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1、考点06因式分解【夯实基础】1 .把一个多项式化成几个 的形式，叫做把这个多项式因式分解.2 .因式分解：Sab - 15ac =.3 .平方差公式：a2 b2=;完全平方公式：a2+ 2ab + b2=【答案】1.整式的乘积.2. 5a(b 3c). 3. (a b)(a + b); (a b)2.【走进考点】一.因式分解的概念【解题关键】本考点主要考查因式分解的基本概念：把一个多项式化成几个整式 的乘积的形式，叫做把这个多形式因式分解.注意其中三个关键点：原式 是多项式，化为整式，乘积的形式.判定一个变形是因式分解的条件：左边是多项式；(2)右边是乘积的形式；(3)右边的因式全是整式.二.
2、因式分解的方法【解题关键】因式分解属于历年中考必考的知识点，解题的关键是准确掌握提公 因式法和公式法并能灵活运用，并准确按步骤对多项式进行因式分解：有公 因式的先提公因式，然后再看能不能套用公式，最后一定要注意分解要彻底。因式分解的步骤：(1)有公因式的要先提公因式；(2)再看能否用平方差公式或完全平方公式分解；检查最后结果是否分解彻底.三.因式分解的应用【解题关键】因式分解的应用考查形式比较灵活，可以与很多知识产生交叉融合, 因此在一些综合型题目的考查中经常用到因式分解.灵活的应用因式分解对 故另一个因式为(x + 4), Z的值为20.22.(2022 春汉寿县期中)已知：A = 3/12
3、, B = 5x2y3-lOxy39C = (x + l)(x-5) + 9 , 问多项式A、3、。是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由.【解答】解：多项式A、。有公因式.A = 3x2-12 = 3(x2 4) = 3(x + 2)(x 2),B = 5x2y3- Oxy3 = 53 (x 2),C = (x +l)(x-5) + 9 = x2-4x-5+ 9 = x2-4 + 4 = (ji-2)2.因此多项式A、B、C的公因式是：x-2.23. (2022南京模拟)把下列各式因式分解：(1) 2a2-8 ;(2) 4(。+勿212(4 +份+ 9 .【解答】解：(1)原式
4、= 2(/4)=2m+2)m - 2)；(2)原式=2( +。) 3f= (2q + 2 3)2 .解决相关问题会起到事半功倍的作用.因式分解的应用(1)简化计算；(2)与其他知识的综合，如面积、三角形相关知识等；(3)换元思想、整体思想的应用.【真题实例】一.因式分解的概念1. (2022济宁)下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是()A. x2-1 =x (%T) -1 B. x2l= (x-1) 2C.(x-3) (x+2) D. x (x-l)【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故
5、选：C.2. (2022永州)下列因式分解正确的是()A. ax+ay=a (%+y) +1 B. 3a+3b=3 (.a+b)C. a2+4a+4= (q+4) 2D. a2+b=a (a+b)【解答】解：A选项，ax+ay=a (x+y),故该选项不符合题意；B选项，3a+3Z?=3 (a+b),故该选项符合题意；C选项，a2+4a+4= (a+2) 2,故该选项不符合题意；D选项，“2与没有公因式，故该选项不符合题意；故选：B.3. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是()A. 3 (a+b) =3a+3b B.层-=(。+1) (-1)C. a1-a+1 =a (qT)+1 D.
