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1、因式分解精选考点专项突破卷(2)考试范围：因式分解；考试时间：90分钟；总分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1. (2020沈阳市第一二七中学初二月考)下列等式从左到右的变形属于因式分解的是()A. a2 - 2a+l= (a - 1) 2B. a (a+l) (a - 1) =a3 - a? 1C. 6x2y3=2x2*3y3D. x +1 = x(x + )【答案】A【解析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案.【详解】A、是因式分解，故A正确；B、是整式的乘法运算，故B错误；C、是单项式的变形，故C错误；D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误
2、；故选：A.【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式.2. (2020沈阳市第一二七中学初二月考)下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是(C. x2-xy+y2D. 9+x2 - 3xA. x2+2x - 1【答案】B【解析】根据“多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是“可知，本题主要考查的是用完全平方公式进 行因式分解.而能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方 和的形式，另-项是这两个数(或式)的积的2倍，据此判断即可.【详解】A.x2+2x - 1不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合
3、题意;B.x2-x4-(x-1)2,能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意；C.d+xy+f不能直接用完全平方公式进行因式分解,故此选项不合题意；D. 9+x2 - 3x不能直接用完全平方公式进行因式分解,故此选项不合题意； 故选B.【点睛】本题考查用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.3.(2019山东省初二期末)在实数范围内,下列多项式：初-9;在-6;f_ 3；(4)(x + 1)2-(x-1)2,其中能用平方差公式进行分解因式的个数为() 正确的因式分解过程为:x2+6x + 9 = (x + 3)2.【点睛】本题考查因式分解与整式乘法，熟知因式分解与多
4、项式相乘是互逆运算是求解的关键.五、解答题三(每小题10分，共20分)24.(2019山西省初二月考)先分解因式，再求值.(1)已知多项式+其中。=1, b =2(2)已知。一 b = 2, ab = 8,求.22【答案】(1)aa-2b)2,4； (2) -ah(a-b)2,16【解析】(1)先将多项式根据提公因式法和完全平方公式分解因式，再将a、b的值代入计算；(2)先将多项式根据提公因式法和完全平方公式分解因式，再将。-6 = 2、。6 = 8的值代入计算.【详解】解：(1) 4/6 + 4/ = aa-2b）2.当 q = 1, 6 =,时, 2原式=（I）2=4.(2) d b b2
5、 Tab，22当 a-b = 2,。6 = 8 时，1 ?原式= x8x22=16 .【点睛】此题考查多项式的因式分解求值，将多项式正确分解因式是解题的关键.25. (2019山西省初二月考)下面是某同学对多项式(Y6x + 7)(6x + ll) + 4进行因式分解的过程.解：设6x = y ,原式=3 + 7）。+ 11） + 4 （第一步）=/+18 + 81 （第二步） 二 （ + 9）2 （第三步）= (x2-6x + 9)(第四步)请你回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的;A.提公因式法B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学因
6、式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果;(3)仿照以上方法因式分解：(V2x)(Y2x + 2)+ 1.【答案】(1)C；(2) (x-3)4；(3) (x 【解析】(1)根据公式法分解因式可得答案；(2)先将6x + 9分解因式得(x 3，由此得到答案；(3)设%2 2% = y,得到原式=(y+l)2,将/ 2% = y代回得至限/ 2% + 1尸，再将括号内根据完全平 方公式分解即可得到答案.【详解】解：(1)由丫2 + 18丫 + 81 = (丫+9)2是运用了因式分解的两数和的完全平方公式，故选：C；(2) Vx2-6x+9=(x-3)2,/. (%2 6x+9=(x -
