(Y=3)=(12)3=18P(Y=4)=C32(12)3+C31(12)4=916P(X=5)=C41(12)4+(12)5=932P(X=6)=(12)5=132E(Y)=13532局胜的局数为：1353254=675128(局)学科网（北京）股份有限公司