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1、1 高等代数高等代数高等代数高等代数面向面向面向面向2121世纪新教材世纪新教材世纪新教材世纪新教材高等代数高等代数高等代数高等代数面向面向面向面向2121世纪新教材世纪新教材世纪新教材世纪新教材矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义矩阵乘法矩阵乘法矩阵乘法矩阵乘法的应用的应用的应用的应用矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质2先从一个例子开始先从一个例子开始先从一个例子开始先从一个例子开始 :第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之假设牛肉、羊
2、肉、鸡蛋的价格在一周之假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之 内不发生变化，记录近三周牛肉、羊肉、鸡内不发生变化，记录近三周牛肉、羊肉、鸡内不发生变化，记录近三周牛肉、羊肉、鸡内不发生变化，记录近三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格，得到如下价格矩阵蛋的价格，得到如下价格矩阵蛋的价格，得到如下价格矩阵蛋的价格，得到如下价格矩阵(人民币人民币人民币人民币/千克千克千克千克).).第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：第三周牛肉、羊肉、鸡
3、蛋的价格：第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分别是别是别是别是3 3千克、千克、千克、千克、4 4千克、千克、千克、千克、2 2千克。则需求矩阵千克。则需求矩阵千克。则需求矩阵千克。则需求矩阵B B表示为：表示为：表示为：表示为：3这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为：这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为：这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为：这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为：这个计算过程可以用如下的矩阵形
4、式来表示：这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示：这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示：这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示：第一周：第一周：第一周：第一周：1212 3+11 3+11 4+6 4+6 2=922=92（元）（元）（元）（元）第二周：第二周：第二周：第二周：1111 3+11 3+11 4+7 4+7 2=912=91（元）（元）（元）（元）第三周：第三周：第三周：第三周：1111 3+10 3+10 4+7 4+7 2=872=87（元）（元）（元）（元）4 定义定义定义定义 设设设设A A A A=(=(a a a aij ij ij ij)是是是是m mm m n
5、n n n矩阵，矩阵，矩阵，矩阵，B B B B=(=(b b b bij ij ij ij)是是是是n n n n p p p p矩阵，则矩阵，则矩阵，则矩阵，则A A A A与与与与B B B B的乘积的乘积的乘积的乘积ABABABAB是一个是一个是一个是一个m mm m p p p p矩阵，这矩阵，这矩阵，这矩阵，这个矩阵的第个矩阵的第个矩阵的第个矩阵的第i i i i行第行第行第行第j j j j 列位置上的元素列位置上的元素列位置上的元素列位置上的元素c c c cij ij ij ij等于等于等于等于A A A A 的的的的第第第第i i i i行的元素与行的元素与行的元素与行的元