7、3)4,故答案为：(x 3)4；(3)设 Y -21二y ,原式=Mv+2)+i,+ 2y +1，= (y+i)2 ,二 (x?-2x + l),= (1)、【点睛】此题考查特殊方法分解因式，完全平方公式分解因式法，分解因式时注意应分解到不能再分解为 止.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】根据平方差公式的特点：两项平方项，符号相反；完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同, 另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】(1) x2-9=%2-32,所以可以；(2) / 6=%2 (遍)2,所以可以；(3) / 3=%2一(遮)2,所以可以；(4) (% +
8、 1)2 1)2,所以可以；综上可得，能用平方差公式进行分解因式的个数有4个.故选：D.【点睛】考查了公式法分解因式，有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式 分解因式.4. (2019湖北省初二期末)下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是()A. m2 - n2+2= (m+n) (m - n) +2 B. (x+2)(x+3) =x2+5x+6C. 4a2 - 9b2= (4a - 9b)(4a+9b) D. (a - b) 3 - b (b - a) 2= (b - a) 2 (a - 2b)【答案】D【解析】直接利用因式分解的定义进而分析得出答案.【详
9、解】解：A、m2-n2+2= (m+n) (m-n) +2,不符合因式分解的定义，故此选项错误.B、(x+2) (x+3) =x2+5x+6,是整式的乘法运算，故此选项错误；C、4a2-9b2= (2a-3b) (2a+3b),故此选项错误；D、(a-b) 3-b (b-a) 2=- (b-a) 3-b (b-a) 2=(b-a) 2 (a-2b),是因式分解，故此选项正确；故选：D.【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的定义是解题关键.5. (2019安徽省初三一模)下面的多项式中，能分解因式的是()A. a2-6a + 9 B. a2-2a + 4 C. 4a2+b2 D
10、. -a2-16b2【答案】A【解析】根据因式分解的方法逐项分析即可.【详解】A.小一 6q+9=(a-3)2,故符合题意；B.q2 2a + 4不能因式分解，故不符合题意；C 4a2 +川不能因式分解，故不符合题意；D.-次162不能因式分解，故不符合题意；故选：A.【点睛】此题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用 的方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能分解为 止.6. （2020宁夏中宁县第三中学初二期中）把多项式一8a2 b3c+l6a2 b2 c224a3bc3分解因式，应提的公因式是（）A.
11、8a2beB. 2 a2 b2 c3C. -4abcD. 24 a3 b3 c【答案】A【解析】公因式是多项式每个部分所含有的公共常数和因式.【详解】解：-8、16、-24的最大公约数是-8,小官5 a2b2c2、q3A3的公因式为小儿，故应提的公因式是一8小儿.故选：A【点睛】本题考查提公因式法分解因式.7. （2019西安市铁一中学初二期中）已知多项式F+依-6因式分解的结果为（x+2） （x+力，则。+力的值 为（）A. - 4B. -2C. 2D. 4【答案】A【解析】根据题意列出等式，再利用多项式相等的条件求出。与6的值，然后代入求值即可.【详解】解：根据题意得：x2ax -6= （
12、x+2） （x+力）=3+ （b+2） x+23，。=6+2, 2b = - 6,解得：q=-1, b 3,二。+/?= - 1 - 3- - 4?故选：A.【点睛】本题主要考查因式分解与整式乘法的关系，掌握因式分解与整式乘法是互逆的变形过程是解题的 关键.8. (2020重庆南开中学初二月考)分解因式加(x-3) +b (x-3)的正确结果是()A. (x-3)(加+力)B. b (x-3) (Ml)C. (x-3)(加一力)D. b(k3) (AT)【答案】B【解析】试题解析:b2 (x - 3) +b (x - 3),=b (x - 3) (b+1).故选B.9. (2017,天津初三二