6、a2+2a+4= (a+2) 2【解答】解：A. 3 (a+b) =3a+3。,从等式的左边到右边的变形属于整式乘法， 不属于因式分解，故本选项不符合题意；B. a2-l= (a+1) (aT),由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题忌；C. a2-a+=a (aT) +1,有把把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于 因式分解，故本选项不符合题意；D. a2+2a+4 (a+2) 2,故本选项不符合题意.故选：B.E. (2022秋中山区月考)下列各式从左到右不属于因式分解的是()A. %2(%-1) B. x2+2x+1 =x(%+2) +1C. x2-6x+9=(%-3) 2
7、D. x2-l= (x+1) (xT)【解答】解：A、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意;B、右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项符合题意；C、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意；D、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意.故选：B.二.因式分解的方法1. (2022绥化)因式分解：(m+)2-6 (m+n) +9=.【解答】解：原式=Cm+n) 2-2*(w+)*3+32=(m+n-3) 2.故答案为：(m+n-?) 2.2. (2022河池)多项式-4%+4因式分解的结果是()A. % (x-4) +4 B. (%+2) (%-
8、2)C. (%+2) 2D. (%-2) 2【解答】解：原式=(尸2) 2.故选：D.3. (2022荷泽)分解因式：2_外2=.【解答】解：原式=(%-3y) (x+3y).故答案为：(x-3y) (%+3y).4. (2021 兰州)因式分解：xi-4x2+4x=()A. x(%-2) 2B. x (x2-4x+4) C. 2x(1-2) 2 D. x (x2-2x+4)【解答】解：原式=% (f-4尤+4) =x (%2) 2.故选：A.三.因式分解的应用1. (2022黔西南州)已知必=2, +尻3,求的值是. 【解答】解：ab+abab (a+b), ：ab=2, a+b=3,.二原
9、式=2X3=6.故答案为：6.2. (2022广安)已知a+b=l,则代数式/+2什9的值为.【解答】解：*.*a2-b2+2b+9= (a+b) Ca-b) +2b+9又 a+b=l, /.原式=。-加2匕+9=a+8+9=10.3. (2022春顺德区校级月考)三角形三边长分别是a,b,c,且满足c-b+ac-hc, 则这个三角形是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.形状不确定【解答】解：三角形三边长分别是a力,c,，a+b+c0,/.a2-b2+ac-bc= (a+力)Ca-b) + (a-b) c= (a-b) (.a+b+c) =0,.a-b=0,.这个三角形是等腰三角
10、形，故选：A.4. (2022春顺德区校级期中)小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中 有这样一条信息：%T, a-b,3, x2+l, ax+i分别对应下列六个字：中，爱，我, 数，学，一，现将3a(2-1) -3b (x2-1)因式分解，结果呈现的密码信息可能 是()A.我爱学B.爱一中C.我爱一中 D. 一中数学【解答】解:3a (fT) -3b (x2-1) =3 (x+1) (x-l) (ab), 故选：C.【真题演练】1. (2021 兴安盟)下列等式从左到右变形，属于因式分解的是()A. (a+Z?) (4-。)=a1-b2 B. x2_2x+1 = (%-1) 2C- 2a
11、-1=a6D.，+6%+8r (无+6) +8【解答】解：A. (a+0)3b) =4白,原变形是整式乘法，不是因式分解，故 此选项不符合题意；B. /-2%+仁(x-1) 2,把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意;C. 2-(2)，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此 a选项不符合题意；D. 1?+6%+8=%(%+6)+8,等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：B.2. (2020河北)对于%-3盯=% (1-3丁)，(%+3) (x-l) =x2+2x?,从左到右的变形，表述正确的是()A.都是因式分解
12、B.都是乘法运算C.是因式分解，是乘法运算D.是乘法运算，是因式分解【解答】解：九-3孙=% (l-3y),从左到右的变形是因式分解；(%+3) (x-1) =/+2%-3,从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以是因式分解，是乘法运算.故选：C.3. (2022春南岸区校级月考)下列因式分解正确的是()A. x2-y2= (%-y) 2B. x2-1 +2x= (x-1) (x+1) +2xC. m2+3m+2n2= (m+2n) (m+M)D. -c+lab-b1=- (a+b) 2【解答】解：A. f-y2=(%+y)(犷y),因此选项A不符合题意；B. x2-1 +2x= (xT
13、 ) (x+1) +2%,不符合因式分解的定义，因此选项B不符合题意；C. m2+3m+2n2= (m+2/i) (m+n),因此选项 C 符合题意；D. -a2+2ab-b2=- Ca-b) 2,因此选项D不符合题意；故选：C.4. (2022春丽水期末)下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )A. fTB. x2+2x C. x1+2x+ 1 D. x2-2x 1【解答】解：A. -1= (x+1) (x-1),可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意；B. f+2%=% (%+2),可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题 思；C. f+2%+仁(x+1
14、) 2,可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合 题意；D. -2x-l,不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C.5. (2022春高邑县期末)已知甲、乙、丙均为含的整式，且其一次项的系数 皆为正整数.若甲与乙相乘的积为f-4,乙与丙相乘的积为2-2%,则甲与丙相 乘的积为()A. 2x+2 B. f+2x C. 2x-2 D,【解答】解：甲与乙相乘的积为X2-4=(X+2)(k2),乙与丙相乘的积为X2-2%=% (厂2),二甲为x+2,乙为x-2,丙为x,则甲与丙相乘的积为 (x+2) =+2x,故选：B.6. (2022春蜀山区校级期中)若2+力=16
15、+勿2,庐+次?=9-九则a+b的值为()A. 5 B. 5 C. 4 D. 4【解答】解：: a2+ab=16+m,b2+ab=9m,: (c+ah) + (b2+ab) = (16+m) + (a+b) 2=25, /.a+b= 5,故选：A.7. (2022春西安期末)利用因式分解计算：11 X 1022-11 X982的结果是()A. 44 B. 800 C. 2200 D. 8800【解答】解：原式二11 X(1O22-982) = 11X( 102+98) X (102-98) = 11x200x4=8800. 故选：D.8. (2022哈尔滨)把多项式孙2-9x分解因式的结果是.