6、素与B B B B的第的第的第的第j j j j列的对应元素的乘积的和列的对应元素的乘积的和列的对应元素的乘积的和列的对应元素的乘积的和.即即即即运算过程演示运算过程演示运算过程演示运算过程演示演示演示5由矩阵的定义可以看出由矩阵的定义可以看出由矩阵的定义可以看出由矩阵的定义可以看出:两个矩阵的乘积两个矩阵的乘积两个矩阵的乘积两个矩阵的乘积ABABABAB亦是矩阵亦是矩阵亦是矩阵亦是矩阵,ABABABAB的行数等的行数等的行数等的行数等于矩阵于矩阵于矩阵于矩阵A A A A的行数的行数的行数的行数,ABABABAB的列数等于矩阵的列数等于矩阵的列数等于矩阵的列数等于矩阵B B B B的列的列的
7、列的列数数数数.前行乘后列前行乘后列前行乘后列前行乘后列:乘积矩阵乘积矩阵乘积矩阵乘积矩阵ABABABAB中第中第中第中第i i i i行第行第行第行第j j j j列的列的列的列的元素等于元素等于元素等于元素等于A A A A的第的第的第的第i i i i行与行与行与行与B B B B的第的第的第的第j j j j列对应元素乘列对应元素乘列对应元素乘列对应元素乘积之积之积之积之和和和和,简称行乘列的法则简称行乘列的法则简称行乘列的法则简称行乘列的法则。1.1.2.2.7想一想想一想想一想想一想:两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗？两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗？两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵
8、吗？两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗？矩阵矩阵矩阵矩阵要要要要满足满足满足满足什么条件才什么条件才什么条件才什么条件才能相乘能相乘能相乘能相乘呢？呢？呢？呢？矩阵的乘法是否满足交换律呢矩阵的乘法是否满足交换律呢矩阵的乘法是否满足交换律呢矩阵的乘法是否满足交换律呢?1.1.2.2.3.3.矩阵的乘法适合消去律吗矩阵的乘法适合消去律吗矩阵的乘法适合消去律吗矩阵的乘法适合消去律吗?4.4.返回返回例例 1 1例例2,2,例例3 3例例 4 4例例5,5,例例6 68矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质:1.1.结合律结合律结合律结合律 (ABABABAB)C C C C=A A
9、A A(BCBCBCBC),其中其中其中其中A A A A=(a a a aij ijij ij)m mm mn nn n,B B B B=(b b b bij ijij ij)n nn np pp p,C C C C=(c c c cij ijij ij)p pp pq qq q.2.2.数乘结合律数乘结合律数乘结合律数乘结合律 k k k k(ABABABAB)=()=(kAkAkAkA)B B B B=A A A A(kBkBkBkB),其中其中其中其中k k k k为任意实数为任意实数为任意实数为任意实数.A A A A=(a a a aij ij ij ij)m mm m s s s
10、 s ，B B B B=(b b b bij ij ij ij)s s s s n n.3.3.分配律分配律分配律分配律 (A A A A+B B B B)C C C C=A A A AC C C C+B B B BC C C C,其中其中其中其中A A A A,B B B B都为都为都为都为m mm m n n n n矩阵矩阵矩阵矩阵,C C C C=(c c c cij ij ij ij)n n n n s s s s.C C C C(A A A A+B B B B)=)=C C C CA A A A+C C C CB,B,B,B,其中其中其中其中C C C C为为为为m mm m n n
11、 n n 矩阵矩阵矩阵矩阵,A A A A,B B B B都为都为都为都为n n n n s s s s矩阵矩阵矩阵矩阵.返回返回证明证明证明证明9 任意给定任意给定任意给定任意给定r r r r个矩阵个矩阵个矩阵个矩阵A A A A11,A A A A22,A A A Ar rr r,只要前一个矩阵的只要前一个矩阵的只要前一个矩阵的只要前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数列数等于后一个矩阵的行数列数等于后一个矩阵的行数列数等于后一个矩阵的行数,就可以把它们依次相乘就可以把它们依次相乘就可以把它们依次相乘就可以把它们依次相乘,由于矩阵的乘法满足结合律由于矩阵的乘法满足结合律由于矩阵的乘法满足结
