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1、全等三角形（复习）全等三角形（复习）第1页一、全等三角形一、全等三角形1.1.什么是全等三角形？一个三角形经过哪些改变能够得什么是全等三角形？一个三角形经过哪些改变能够得到它全等形？到它全等形？2 2：全等三角形有哪些性质？：全等三角形有哪些性质？能够完全重合两个三角形叫做全等三角形。一个三能够完全重合两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转能够得到它全等形角形经过平移、翻折、旋转能够得到它全等形（1 1）全等三角形对应边相等、对应角相等。）全等三角形对应边相等、对应角相等。（2 2）全等三角形周长相等、面积相等。）全等三角形周长相等、面积相等。（3 3）全等三角形对应边上对应
2、中线、角平分线、）全等三角形对应边上对应中线、角平分线、高线分别相等。高线分别相等。第2页2.全等三角形判定全等三角形判定:普通三角形全等判定：普通三角形全等判定：SAS、ASA、AAS、SSS直角三角形全等判定：直角三角形全等判定：SAS、ASA、AAS、SSS、HL第3页普通三角形普通三角形 全等条件全等条件：1.1.定义（重合）法；定义（重合）法；2.SSS2.SSS；3.SAS3.SAS；4.ASA4.ASA；5.AAS.5.AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有条件：条件：HLHL.包含直角三角形包含直角三角形不包含其它形不包含其它形状三角形状三角形解题解题中惯中惯用用4 4
3、种方种方法法第4页3.三角形全等证题思绪：三角形全等证题思绪：第5页1.1.证实两个三角形全等，要结合题目标条件和结论，选证实两个三角形全等，要结合题目标条件和结论，选择恰当判定方法择恰当判定方法2.2.全等三角形，是证实两条全等三角形，是证实两条线段线段或两个或两个角角相等主要方法相等主要方法之一，证实时之一，证实时 要观察待证线段或角，在哪两个可能全等三角形要观察待证线段或角，在哪两个可能全等三角形中。中。分析分析要证两个三角形全等，已经有什么条件，还要证两个三角形全等，已经有什么条件，还缺什么条件。缺什么条件。有有公共边公共边，公共边公共边一定是对应边，一定是对应边，有有公共角公共角，公
4、公共角共角一定是对应角，有一定是对应角，有对顶角对顶角，对顶角对顶角也是对应角也是对应角总之，证实过程中能用简单方法就不要绕弯路。总之，证实过程中能用简单方法就不要绕弯路。第6页例题选讲例题选讲1 1：如图，D在AB上，E在AC上，且B=C，那么补充以下一具条件后，仍无法判定ABEACD是()AAD=AE B AEB=ADCCBE=CD DAB=ACB第7页2 2：已知：如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，1=2，图中全等三角形共有()A1对 B2对 C3对 D4对 D第8页3.3.如图：在如图：在ABCABC中，中，C=90C=900 0，ADAD平分平分 BA
5、CBAC，DEABDEAB交交ABAB于于E E，BC=30BC=30，BDBD：CD=3CD=3：2 2，则，则DE=DE=。12cABDE第9页4 4 已知：已知：ACBCACBC，BDADBDAD，AC=BD.AC=BD.求证：求证：BC=AD.BC=AD.ABCD第10页5 5:下面条件中,不能证出RtABCRtA BC是 (A.)AC=AC,BC=BC (B.)AB=AB,AC=AC(C.)AB=BC,AC=AC (D.)B=B,AB=ABC 第11页 6：如图，在ABC 中，AD BC，CE AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当条件：，使ADBCEB。BE=
6、BDBA=BCDA=EC第12页7：求证：三角形一边上中线小于其它两边之和二分之一。：求证：三角形一边上中线小于其它两边之和二分之一。已知：如图，已知：如图，AD是是ABC 中线，求证：中线，求证：ABCDE证实：中线延长它一倍中线延长它一倍第13页课堂练习课堂练习1.1.已知已知BDBDCDCD，ABDABDACDACD，DEDE、DFDF分别分别垂直于垂直于ABAB及及ACAC交延长线于交延长线于E E、F F，求证：，求证：DEDEDFDF第14页2.点A、F、E、C在同一直线上，AFCE，BE=DF，BEDF，求证：ABCD。证实：第15页4.4.已知，已知，ABCABC和和ECDEC
