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1、第二类曲线积分第二类曲线积分第二节第二节 第十章第十章 一、第二类曲线积分的概念及性质一、第二类曲线积分的概念及性质二、两类曲线积分之间的联系二、两类曲线积分之间的联系 三、第二类曲线积分的计算三、第二类曲线积分的计算一、第二类曲线积分的概念及性质一、第二类曲线积分的概念及性质1. 问题引入问题引入“分割，近似分割，近似, 求和求和, 取极限取极限” 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用L: A B,解决办法解决办法:求移动过程中变力求移动过程中变力),(, ),(),(yxQyxPyxF 联想：恒力联想：恒力沿直线做功沿直线做功所作的功所作的功W
2、. cosABFW ABFABF2 取近似取近似把把L分成分成 n 个小弧段个小弧段,有向小弧段有向小弧段kkMM1),(kkyx 近似代替近似代替, ),(kk则有则有kkkkyQxP ),(),(kk所做的功为所做的功为,kW F 沿沿kkMM1 kkkkMMFW1k),( nkkWW1则则用有向线段用有向线段 kkMM1 kkMM1 在上任取一点在上任取一点1 kMkMABxyL),(kkF ky 1 分割分割 kx 4 取极限取极限 nkW1),(),(kkkkkkyQxP nkW10lim kkkkkky)Q(x)P,( 1kMkMABxyL),(kkFkykx( (其中其中 为为
3、n n 个小弧段的最大长度个小弧段的最大长度) )3 求和求和变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功设设 L 为为xOy 平面内从平面内从 A 到到B 的一条的一条有向光滑弧有向光滑弧,若对若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在都存在(与分割和取点无关与分割和取点无关), niiiiiiiyQxP10),(),(lim 在在L 上定义了一个有界上定义了一个有界向量函数向量函数极限极限),(, ),(),(yxQyxPyxF 2. 定义定义10.2 niiiirF10),(lim, jyixriii其中其中 LryxFd),(F(x,y)在有向曲线弧在
4、有向曲线弧 L 上的上的第二类曲线积分第二类曲线积分, LyyxQxyxPd),(d),(或或对坐标的曲线积分，对坐标的曲线积分，记作记作 nikkkkkkyQxP10),(),(lim,| max1inir 则称此极限值为向量值函数则称此极限值为向量值函数积积分分曲曲线线 LryxFd),(第二类曲线积分的向量形式第二类曲线积分的向量形式 LyyxQxyxPd),(d),(第二类曲线积分的坐标形式第二类曲线积分的坐标形式 LxyxPd),( LyyxQd),(对对 x 的曲线积分的曲线积分;对对 y 的曲线积分的曲线积分.注注 1 关于第二类曲线积分的几个术语关于第二类曲线积分的几个术语2
5、若若 为空间曲线弧为空间曲线弧 , , ),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF d),(d),(d),(dzzyxRyzyxQxzyxPrF3如果如果L 是是闭曲线闭曲线, 则对坐标则对坐标的曲线积分记为的曲线积分记为 LLyyxQxyxPrFd),(d),(d4对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分必须注意必须注意积分弧段的积分弧段的方向方向! !5 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功 LyyxQxyxPWd),(d),(线性性质：线性性质：)1(可加性：可加性：)2( 21d),(d),(d),(LLLryxFryxFryxF LLLryxFryxFryxFyxFd)
6、,(d),(d),(),(2121组成组成和和由由21LLL性质性质1R ，L1L2(3) 有向性有向性: 用用L 表示表示 L 的反向弧的反向弧 , 则则 LLryxFryxFd),(d),(这是第一类和这是第一类和第二类曲线积第二类曲线积分的一个重要分的一个重要区别区别对坐标的曲线对坐标的曲线积分必须注意积分必须注意积分弧段的方积分弧段的方向向.,)()( tytxL ：设有向平面曲线弧设有向平面曲线弧的的方方向向角角同同方方向向的的切切向向量量处处与与上上点点LyxL),(二、两类曲线积分之间的联系二、两类曲线积分之间的联系起点：起点： A a， 终点：终点： B b且且为端点的区间上连
7、续，为端点的区间上连续，在以在以batt,)(),( . 0)()(22 tt 定理定理，则则为为 , LyyxQxyxPd),(d),( LsyxQyxPdcos),(cos),(曲线曲线L的方程的向量形式：的方程的向量形式：)(),()(tttrr :)()(lim)(0ttrttrtrt xyOABL)(trM(x, y)(ttr r )(tr 的的终终点点处处切切向向量量，在在曲曲线线)(trL其其指向指向与与参数参数 t 增大增大时曲线时曲线 L上的点移动上的点移动的的方向一致方向一致.)(ba )(ba )(tr 证证ttrrd)(d tttd)(),( )d,(dyx 22)(d