12、合律由于矩阵的乘法满足结合律,在作这样的乘积时在作这样的乘积时在作这样的乘积时在作这样的乘积时,可以可以可以可以把因子任意结合把因子任意结合把因子任意结合把因子任意结合,而乘积而乘积而乘积而乘积A A A A11A A A A22A A A Ar rr r有完全确定的意义有完全确定的意义有完全确定的意义有完全确定的意义.我们再约定我们再约定我们再约定我们再约定A A A A00=I I I In.n.n.n.这样这样这样这样,一个一个一个一个n n n n阶方阵的任意非负整数次方有意义阶方阵的任意非负整数次方有意义阶方阵的任意非负整数次方有意义阶方阵的任意非负整数次方有意义(以后要定义某些特殊
13、方阵的负整数次方以后要定义某些特殊方阵的负整数次方以后要定义某些特殊方阵的负整数次方以后要定义某些特殊方阵的负整数次方,将会看到将会看到将会看到将会看到,并不是每个方阵都有负整数次方并不是每个方阵都有负整数次方并不是每个方阵都有负整数次方并不是每个方阵都有负整数次方).).多个矩阵的乘积多个矩阵的乘积多个矩阵的乘积多个矩阵的乘积 A A A Ar rr r=AAAAAAAAA A A A.r r个个A A特别地特别地特别地特别地,一个一个一个一个n n阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵A A的的的的r r次方次方次方次方(r(r是正整数是正整数是正整数是正整数)有意义有意义有意义有意义.10例例例例7
14、7 设设设设A A A A是是是是n n n n阶数量矩阵阶数量矩阵阶数量矩阵阶数量矩阵.即即即即B B B B=(=(b b b bij ijij ij)是是是是n n n n p p p p矩阵矩阵矩阵矩阵,计算计算计算计算AB.AB.AB.AB.因此有因此有因此有因此有ABABABAB=kBkB.即用数量矩阵即用数量矩阵即用数量矩阵即用数量矩阵A A乘以矩阵乘以矩阵乘以矩阵乘以矩阵B B B B时时时时,相当于用数相当于用数相当于用数相当于用数k k k k乘矩乘矩乘矩乘矩阵阵阵阵B B B B.如果如果如果如果C C C C 是是是是m mm m n n n n矩阵矩阵矩阵矩阵,那么类
15、似地容易验证那么类似地容易验证那么类似地容易验证那么类似地容易验证CACA=kC.kC.即即即即C C C C乘以数量矩阵乘以数量矩阵乘以数量矩阵乘以数量矩阵A A A A时时时时,相当于用数相当于用数相当于用数相当于用数k k k k乘矩阵乘矩阵乘矩阵乘矩阵C C C C.这就是数量矩阵这就是数量矩阵这就是数量矩阵这就是数量矩阵有时也叫做数乘矩阵的原因有时也叫做数乘矩阵的原因有时也叫做数乘矩阵的原因有时也叫做数乘矩阵的原因.11特别地特别地特别地特别地,在在在在n n n n阶数量矩阵中阶数量矩阵中阶数量矩阵中阶数量矩阵中,当当当当k k=1=1时时时时,A A A A就变成为就变成为就变成
16、为就变成为称称称称I I I In nn n为为为为n n n n阶单位矩阵阶单位矩阵阶单位矩阵阶单位矩阵,这时这时这时这时,有有有有I I I In n n n B B B B=B B B B,C IC IC IC In nn n=C C C C.因此因此因此因此,n n n n阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵I I I In nn n在矩阵的乘法运算中所起的作用在矩阵的乘法运算中所起的作用在矩阵的乘法运算中所起的作用在矩阵的乘法运算中所起的作用相当于数相当于数相当于数相当于数1 1在数的乘法运算中所起的作用在数的乘法运算中所起的作用在数的乘法运算中所起的作用在数的乘法运算中所起的作用,这就是为这就
17、是为这就是为这就是为什么把什么把什么把什么把 I I I In nn n称为单位矩阵的原因称为单位矩阵的原因称为单位矩阵的原因称为单位矩阵的原因.我们以后还会发现我们以后还会发现我们以后还会发现我们以后还会发现I I I In nn n的更多的类似于数的更多的类似于数的更多的类似于数的更多的类似于数1 1的性质的性质的性质的性质.12例例例例8 8 考虑一般形式的线性方程组考虑一般形式的线性方程组考虑一般形式的线性方程组考虑一般形式的线性方程组其其系数矩阵系数矩阵和和增广矩阵增广矩阵分别是分别是则线性方程组可由它的增广矩阵唯一确定则线性方程组可由它的增广矩阵唯一确定则线性方程组可由它的增广矩阵