7、D都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B B，C C，D D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=ADBE=AD EDCAB证实证实：ABC和和ECD都是等边三角形都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ACE即即BCE=DCA在在ACD和和BCE中中 AC=BC BCE=DCA DC=EC ACDBCE (SAS)BE=AD第16页 EDCAB3.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=AD变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABC绕点绕点C顺时针旋转
8、一定顺时针旋转一定角度，以上结论还成立吗？角度，以上结论还成立吗？当顺时针旋转当顺时针旋转10时，时，第17页 3.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=AD变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABC绕点绕点C顺时针旋转一定顺时针旋转一定角度，以上结论还成立吗？角度，以上结论还成立吗？当顺时针旋转当顺时针旋转60时，时，EDCAB第18页 3.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=AD变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变
9、，将ABC绕点绕点C顺时针旋转一定顺时针旋转一定角度，以上结论还成立吗？角度，以上结论还成立吗？当顺时针旋转当顺时针旋转120时，时，EDCAB第19页 3.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=AD变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABC绕点绕点C顺时针旋转一定顺时针旋转一定角度，以上结论还成立吗？角度，以上结论还成立吗？当顺时针旋转当顺时针旋转180时，时，EDCAB第20页 3.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=
10、AD变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABC绕点绕点C顺时针旋转一定顺时针旋转一定角度，以上结论还成立吗？角度，以上结论还成立吗？当顺时针旋转当顺时针旋转240时，时，EDCAB第21页4.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，当都是等边三角形，当ABC绕点绕点C顺时针旋转顺时针旋转时，连接时，连接BE，DA；结论；结论BE=AD还成立吗还成立吗？若成立请加以证实。？若成立请加以证实。EDCABEDCAB 第22页引申：引申：.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，在一条直线上，AC与与BE相交于相交于M，CE与与AD相交于
11、相交于N，试判定，试判定形状形状 EDCABMN解：解：是等边三角形是等边三角形证实：证实：（）先证（）先证ACE（）证实（）证实BCEACDBECADC（）在证（）在证MCENCDCM=CN第23页5：如图，已知：如图，已知E在在AB上，上，1=2，3=4，那么那么AC等于等于AD吗？为何？吗？为何？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在EBC和和EBD中中 1=2 3=4 EB=EB EBCEBD (AAS)BC=BD 在在ABC和和ABD中中 AB=AB 1=2 BC=BD ABCABD (SAS)AC=AD第24页6：如图，已知，如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=D
12、C。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证实。证实。FEDCBA答：答：ABCDEF证实：ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF在在ABC和和DEF中中 AC=DF A=D AB=DE ABCDEF （SAS）第25页7：如图，已知，：如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确命题。（只写出一个情况）确命题。（只写出一个情况）AB=AC DE=DF BE=CF 已知：已知：EGAF 求证：求证：