8、)(ddyxs |d|r.)(d的的方方向向一一致致同同方方向向，从从而而与与与与故故Ltrr 时时，当当ba 1沿着沿着L的方向移动时，参数的方向移动时，参数 t 增加增加.于是于是)1(dedsrr 0d t另一方面，另一方面，一方面一方面时时，当当ba 20d t沿着沿着L的方向移动时，参数的方向移动时，参数 t 减少减少.)2(d)e(dsrr 于于是是.)(d的的方方向向一一致致方方向向相相反反，而而与与与与故故Ltrr 综合综合(1)、 (2)，得得srLded .e同同方方向向的的单单位位切切向向量量是是与与其其中中LLttrrd)(d | )(|)(etrtrr 其其中中)()
9、()(,)()()(2222tttttt )cos,(cose LssrLd)cos,(cosded 时时当当，时时当当babarre,e LryxFd),( LLsyxFde),(),(, ),(),(yxQyxPyxF )d,(ddyxr )cos,(cose L LyyxQxyxPd),(d),(.dcos),(cos),( LsyxQyxP可以推广到空间曲线上可以推广到空间曲线上 从而从而,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt ,dcosdsx ,dcosdsy tttsd)()(d22 .”号号时时，取取“当当”号号；时时，取取“当当 baba注注将积分将积分
10、yyxQxyxPLd),(d),( 化为对化为对弧长的积弧长的积分分, ,0222 xyx).0 , 2()0 , 0(BO到到从从解解(方法方法1)oyxB,2:2xxyL 221xxxy 其中其中L 沿上半圆周沿上半圆周例例120:x)(ba 切向量切向量), 1()(yxrT 与与L方向一致方向一致.其方向余弦：其方向余弦：211cosy 221xxxy 22xx 21cosyy x 1syxQyxPyyxQxyxPLLdcos),(cos),(d),(d),( syxQxyxPxxLd),()1(),(22 oyxB,sincos1: tytxL0:t)(ba 切向量切向量)cos,s
11、in()(tttr 与与L方向相反方向相反.与与L同方向的切向量：同方向的切向量：)cos,(sin)(tttrT tsincos 其方向余弦：其方向余弦：y tcoscos x 1 .,22xx (方法方法2)sxddcos ,22xx syddcos x 1 yyxQxyxPLd),(d),( syxQyxPLd),(),( 22xx )1(x ,22xxy xxxxyd21d2 sdxyd12 xxxd212 oyxBBOLs弧长弧长(方法方法3)三、第二类曲线积分的计算三、第二类曲线积分的计算,),(, ),(上连续上连续在在LyxQyxP定理定理10.2 设设 L 是一条平面有向光滑
12、曲线弧，是一条平面有向光滑曲线弧， )()(tytx,:bat, 0)()(22 tt 其其参数方程为参数方程为时时，当当单单调调bat:.: ),(BAyxML沿沿点点为为和和在在以以batt)(),( 连续的导数，且连续的导数，且端点的区间上具有一阶端点的区间上具有一阶 LyyxQxyxPd),(d),(则有则有 battP )(),( )(t )(t td)(),(ttQ 首先证明：首先证明： LxyxPd),(ttttPbad)()(),( 由两类曲线的关系，得由两类曲线的关系，得 LLsyxPxyxPdcos),(d),(证证再由第一类曲线积分的计算法，得再由第一类曲线积分的计算法，
13、得 LsyxPdcos),( 时；时；当当ba battP)(),( )()()(22ttt tttd)()(22 时时；当当batt ,d)( .时时当当ba abttP)(),( )()()(22ttt tttd)()(22 .,d)(时时当当batt ttttPbad)()(),( 同理可证同理可证 LyyxQd),(tttQbad )(),( )(t LyyxQxyxPd),(d),(所以所以 battP )(),( )(t )(t td)(),(ttQ LxyxPd),(ttttPbad)()(),( ,d),(d),( LyyxQxyxP计算计算 ttttQtttPbad)( )(
14、),()()(),( 即可；即可；代入上式，且同时换限代入上式，且同时换限.注注 1 ),(),(tytxa不一定不一定小于小于 b !即计算定积分：即计算定积分：可将可将BLbALa的终点的终点上限上限的起点的起点下限下限2 如果如果 L 的方程为的方程为,:),(baxxy xxxQxxPbad )(,)(, )(x LyyxQxyxPd),(d),(3 对空间光滑曲线弧对空间光滑曲线弧 :zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),( )(t)(tttttRtttQd)(, )(),()(, )(),( )(t )(, )(),(tttPttztytx :)()()(思考思考定积