16、 【解答】解：xy2-9x=x (y29) =x (y+3)(厂3),故答案为：% (y+3)(广3).9. (2022长沙模拟)下列从左到右的变形，属于因式分解的是()A.(尤 + 3)(尤-3) = %2 -9B r一9 + x = (x + 3)(% 3) xC. xy2 -x2y = xy(y-x)D. x2 + 5a： + 4 = x(x + 5) + 4【解答】解：a.从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意;B.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故5不符合题意；C.是因式分解，故。符合题意；D.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故。不符合
17、题意.故选：C.10. (2022南京模拟)下列多项式能用完全平方公式分解因式的是()A. x2 - 2x-lB. a2 -b2C. x2 -2xy D. a2 -6a+ 9【角牟答】解：tz2 -6a + 9 = (tz-3)2.故选：D.11. (2022金东区二模)下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是( )A. cr 1B. cr + 2a+1 C. cr +4D. 9a 6a +1【解答】解：A、原式= (a + l)(a-l),不符合题意；B、原式= (a + l)2,不符合题意；C、原式不能分解，符合题意；D、原式= (3a-l)2,不符合题意.故选：C.12. (202
18、2 宁波自主招生)若a, b为整数，且dr i是方9+川+的一个因式， 则a的值为.【解答】解：7 丁 一一1是苏 +乐8 +i的因式，当 d - x -1 = 0 时，ax)+ fer8+1 = 0,设与，%是d -1-1 = 0的两根，/.+工2 =1，X-2 二-1，XX；-XX：得：竭九；+ - （渥X： + X； ） = 0 ,/. Q（X - %2）= X： 一 89同理可得：x：+x；=9-2 = 7,.*.61 = 7x3x1 = 21 .故答案为：21.13. (2022南京模拟)2丁一8%的公因式是 【解答】解：2/8%的公因式是2% .故答案为：2%.14. (2022市
19、中区二模)因式分解：2/+6。=【解答】解：2a2 + 6a = 2以(a+ 3),故答案为：2a(a + 3).15. (2022开平市模拟)分解因式：m2-m = 解答解:nr -m = m(m-1).故答案为：m(m-l).16. (2022乐陵市模拟)因式分解：/一4= 【解答】解：a2 -4 = (a + 2)(a-2).故答案为：(a + 2)(a - 2).17. (2022宛城区一模)因式分解：2aM-8a = 【解答】解：原式=2。(川-4)=2a(m I 2)(m 2).故答案为：2a(m+ 2)(m- 2).18. (2022保亭县二模)因式分解：3m2-3 = 【解答】
20、解:原式=3(疗_1)= 3(根1)(根+ 1), 故答案为：3(wi-1)(w7 + 1).19. (2022涡阳县二模)在实数范围内分解因式：2d6=.【解答】解：2x2-6 = 2(x2 -3) = 2(x + /3)(x-.故答案为2(x + G)(x-G).20. (2022秋老河口市期中)写出一个单项式，使得它与多项式3%+2y的和为 单项式.【解答】解：可填单项式-3% (答案不唯一)，故答案为：-3% (答案不唯一).21. (2021秋淇县期末)仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式2一4% +%有一个因式是( + 3),求另一个因式以及加的值.解：设另一个因式为(x + )，得x2 - 4x + m-(x +3)(% + n)贝!J f - 4% + 根=%，+ ( + 3)x + 3nJ + 3 = -4m = 3n解得： =一7, m = -21.另一个因式为(I-7),加的值为-21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2d+3x-左有一个因式是(2x-5),求另一个因式以及女的值.【解答】解：设另一个因式为(x + a),得：+ 3x -攵=(2x - 5)(x + q),贝! 2x? + 3x - k =2厂 + (2q- 5)x - 5ci,2。5 = 3z. .5ci = k解得：q = 4, k = 2。.