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1、一、一、问题问题的提出的提出二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算四、小结四、小结第三节第三节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分(第二类第二类 曲线积分曲线积分)一、问题的提出实例实例:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功常力所作的功常力所作的功分割分割求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值二、对坐标的曲线积分的概念1.定义定义类似地定义类似地定义2.存在条件：存在条件：3.组合形式组合形式4.4.推广推广5.5.性质性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算定理定
2、理特殊情形特殊情形例例1解解例例2解解注注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同径不同积分结果不同.例例3解解注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同径不同而积分结果相同.例例4、计计算算为为：，t从从0变变到到1的一段弧。的一段弧。，例例5、计计算算为为：与与的交的交线线。四、四、两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）可用向量表示可用向量表示有向曲线元；有向曲线元；例、把例、把化化为对为对弧弧长长的曲的曲线积线积分，其中分，其中为为沿抛物沿抛物线线从从到到的一段弧。的一段弧。例、例、计计算算，其中，其中1)沿曲沿曲线线从从到到2)沿从沿从经经到到为为的一段弧。的一段弧。的折的折线线段。段。例、例、计计算算，其中，其中为为：从：从沿曲沿曲线线到到。四、小结1、对坐标曲线积分的概念、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系思考题思考题思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.练练 习习 题题练习题答案练习题答案