13、模)若n (九。0)是关于x的方程/ +血 + 2九=0的根，则m+n的值为()A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】D【解析】将n代入方程,提公因式化简即可.【详解】解：:Mn H 0)是关于x的方程x? + mx + 2n = 0的根，n2+ mn + 2n = 0,即 n (n+m+2)=0,n H 0, n+m+2=0,即 m+n=-2,故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n是解题关键.10. (2020温州外国语学校初二月考)平行四边形的两条相邻的边长为。、b,且满足/=则此四边形一定是()A.矩形B.正方形C.菱形D.无法确定【答案】C【
14、解析】先将已知等式变形为=0,由此可得4=6,再根据菱形的判定方法判断即可.【详解】解：/_/ =必必2,a2 2ab+ Z?2= 0 即(Q 6) =0,；a=b,原平行四边形为菱形.故选：C.【点睛】本题考查了多项式的因式分解和菱形的判定等知识，属于基本题型，正确进行变形、得出。=b是 解题的关键.二、填空题(每小题4分，共28分)11. (2019北京101中学初三月考)分解因式：a? 3,原式=x2? = 1643故答案为：一.【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法正确进行因式分解是解题关键.14. (2019重庆八中初二课时练习)已知正方形的面积为9x2+30xy+25y2
15、(x0, y0),利用因式分解，可-ab2=.【答案】a(a + b)(a-b)【解析】先提取公因式a,再利用平方差公式分解因式即可得答案.【详解】a3-ab2=a(a2-b2)=a(a+b)(a-b).故答案为：a(a+b)(a-b)【点睛】本题考查因式分解，分解因式时有公因式的先提取公因式，再利用公式法进行分解，分解因式要 彻底，分解到不能分解为止，掌握提公因式法和公式法是解题关键.12. (2020四川省初三二模)因式分解：2xm2 - 12x/w+18x=.【答案】2x(m - 3) 2.【解析】首先提公因式2x,再根据完全平方公式进行二次分解即可.【详解】解：原式=2x (m2 -
16、6m+9) =2x (m - 3) 2.故答案为：2x (m-3) 2.【点睛】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式是解题关键.313. (2019重庆八中初二课时练习)已知a b = 2, ab = 9贝!Id人一2/尸+次 =.163【答案】4【解析】现将原式进行因式分解，然后代入求值即可【详解】解：(fb-2alf+ 必3 =火/ -2ab+)=ab(a-Z?)23当 a b = 2 , ab =，16以求出正方形的边长为.【答案】3x+5y【解析】认真阅读题目，可以发现，将已知正方形的面积利用完全平方公式分解因式后，即可表示出正方 形的边长.【详解】解：9N+30xy+25y2=(3x
17、+5y)2,因为x0, y0,二.该正方形的边长为(3x+5y).故答案为(3x+5y).【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.两数和(或差)的平方，等于 它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完 全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.15. (2020宁夏中宁县第三中学初二期中)把多项式nP (a-2) +m (2 - a)分解因式等于.【答案】：m (a-2) (m- 1)【解析】m2 (a-2) +m (2 - a) =m2 (a - 2) - m (a - 2) =m (a - 2) (m -
18、1).故答案为m (a-2) (m - 1).16. (2019江苏省高港实验学校初一期中)若加+胆-i=o,则3+2帆2+2020的值为.【答案】2021【解析】根据已知求出m2+m=l,把所求的代数式化成含有m2+m的形式，代入求出即可.【详解】V m2+m-l=0,/. m2+m=l./. m3+2m2+2020=m(iTi2+m)+m24-2020=m0,即故答案为：.【点睛】本题考查了利用作差法比较两个整式大小的方法、多项式的因式分解和非负数的性质，属于常考 题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键.三、解答题一(每小题6分，共18分)18. (2020郛城县南赵楼镇初级中学初二月考)分
