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1、数学试验之四数列与级数陈发来 中国科学技术大学数学系/10/10/10/10第第1 1页页1、数列与级数 数列数列 级数级数 数列与级数关系数列与级数关系 给定数列（给定数列（1 1），令），令 ，则数列，则数列（1 1）等价于级数（）等价于级数（2 2）。反之，给定级数（）。反之，给定级数（2 2）令令 则级数（则级数（2 2）等价于数列）等价于数列（1 1）。）。/10/10/10/10第第2 2页页给定数列（1），回答以下问题：1、数列有什么规律与性质？2、数列极限是否存在有限？3、假如数列极限趋于无穷，那么它趋于无穷阶是多大？4、假如数列极限不存在，那它在无穷大时极限状态又怎样？/10
2、/10/10/10第第3 3页页2、Fibonacci数列Fibonacci数列由递推关系确定。其前十项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，551 12 23 34 45 5/10/10/10/10第第4 4页页为研究为研究FibonacciFibonacci数列规律，我们在二维平面数列规律，我们在二维平面上画出顺次连接点列上画出顺次连接点列 折折线图。线图。/10/10/10/10第第5 5页页易知易知故有故有 阶在阶在 与与 之间。之间。为深入研究为深入研究 特征，在平面坐标系中画连接特征，在平面坐标系中画连接 折线图。然后用直线去拟折线图。然后用直线去拟合之合之./10/10/
3、10/10第第6 6页页/10/10/10/10第第7 7页页 猜测将上式代入递推公式中得由此然而,上式并不满足深入猜测/10/10/10/10第第8 8页页由此得能够验证上式是Fibonacci数列通项.由此，Fibonacci数列趋于无穷阶为/10/10/10/10第第9 9页页普通地,给定数列递推关系假设则 满足/10/10/10/10第第1010页页 所以 通项为其中 是上述方程根。/10/10/10/10第第1111页页3、调和级数调和级数研究数列极限阶./10/10/10/10第第1212页页 首先研究 折线图./10/10/10/10第第1313页页因为 下面研究 极限.从上图猜
4、测,极限 存在.实际上,易知/10/10/10/10第第1414页页故知极限存在.进而由此猜测用数据拟合发觉,称为Euler常数./10/10/10/10第第1515页页也能够直接从数列 出发.猜测/10/10/10/10第第1616页页4、3N+1问题 问题：任给自然数n，假如n是偶数，则将n除2；假如n是奇数，则将n乘3加1。重复上述过程得到一个无穷数列。比如，上述数列可递归地定义为 假如n为偶 假如n为奇 /10/10/10/10第第1717页页我们来研究上述数列规律。先从简单示例开始。/10/10/10/10第第1818页页用Mathematica编程验证：1、是否对任意n，从n开始产
5、生数列最终都落于421循环中？2、数列在落于421循环之前，有什么规律？/10/10/10/10第第1919页页对n=27得/10/10/10/10第第2020页页/10/10/10/10第第2121页页该问题起源于20世纪50年代，被称为Syracuse猜测，角谷猜测，Collatz问题，Hasse算法问题，Ulam问题，Thwaites猜测，简称3x+1问题。当前有些人验证到 猜测依然成立。/10/10/10/10第第2222页页 一些观察：假如 ，则 对 ，为奇数，则/10/10/10/10第第2323页页 假如对每个n,数列中有某一项小于n,则猜测成立。对 n=4k+1,有 对 n=1
6、6k+3,有/10/10/10/10第第2424页页假如猜测不成立，则只有以下两种情况之一1、数列落于有别于421循环中；2、不存在循环。此时，数列总趋势会越来越大。/10/10/10/10第第2525页页引入一些概念：航班：从n开始迭代产生数列（直至1为止）。如第5次航班为5168421航程：航班长度。如航班5168421长度为5最大飞行高度：一个航班中最大数字。如第5航班最大飞行高度为16/10/10/10/10第第2626页页保持高度航程：从起点起连续大于起点数字个数。如3105168421保持高度航程为5。假如全部航班保持高度航程有限，则3n+1问题成立。航程统计航班：航程大于全部它前