18、唯一确定则线性方程组可由它的增广矩阵唯一确定.反过来反过来反过来反过来,线性方程线性方程线性方程线性方程组也唯一地确定它的增广矩阵组也唯一地确定它的增广矩阵组也唯一地确定它的增广矩阵组也唯一地确定它的增广矩阵,我们令我们令我们令我们令13称此式为线性方程组的矩阵形式称此式为线性方程组的矩阵形式称此式为线性方程组的矩阵形式称此式为线性方程组的矩阵形式.因此原线性方程组可写为因此原线性方程组可写为因此原线性方程组可写为因此原线性方程组可写为AXAXAXAX=B.B.B.B.计算矩阵乘积计算矩阵乘积计算矩阵乘积计算矩阵乘积AXAXAXAX14计算计算计算计算A A A A11X X X X:在上题中
19、在上题中在上题中在上题中,令令令令:同样计算同样计算同样计算同样计算A A A A22X,X,X,X,A,A,A,An nn nX X X X 可得可得可得可得,15所以所以所以所以A A A A=A A A A11+A A A A22+A A A An nn nAXAXAXAX=(=(A A A A11+A A A A22+A A A An nn n)X X X X=A A A A11X X X X+A A A A22X X X X+A A A An nn nX.X.X.X.因此线性方程组的矩阵形式可写成如下形式因此线性方程组的矩阵形式可写成如下形式因此线性方程组的矩阵形式可写成如下形式因此
20、线性方程组的矩阵形式可写成如下形式这个形式叫做线性方程组的向量形式这个形式叫做线性方程组的向量形式这个形式叫做线性方程组的向量形式这个形式叫做线性方程组的向量形式.,16例例例例9(9(计算机机时汇总计算机机时汇总计算机机时汇总计算机机时汇总):):一台智星计算机一台智星计算机一台智星计算机一台智星计算机,完成某个项目完成某个项目完成某个项目完成某个项目,该项目有该项目有该项目有该项目有6 6项类型项类型项类型项类型1 1的工作的工作的工作的工作,8,8项类型项类型项类型项类型2 2的工作的工作的工作的工作,10,10项类型项类型项类型项类型3 3的的的的工作工作工作工作,问这台计算机完成该项
21、目需要多长的工作时间问这台计算机完成该项目需要多长的工作时间问这台计算机完成该项目需要多长的工作时间问这台计算机完成该项目需要多长的工作时间?类型类型类型类型1 1的问题的问题的问题的问题需用需用需用需用3 3分钟分钟分钟分钟!需用需用需用需用4 4分钟分钟分钟分钟!类型类型类型类型2 2的问题的问题的问题的问题类型类型类型类型3 3的问题的问题的问题的问题需用需用需用需用2 2分钟分钟分钟分钟!则表示各种类型工作所需的时间矩阵可令为则表示各种类型工作所需的时间矩阵可令为则表示各种类型工作所需的时间矩阵可令为则表示各种类型工作所需的时间矩阵可令为:表示各种类型工作的个数矩阵可令为表示各种类型工
22、作的个数矩阵可令为表示各种类型工作的个数矩阵可令为表示各种类型工作的个数矩阵可令为:那么所需时那么所需时那么所需时那么所需时间的总数可间的总数可间的总数可间的总数可如下计算如下计算如下计算如下计算:这里这里这里这里(70)(70)是一个是一个是一个是一个1111矩阵矩阵矩阵矩阵(可以把可以把可以把可以把(70)(70)和和和和7070看成是一看成是一看成是一看成是一样的样的样的样的),),即所需总时数为即所需总时数为即所需总时数为即所需总时数为7070分钟分钟分钟分钟.19 假设不仅有一台计算机假设不仅有一台计算机假设不仅有一台计算机假设不仅有一台计算机,而是有而是有而是有而是有4 4台计算机
23、台计算机台计算机台计算机:智星智星智星智星,神神神神童童童童,奔腾及银河奔腾及银河奔腾及银河奔腾及银河,那么我们有一个不同的计算机完成不那么我们有一个不同的计算机完成不那么我们有一个不同的计算机完成不那么我们有一个不同的计算机完成不同类型工作的机时矩阵同类型工作的机时矩阵同类型工作的机时矩阵同类型工作的机时矩阵:智星完成类型智星完成类型智星完成类型智星完成类型1 1、2 2、3 3的工作所需的时间的工作所需的时间的工作所需的时间的工作所需的时间:银河完成类型银河完成类型银河完成类型银河完成类型1 1、2 2、3 3的工作所需的时间的工作所需的时间的工作所需的时间的工作所需的时间:神童完成类型神