15、分定积分第二类第二类曲线积分曲线积分是！是！ baxxfd)(是否可看作第二类曲线积分的特例是否可看作第二类曲线积分的特例 ? xO ba ABxxfd)(ABxO abAB baxxfd)(,d Lxyx其中其中L 为沿抛物线为沿抛物线xy 2解解(方法方法1) 取取 x 为参数为参数, 则则OBAOL :01:,: xxyAO10:,: xxyOB OBAOLxyxxyxxyxddd xxxd)(0154d21023 xxxy xy 从点从点xxxd10 的一段的一段. )1,1()1,1(BA到到 )1 , 1(B)1, 1( Aoyx例例2 计算计算注意积分注意积分路径的路径的表示形式
16、表示形式yyyyxyxLd)(d2112 (方法方法2) 取取 y 为参数为参数, 则则11:,:2 yyxL54d2114 yy)1 , 1(B)1, 1( Aoyx-11注意积分注意积分路径的路径的表示形式表示形式其中其中 L 为为,:, 0aaxy yBAoaa x(1) 半径为半径为 a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周, 方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2) 从点从点 A ( a , 0 )沿沿 x 轴到点轴到点 B ( a , 0 ). 解解 (1) L:,d2xyL 0:,sin,cos ttaytax xyLd2ttadsin22033 32a (2) L : x
17、yLd2ttatad)sin(sin202 132 334a aaxd00 则则则则例例3 计算计算沿不同的路径沿不同的路径积分，其结果积分，其结果不同不同yxo,dd22yxxyxL 其中其中L为为(1) 抛物线抛物线 ;10:,:2 xxyL(2) 抛物线抛物线 ;10:,:2 yyxL(3) 有向折线有向折线 .:ABOAL 解解 (1) 原式原式22xx xx d4103 (2) 原式原式yyy222 yy d5104 (3) 原式原式 yxxyxOAdd22 102d)002(xxx1 )0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)22 10(yyd)4 yxxyxA
18、Bdd22 10d)102(yy1 1 例例4 计算计算沿不同的路径沿不同的路径积分，所得到积分，所得到结果相同结果相同例例5 计算计算,dd3d223zyxyzyxx 其中其中是从点是从点A (3, 2, 1)到点到点B (0, 0, 0)的直线段的直线段AB.解解 直线直线AB为为:. 01:,2,3 ttztytxzyxyzyxxdd3d223 01223d2)3(2)2(33)3(tttttt 013d87tt487 内容小结内容小结 LryxFd),( LyyxQxyxPd),(d),( nikkkkkkyQxP10),(),(lim1. 定义定义2. 性质性质 LLLryxFryx
19、FryxFyxFd),(d),(d),(),(2121 21d),(d),(d),(LLLryxFryxFryxF LLryxFryxFd),(d),(3. 计算计算 )()(tytx,:t LyyxQxyxPd),(d),( ttP )(),()(t )(t td)(),(ttQ 4. 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分必须注意必须注意积分弧段的积分弧段的方向方向! !5. 两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系 LyyxQxyxPd),(d),( LsyxQyxPdcos),(cos),(解解例例3-1是：是：其中其中（计算计算LyxyxyxL,dd)22 )11()01()00()1
20、(，、，、，由由BAO三点连成的折线段；三点连成的折线段；，到到沿沿圆圆弧弧，由由)11(2)00()2(2BxxyO ).11()00()3(，是正的实数）到是正的实数）到沿曲线沿曲线，由由BnxyOn yxyxyxLdd)()1(22 ABOA65dd10102 yyxx备用题备用题的方程化成参数式：的方程化成参数式：把把L)2(.2,sin,cos1 ttytxyxyxyxLdd)(22 222)sin(sin)sin()cos1(ttttttttdcossin)cos1( 22dsin)cos(costttt22xxy .61)cos21cos31(223 ttyxyxyxLdd)()3(22 101231213 nxnnxnxy 曲线曲线 10222d)(xnxxxnn.12131 nn,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI ,21:22 zyxyx从从 z 轴正向看为顺时针方向轴正向看为顺时针方向.ozyx解解 的参数方程的参数方程:,sin,costytx )02:(sincos2 tttz 20Itttcos)sincos22( tttttd )sin)(cossin(cos tt d)cos41(220 )sin)(cos2(tt 2 例例5-1 求求