13、GFEDCBA高高第26页8.如图，在等边如图，在等边ABC中，中，D，E，F分别为分别为AB，BC，CA上点，（不是中点）且上点，（不是中点）且ADBECF，图，图中全等三角形有那些？中全等三角形有那些？解：共六个解：共六个AFEDCBGIHBEHCFIBHBCICAGBEBCFCADHFBIDCGEBFBCDCAE第27页8引申如图，在等边引申如图，在等边ABC中，中，D，E，F分别为分别为AB，BC，CA上点，上点，（不是中点）且（不是中点）且DEF也是等边三角形，图中（）除已知相等边也是等边三角形，图中（）除已知相等边外，还有那些相等线段？（）你所证实相等线段，能够经过怎样外，还有那些
14、相等线段？（）你所证实相等线段，能够经过怎样改变相互得到？写出改变过程改变相互得到？写出改变过程解：（）解：（）AE=BF=CDAF=BD=CE（2）这些相等线段能够看出平移）这些相等线段能够看出平移 旋旋转而得到，如转而得到，如AE和和BF，把，把AE绕这绕这A点沿顺时针方向选旋转点沿顺时针方向选旋转，再，再沿着沿着AB方向平移使点方向平移使点A至点至点F即可得即可得到到BF，其余类同，其余类同AFEDCB第28页8引申如图，在等边引申如图，在等边ABC中，中，D，E，F分别为分别为AB，BC，CA上点，上点，（不是中点）且（不是中点）且DEF也是等边三角形，图中（）除已知相等边也是等边三角
15、形，图中（）除已知相等边外，还有那些相等线段？（）你所证实相等线段，能够经过怎样外，还有那些相等线段？（）你所证实相等线段，能够经过怎样改变相互得到？写出改变过程改变相互得到？写出改变过程解：（）解：（）AE=BF=CDAF=BD=CE（2）这些相等线段能够看出平移）这些相等线段能够看出平移 旋旋转而得到，如转而得到，如AE和和BF，把，把AE绕这绕这A点沿顺时针方向选旋转点沿顺时针方向选旋转，再，再向下然后再向左平移使点向下然后再向左平移使点A至点至点F即即可得到可得到BF，其余类同，其余类同AFEDCB第29页.阅读了解阅读了解（）假如两个三角形均为直角三角形，显然它们全等（）假如两个三角
16、形均为直角三角形，显然它们全等1阅读：阅读：我们知道，两边及其中一边对角分别对应相等我们知道，两边及其中一边对角分别对应相等两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等。两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等。（）假如两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（）假如两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（）假如两个三角形均为锐角三角形，可证它们全等（）假如两个三角形均为锐角三角形，可证它们全等2证实：证实：请你从（）（）选择一个加以证实请你从（）（）选择一个加以证实（）假如两个三角形均为锐角三角形，可证它们全等（）假如两个三角形均为锐角三角形，可证它们全等已知：已知：ABC和和
17、ABC均为锐角均为锐角，且，且AB=AB，AC=AC，B=B，求证：，求证：ABCABC，ABCDABC第30页已知：已知：ABC和和ABC均为锐角均为锐角，且，且AB=AB，AC=AC，B=B，求证：，求证：ABCABC，ABCDABCD 证实：分别作证实：分别作B，B两点作两点作BDCA于于D，BDCA于于D，先证：先证：ABDABD 再证：再证：ABCABC（3）由此你得出一个什么结论：）由此你得出一个什么结论：结论：两边及其中一边对边分别相等两个锐角（直角三结论：两边及其中一边对边分别相等两个锐角（直角三角形或者钝角三角形）三角形是全等三角形角形或者钝角三角形）三角形是全等三角形第31
18、页10 已知命题：如图点已知命题：如图点A，D，B，E在同一条直线上，且在同一条直线上，且ADBE，A=FDE，则，则ABC DEF，判定这个命题是真命题还是假命题，判定这个命题是真命题还是假命题，假如是真命题请加以证实；假如是假命题，请假如是真命题请加以证实；假如是假命题，请 添加一个适当条件使添加一个适当条件使它称为真命题，并加以证实它称为真命题，并加以证实AFCEDB解答：题设命题是假命题；能够下解答：题设命题是假命题；能够下添加一个条件均可证实三角形全等添加一个条件均可证实三角形全等（1）当）当ACDF（）（）CBAE（）（）CF证实：略证实：略第32页1 已知：如图线段已知：如图线段