19、解因式：(1) 8a3b2+12ab3c；(2) (2x+y) 2- (x+2y) 2.【答案】(1) 4ab2 (2a2+3bc)； (2) 3 (x+y) (x - y).【解析】(1)直接提取公因式4ab2,进而分解因式即可；(2)直接利用平方差公式分解因式得出答案.【详解】解：(1) 8a3b2+12ab3c=4ab2 (2a2+3bc)；(3) (2x+y) 2- (x+2y) 2=(2x+y+x+2y) (2x+y-x-2y)=3 (x+y) (x-y).19. (2018上海初一期中)计算：(JJ 2)2(6 + 2)2.【答案】-873【解析】借用平方差公式进行因式分解，然后合
20、并同类二次根式再进行实数的乘法运算即可.【详解】原式= (G 2 + G + 2)(G 2 62) = 26x(4)=86.【点睛】本题考查了运用因式分解简化无理数运算.20. (2020宁夏中宁县第三中学初二期中)先因式分解，再求值：(2x-3y)2-(2x+3y)2,其中x=L y=L68【答案】-24xy,【解析】先利用平方差公式因式分解，然后代入求值即可.【详解】解：(2x3y)2(2x+3y)2=(2x -3y)-(2x + 3y)(2x-3y) + (2x+3y)=2x 3y2x 3y 2x-3y+2x+3y=-6y 4x=-24xy将乂=工，y=1代入，得68111原式=-24
21、X - X -=6 82【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用平方差公式因式分解是解决此题的关键.四、解答题二(每小题8分，共24分)21. (2019山东省初二期末)因式分解：2?8(八2)2 _ 6,+2) + 9【答案】(1) 2(x+2)(x-2)；(2) (x+l)2(x-l)2【解析】(1)先提取公因式2,再利用平方差公式进行计算；(2)先运用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解.【详解】(1)2x2-8=2 (x2-4)=2 (x+2) (x-2)；(2) (x2+2)2-6(x2+2) + 9= (x2+2)2-2x3x(x2+2) + 32= (x2+2-3)2=(x+
22、1) 2 (x-1) 2【点睛】考查了因式分解，解题关键是熟记完全平方公式和平方差公式的特点，并利用其进行因式分解.22. (2020河南省初二月考)已知a, b, c分别是AABC的三边长.(1)分解因式：ac - bc=, (2) - a2+2ab - b2=；(2)若ac - bc= - a2+2ab - b2,试判断AABC的形状；并说明理由.【答案】。S6),(。6)2；(2) 4ABC是等腰三角形，理由见解析；【解析】(1) ac-bc提出公因式c得c (a-b)；-a2+2ab-b2提出负号得-(a2-2ab+b2)再利用完全公式法 得-(a-b) 2；(2)利用上面因式分解的结
23、果，写出等式c (a-b) =- (a-b) 2,移项后得到c (a-b) + (a-b) 2 = 0, 再利用提公因式法得到(a-b) (c+a-b) =0,得至Ua-b = 0, c+a-bWO,得出AABC的形状是等腰三角形.【详解】(1) ac-bc = c (a-b)a2+2abb2 = (a22ab+b2) = (ab) 2故答案为：c (a-b)；- (a-b) 2；(2) ac-bc=-a2+2ab-b2Ac (a-b) = (a-b) 2Ac (a-b) + (a-b) 2 = 0/. (a-b) (c + a-b) =0b、c分别是aABC的三边，满足两边之和大于第三边，即
24、c+a-b0Aa-b=O即a=b故4ABC的形状是等腰三角形.【点睛】本题考查因式分解以及应用.熟练掌握因式分解的几种常用方法(提公因式法、公式法、十字相 乘法、分组分解法等)是解决这种题型的关键.23.(2020江苏省初一期中)甲、乙两个同学分解因式%2+% + 6时，甲看错了6,分解结果为( + 2)(X + 4)；乙看错了。，分解结果为( +1)(%+ 9).请你分析一下。、b的值，并写出正确的因式分解过程.【答案】a=6； b=9； x2+6x+9=(x+3)2【解析】利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等求出a、b的值，再进行因式分解.【详解】解：甲看错了 b ,分解结果为(x + 2)(x + 4),且(x + 2) (x + 4) = X? + 6x + 8， a=6, 二乙看错了。，分解结果为(x + l)(x + 9),且(x + i)(x + 9) = x2 + i()x + 9 ,，b = 9, 原式为犬+61+ 9，