7、面航班航程。如第7航班，它航程为16。保持高度航程统计航班：保持高度航程大于全部前面航班保持高度航程。/10/10/10/10第第2727页页最大飞行高度统计航班：最大飞行高度大于全部它前面航班最大飞行高度。对于一个固定航班N,考虑它着陆前表示奇变换。其中除2变换称为偶变换，乘3加1变换成为奇变换。用E(N)表示偶变换数，O(N)表示奇变换数。/10/10/10/10第第2828页页一些统计：保持高度航程：N=118303688851791519,G(N)=1471留数：N=993,R(N)=1.253142航程：N=1269884180266527,F(N)=2039/10/10/10/10
8、第第2929页页显然3N+1问题与以下问题等价：1）全部航班航程有限；2）全部航班保持高度航程有限；3）对全部N,E(N)有限；4）对全部N,O(N)有限。/10/10/10/10第第3030页页一些探索：1）航程与起点关系。/10/10/10/10第第3131页页上述图形中有没有规律？用f(n)表示航班n航程。f(n)上界与n存在什么样函数关系？比如，当n适当大后，是否有f(n)2p.一些保持高度航程统计：G(3)=6,G(7)=11,G(27)=96,G(703)=132./10/10/10/10第第3434页页3）最大飞行高度与起点关系。/10/10/10/10第第3535页页用t(n)
9、表示航班n最高飞行高度。上述图形中有什么规律？t(n)与n关系怎样？比如，是否有t(n)K*n*n?/10/10/10/10第第3636页页偶变换与奇变换关系：/10/10/10/10第第3737页页 O(N)/E(N)上界是什么？当N趋于无穷时，O(N)/E(N)极限是什么？简单分析：其中 R(N)称为留数，它是全部形如项积，这里 a_i是航程中奇数。比如，/10/10/10/10第第3838页页 对于航班3105168421,E(3)=5,O(3)=2,R(3)=(1+1/9)(1+1/15)取对数得 故/10/10/10/10第第3939页页 且 假如 则/10/10/10/10第第40
10、40页页一些猜测：（1）R(N)=R(993)(2)令 C(N)=O(N)/E(N),则 C(N)C,Clog2/log3为常数。/10/10/10/10第第4141页页启发式论证：注意每一次奇变换后必定是偶变换，但每一次偶变换后能够是奇变换，也可能是偶变换。假设这种可能性是一样。从某一个N开始，我们考查航班高度改变：（1）奇变换后做偶变换结果为奇数，可能性1/2，高度变换 3/2；（2）奇变换后做偶变换结果为偶数，可能/10/10/10/10第第4242页页 性为1/4，高度改变3/4；奇变换后再作三次偶改变，可能性1/8，高度改变3/8；.平均改变高度：高度最终下降。/10/10/10/1
11、0第第4343页页用c 表示保持高度航程中奇变换次数平均值。利用上述模型能够证实，c=3.49265.对3到000000之间航班保持高度航程中奇次变换取平均值，可得到3.4926。这两个结果惊人一致性使我们相信上述启发式模型正确性。/10/10/10/10第第4444页页一些理论结果：（1）R.Terra 和 C.Evertt证实了：几乎全部航班都会下降到它起点以下。（2）存在常数c,当n 足够大时，在比n小航班中，能够在1上着陆航班个数大于或等于nc.1978年，R.Crandal首先给出c=0.05;1989年I.Krasikov得到c=0.43;1993年G.Wirsching给出c=0
12、.48;1995年D.Applegate 和J.Lagarias得到c=0.81./10/10/10/10第第4545页页会不会永远证不出来？自从哥德尔发表他著名不完备定理以来，每次数学家碰到一个困难问题，都会疑神疑鬼这会不会证不出来？哥德尔不完备定理，在包含皮亚诺自然数公理系统中，总有不可证实命题存在。因而3N+1问题有可能不能证实，即使它是错误。比如，我们可能发觉一个航班，/10/10/10/10第第4646页页 它非得越来越高，但不论怎样不能证实它永远也不会着陆到1。数学家J.Conway（创造了生命游戏）定义了一个类似3N+1问题不可证实命题。但他方法依然不能说明3N+1是否能够证实。
13、/10/10/10/10第第4747页页各种改变与推广（1）推广到负数。能够有三个不一样循环：-1-2-1 -5-14-7-20-10-5 -17-50-25-74-37-110-55-164-82-41-122-61-182-91-272-136-68-34-17 是否有更多循环？/10/10/10/10第第4848页页（2）5N+1问题。又存在几个循环：63164216136633166834162081045226131786432161085427136683417不过第航班似乎老实在往上飞，谁也不知道它是否会降落下来。/10/10/10/10第第4949页页 The End Thank you very much for your presence./10/10/10/10第第5050页页