19、AC与与BD 相交与点相交与点O，连接，连接AB，DC，E为为OB中点，中点，F为为OC中点，连接中点，连接EF；ABCDOFE（1）添加条件）添加条件A=D，OEF=OFE，求证：，求证：ABDC（）分别将（）分别将AD记为记为；OEFOFE记为记为；AB=DC记为记为；添加条件；添加条件，以，以为结论组成命题为结论组成命题1；添加条；添加条件件，以，以为结论组成命题为结论组成命题2，命题，命题1是是命题；命题命题；命题2是是命题（选命题（选“真真”或或“假假”）证实：（证实：（1）略）略（）命题（）命题1为真命题；能够为真命题；能够AAS证实；命题证实；命题2是假命题，此命是假命题，此命题
20、条件为题条件为SSA，不能证实全等，不能证实全等第33页13 已知点已知点A，E，F，C在同一条直线上，且在同一条直线上，且AECF，过，过EF两两点分别作点分别作DEAC，BFAC，且，且ABCD，（）求证：，（）求证：BD平平分分 EF（2）若将）若将DEC边边EC沿沿AC方向移动，改变为方向移动，改变为2时，其余条时，其余条件不变，上述结论是否成立，说明理由件不变，上述结论是否成立，说明理由ADBCEFG图图1ADBCEFG图图2第34页E证实：在证实：在DC上截取上截取DEDB，连接连接AEACDB。如图在三角形。如图在三角形ABC中，中，BC上高为上高为AD，且，且B=2C求证：求证
21、：CD=ABBD第35页15 已知已知AFD和和CEB中，点中，点A，E，F，C在同一条直线上，有在同一条直线上，有以下四个论断：（以下四个论断：（1）ADCB（）（）AECF （3）B=D（4)AD/BC,请用其中三个作为条件，余下一个作请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。其中其中组合是错误，无法证实组合是错误，无法证实ABCEFD解：解：由（由（1）（）（2）（）（3）为条件（）为条件（4）为结论）为结论由（由（1）（）（2）（）（4）为条件（）为条件（3）为结论）为结论由（由（1）（）（3）（）（4）为条件（）为
22、条件（2）为结论）为结论由（由（2）（）（3）（）（4）为条件（）为条件（1）为结论）为结论下面我们以下面我们以为例写出已知，求证，并进行证实为例写出已知，求证，并进行证实 已知：已知：AECF ，B=D，AD/BC 求证：求证：AD=BC证实：略证实：略第36页16 在正方形在正方形ABCD中，中，E是是AD是中点，是中点，F是是BA延长线一点，延长线一点，AF=AE，已知，已知ABE（）在图中能够经过平移，翻折，旋转（）在图中能够经过平移，翻折，旋转中哪一个方法，使中哪一个方法，使ABE变到变到位位置置FEDCBA（）线段（）线段BE与与DF有什么位置关系？有什么位置关系？证实你结论证实你
23、结论解：图中经过绕解：图中经过绕A点按逆时针方向旋转点按逆时针方向旋转，使，使ABE变到变到位置（图）位置（图）理由：延长理由：延长BE交交DF于点于点G，FEDCBAGABEABE=ADF 又又AEB=DEGDGB=DABBEDF第37页17。如图在三角形。如图在三角形ABC中，中，BAC=90，AB=AC，AE是过点是过点A一条直线，且一条直线，且BC两点在两点在AE异侧，异侧，BDAE于于D，CEAE于点于点E求证：（）求证：（）=DE+CECBAED提醒证实：提醒证实：ABDACE（AAS）证实：证实：第38页17。如图在三角形。如图在三角形ABC中，中，BAC=90，AB=AC，AE
24、是过点是过点A一条直线，且一条直线，且BC两点在两点在AE异侧，异侧，BDAE于于D，CEAE于点于点E求证：（）求证：（）=DE+CECBAED（）若直线（）若直线AE绕点绕点A旋转到右旋转到右图位置时，（图位置时，（BDCE），其余条），其余条件不变，问件不变，问BD与与DE和和CE关系怎关系怎样？请直接写出结果，不需证实样？请直接写出结果，不需证实提醒证实：提醒证实：ABDACE（AAS）得到）得到BD=DE-CE第39页17。如图在三角形。如图在三角形ABC中，中，BAC=90，AB=AC，AE是过点是过点A一条直线，且一条直线，且BC两点在两点在AE异侧，异侧，BDAE于于D，CEA