24、童完成类型神童完成类型神童完成类型1 1、2 2、3 3的工作所需的时间的工作所需的时间的工作所需的时间的工作所需的时间:奔腾完成类型奔腾完成类型奔腾完成类型奔腾完成类型1 1、2 2、3 3的工作所需的时间的工作所需的时间的工作所需的时间的工作所需的时间:为了计算每台计算机完成为了计算每台计算机完成为了计算每台计算机完成为了计算每台计算机完成6 6项项项项类型类型类型类型1 1的工作的工作的工作的工作,8,8项类型项类型项类型项类型2 2的工作的工作的工作的工作,10,10项类型项类型项类型项类型3 3的工作的工作的工作的工作,所需的时间分别所需的时间分别所需的时间分别所需的时间分别有多长有
25、多长有多长有多长,只需进行如下计算只需进行如下计算只需进行如下计算只需进行如下计算:所以选择智星计算机完成这个项目比较省时所以选择智星计算机完成这个项目比较省时所以选择智星计算机完成这个项目比较省时所以选择智星计算机完成这个项目比较省时.20 下面让我们不只对一个项目下面让我们不只对一个项目下面让我们不只对一个项目下面让我们不只对一个项目,而是对而是对而是对而是对3 3个项目进行个项目进行个项目进行个项目进行计算计算计算计算.假设假设假设假设3 3个项目所包含的类型个项目所包含的类型个项目所包含的类型个项目所包含的类型1,2,31,2,3的工作个数如下的工作个数如下的工作个数如下的工作个数如下
26、矩阵表示矩阵表示矩阵表示矩阵表示:矩阵中每一列表示每一个项目所矩阵中每一列表示每一个项目所矩阵中每一列表示每一个项目所矩阵中每一列表示每一个项目所包含类型包含类型包含类型包含类型1,2,31,2,3的个数的个数的个数的个数.进行如下计算进行如下计算进行如下计算进行如下计算 T T T T11N NN N11矩阵的每一行表示每台计算机完成矩阵的每一行表示每台计算机完成矩阵的每一行表示每台计算机完成矩阵的每一行表示每台计算机完成3 3个项目分别需要的个项目分别需要的个项目分别需要的个项目分别需要的时机数时机数时机数时机数,可以看出可以看出可以看出可以看出,如果安排智星计算机完成第一个项目如果安排智
27、星计算机完成第一个项目如果安排智星计算机完成第一个项目如果安排智星计算机完成第一个项目,由奔腾完由奔腾完由奔腾完由奔腾完成第二个项目成第二个项目成第二个项目成第二个项目,由银河完成第三个项目由银河完成第三个项目由银河完成第三个项目由银河完成第三个项目,所需的机时总数较少所需的机时总数较少所需的机时总数较少所需的机时总数较少.返回返回21 这一节主要讲了矩阵乘法的定义这一节主要讲了矩阵乘法的定义这一节主要讲了矩阵乘法的定义这一节主要讲了矩阵乘法的定义,矩阵乘法的矩阵乘法的矩阵乘法的矩阵乘法的性质以及矩阵乘法的应用性质以及矩阵乘法的应用性质以及矩阵乘法的应用性质以及矩阵乘法的应用.小结小结小结小结
28、1.1.矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义 主要讲了定义主要讲了定义主要讲了定义主要讲了定义,相乘的条件相乘的条件相乘的条件相乘的条件:前列数等于后行数前列数等于后行数前列数等于后行数前列数等于后行数.乘法的法则乘法的法则乘法的法则乘法的法则:前行乘后列前行乘后列前行乘后列前行乘后列.乘法不满足交换律乘法不满足交换律乘法不满足交换律乘法不满足交换律,不适合不适合不适合不适合消去律消去律消去律消去律.2.2.矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质乘法的结合律乘法的结合律乘法的结合律乘法的结合律,乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律.3.3.矩阵乘法的应用矩阵乘法的应用矩阵乘法的应用矩阵乘法的应用 实际应用的例子比较多实际应用的例子比较多实际应用的例子比较多实际应用的例子比较多,还有如建筑耗材问题还有如建筑耗材问题还有如建筑耗材问题还有如建筑耗材问题,图的邻接矩阵等例子图的邻接矩阵等例子图的邻接矩阵等例子图的邻接矩阵等例子,请课后阅读教材请课后阅读教材请课后阅读教材请课后阅读教材.返回返回22作业作业作业作业:教材教材教材教材P P105 105 第第第第7 7、第、第、第、第8 8、第、第、第、第9 9题题题题.返回返回2324