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1、第二类曲线积分第二类曲线积分第二节第二节 第十章第十章 一、第二类曲线积分的概念及性质一、第二类曲线积分的概念及性质二、两类曲线积分之间的联系二、两类曲线积分之间的联系 三、第二类曲线积分的计算三、第二类曲线积分的计算一、一、第二类曲线积分的概念及性质第二类曲线积分的概念及性质1.问题引入问题引入“分割，近似分割，近似,求和求和,取极限取极限”变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用L:A B,解决办法解决办法:求移动过程中变力求移动过程中变力联想：恒力联想：恒力沿直线做功沿直线做功所作的功所作的功W.2 取近似取近似把把L分成分成 n 个小弧段个小弧
2、段,有向小弧段有向小弧段近似代替近似代替,则有则有所做的功为所做的功为F 沿沿则则用有向线段用有向线段 在上任取一点在上任取一点1 分割分割 4 取极限取极限(其中其中 为为 n n 个小弧段的最大长度个小弧段的最大长度)3 求和求和变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功设设 L 为为xOy 平面内从平面内从 A 到到B 的一条的一条有向光滑弧有向光滑弧,若对若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在都存在(与分割和取点无关与分割和取点无关),在在L 上定义了一个有界上定义了一个有界向量函数向量函数极限极限2.定义定义10.2F(x,y)在有向曲线弧在有向
3、曲线弧 L 上的上的第二类曲线积分第二类曲线积分,或或对坐标的曲线积分，对坐标的曲线积分，记作记作则称此极限值为向量值函数则称此极限值为向量值函数积积分分曲曲线线第二类曲线积分的向量形式第二类曲线积分的向量形式第二类曲线积分的坐标形式第二类曲线积分的坐标形式对对 x 的曲线积分的曲线积分;对对 y 的曲线积分的曲线积分.注注 1 关于第二类曲线积分的几个术语关于第二类曲线积分的几个术语2 若若 为空间曲线弧为空间曲线弧 ,3如果如果L 是是闭曲线闭曲线,则对坐标则对坐标的曲线积分记为的曲线积分记为4对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分必须注意必须注意积分弧段的积分弧段的方向方向!5 变力沿曲线所作
4、的功变力沿曲线所作的功性质性质L1L2(3)有向性有向性:用用L 表示表示 L 的反向弧的反向弧,则则这是第一类和这是第一类和第二类曲线积第二类曲线积分的一个重要分的一个重要区别区别对坐标的曲线积对坐标的曲线积分必须注意积分分必须注意积分弧段的方向弧段的方向.二、两类曲线积分之间的联系二、两类曲线积分之间的联系起点：起点：A a，终点：终点：B b定理定理曲线曲线L的方程的向量形式：的方程的向量形式：xyOABLM(x,y)其其指向指向与与参数参数 t 增大增大时曲线时曲线 L上的点移动上的点移动的的方向一致方向一致.证证沿着沿着L的方向移动时，参数的方向移动时，参数 t 增加增加.于是于是另
5、一方面，另一方面，一方面一方面沿着沿着L的方向移动时，参数的方向移动时，参数 t 减少减少.综合综合(1)、(2)，得得可以推广到空间曲线上可以推广到空间曲线上 从而从而注注将积分将积分化为对化为对弧长的积弧长的积分分,解解(方法方法1)其中其中L 沿上半圆周沿上半圆周例例1切向量切向量与与L方向一致方向一致.其方向余弦：其方向余弦：切向量切向量与与L方向相反方向相反.与与L同方向的切向量：同方向的切向量：其方向余弦：其方向余弦：.(方法方法2)(方法方法3)三、第二类曲线积分的计算三、第二类曲线积分的计算定理定理10.2 设设 L 是一条平面有向光滑曲线弧，是一条平面有向光滑曲线弧，其其参数
6、方程为参数方程为则有则有首先证明：首先证明：由两类曲线的关系，得由两类曲线的关系，得证证再由第一类曲线积分的计算法，得再由第一类曲线积分的计算法，得同理可证同理可证即可；即可；代入上式，且同时换限代入上式，且同时换限.注注 1 a不一定不一定小于小于 b!即计算定积分：即计算定积分：2 如果如果 L 的方程为的方程为3 对空间光滑曲线弧对空间光滑曲线弧 :思考思考定积分定积分第二类第二类曲线积分曲线积分是！是！是否可看作第二类曲线积分的特例是否可看作第二类曲线积分的特例?xOABxOAB其中其中L 为沿抛物线为沿抛物线解解(方法方法1)取取 x 为参数为参数,则则从点从点的一段的一段.例例2
7、计算计算注意积分注意积分路径的路径的表示形式表示形式(方法方法2)取取 y 为参数为参数,则则-11注意积分注意积分路径的路径的表示形式表示形式其中其中 L 为为(1)半径为半径为 a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周,方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2)从点从点 A(a,0)沿沿 x 轴到点轴到点 B(a,0).解解 (1)L:(2)L:则则则则例例3 计算计算沿不同的路径沿不同的路径积分，其结果积分，其结果不同不同其中其中L为为(1)抛物线抛物线 (2)抛物线抛物线 (3)有向折线有向折线 解解(1)原式原式(2)原式原式(3)原式原式例例4 计算计算沿不同的路径沿不同的路径积分，所得到积分，所得到结果相同结果相同例例5 计算计算其中其中是从点是从点A(3,2,1)到点到点B(0,0,0)的直线段的直线段AB.解解 直线直线AB为为:内容小结内容小结1.定义定义2.性质性质3.计算计算4.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分必须注意必须注意积分弧段的积分弧段的方向方向!5.两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系解解例例3-1三点连成的折线段；三点连成的折线段；备用题备用题从从 z 轴正向看为顺时针方向轴正向看为顺时针方向.解解 的参数方程的参数方程:例例5-1 求求