25、E于点于点E求证：（）求证：（）=DE+CECBAED（）若直线（）若直线AE绕点绕点A旋转到右旋转到右图位置时，（图位置时，（BDCE），其余条），其余条件不变，问件不变，问BD与与DE和和CE关系怎关系怎样？请直接写出结果，不需证实样？请直接写出结果，不需证实（）若直线（）若直线AE绕点绕点A旋转到右图位置时，（旋转到右图位置时，（BDCE），其余），其余条件不变，问条件不变，问BD与与DE和和CE关系怎样？请直接写出结果，不需证关系怎样？请直接写出结果，不需证实实提醒证实：提醒证实：ABDACE（AAS）得到）得到BD=DE-CE第40页17。如图在三角形。如图在三角形ABC中，中，BA
26、C=90，AB=AC，AE是过点是过点A一条直线，且一条直线，且BC两点在两点在AE异侧，异侧，BDAE于于D，CEAE于点于点E求证：（）求证：（）=DE+CECBAED（）若直线（）若直线AE绕点绕点A旋转到右旋转到右图位置时，（图位置时，（BDCE），其余条），其余条件不变，问件不变，问BD与与DE和和CE关系怎关系怎样？请直接写出结果，不需证实样？请直接写出结果，不需证实（）若直线（）若直线AE绕点绕点A旋转到右图位置时，（旋转到右图位置时，（BDCE），其余），其余条件不变，问条件不变，问BD与与DE和和CE关系怎样？请直接写出结果，不需证关系怎样？请直接写出结果，不需证实实（）归纳
27、（）（）（）请用简练语言表示（）归纳（）（）（）请用简练语言表示BD，DE和和CE关系关系归纳：当归纳：当B，C在在AE异侧时，异侧时，BDDE+CE；当当B，C在在AE同侧时，同侧时，BD=DE-CE第41页拓展题拓展题1.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEFBCAFED第42页2.已知AB=AE,AC=AD,ACAD,ABAE;ECAB21D(2)怎样变换ABC和AED中一个位置,可使它们重合?(3)观察ABC和AED中对应边有怎样位置关系?(4)试证EDBC(1)观察图中有没有全等三角形?第43页3.如图如图,已知已知AC BD，EA、EB分别平分分别平分
28、 CAB和和 DBA，CD过点过点E，则，则AB与与AC+BD相等吗？请说相等吗？请说明理由。明理由。ACEBD要证实要证实两条线段和与一条线两条线段和与一条线段相等段相等时惯用两种方法：时惯用两种方法：1、可在、可在长线段上截取长线段上截取与与两条线段两条线段中一条相等一段中一条相等一段，然后证实剩下，然后证实剩下线段与另一条线段相等。线段与另一条线段相等。2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一位置，另一位置，使使两线段补成一条线段两线段补成一条线段，再证实，再证实它与它与长线段相等长线段相等。（补）。（补）线段和（差），延长线段和（差），延长（截取）证相等（截取）证相等第44页4.如图
29、：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC延长线于点F，给出以下5个关系式：ADBC，DE=EC1=2，3=4，AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，组成正确命题。请用序号写出两个正确命题：（书写形式：假如那么）（1）；（2）；第45页5.如图，在RABC中，ACB=450，BAC=900，AB=AC，点D是AB中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.第46页6.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上高，在BE上截取BD=AC，在CF延长线上截取CG=AB，连结AD、AG求证：ADG
30、为等腰直角三角形。第47页7.7.已知：如图已知：如图2121，ADAD平分平分BACBAC，DEABDEAB于于E E，DFACDFAC于于F F，DB=DCDB=DC，求证：，求证：EB=FCEB=FC第48页总结提升总结提升学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)1)要正确区分要正确区分“对应边对应边”与与“对边对边”，“对应对应角角”与与 “对角对角”不一样含义；不一样含义；（2 2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点字母）表示两个三角形全等时，表示对应顶点字母要写在对应位置上；要写在对应位置上；（3 3）要记住）要记住“有三个角对应相等有三个角对应相等”或或“有两边及有两边及其中一边对角对应相等其中一边对角对应相等”两个三角形不一定全等；两个三角形不一定全等；（4 4）时刻注意图形中隐含条件，如）时刻注意图形中隐含条件，如“公共角公共角”、“公共边公共边”、“对顶角对顶角”第49页