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1、数学推理方法一、推理 推推理理是从从一一个个或或几几个个已已知知判判断断，得得出出另另一一个新判断思维形式。个新判断思维形式。演绎推理演绎推理 推理推理 归纳推理归纳推理 合情推理合情推理 类比推理类比推理第1页 数数学学推推理理方方法法是是寻寻求求新新结结果果、由由已已知知进进入入到到未未知知方方法；也是解答数学问题、进行数学证实工具。法；也是解答数学问题、进行数学证实工具。比如：比如：（1）因因为为角角A角角和和B是是对对顶顶角角，所所以角以角A等于角等于角B。（2）因因为为四四边边形形ABCD是是平平行行四四边边形，所以其对角线相互平分。形，所以其对角线相互平分。演绎推理 推推理理结结构
2、构：任任何何推推理理都都包包含含前前提提和和结结论论两两部部分分。前前提提是是推推理理依依据据部部分分，能能够够是是一一个个也也能能够够是是几几个个；结结论是依据前提所推出判断。论是依据前提所推出判断。第2页（3）因为）因为 S=180，S四边形四边形=2180，S五边形五边形=3180，所以所以 Sn边形边形=(n-2)180.（4）(5)归纳推理类比推理类比推理显然这个推理是错误显然这个推理是错误第3页二、演绎推理与合情推理 1 1、演演绎绎推推理理属属逻逻辑辑推推理理范范围围。逻逻辑辑推推理理要要求求，在推理过程中要合乎逻辑推理形式，恪守推理规则。在推理过程中要合乎逻辑推理形式，恪守推理
3、规则。演演绎绎推推理理中中惯惯用用方方法法是是三三段段论论法法，所所恪恪守守规规则则是是：若若集集合合A中中全全部部元元素素都都含含有有属属性性F，则则A中中每每一一个个元元素素也含有属性也含有属性F。即。即 三段论法三段论法 大前提大前提 （定理、公理等）（定理、公理等）小前提小前提 （已知）（已知）结论结论 演绎推理是从演绎推理是从普通到特殊普通到特殊推理方法。推理方法。第4页归纳推理与类比推理都属于合情推理。归纳推理与类比推理都属于合情推理。演演绎绎推推理理多多用用于于证证实实，而而合合情情推推理理多多用用于于发发觉觉。在在数数学学领领域域中中，合合情情推推理理方方法法也也被被称称为为是
4、是数数学学发发觉觉方法。数学家发觉多用是这种方法。方法。数学家发觉多用是这种方法。2 2、合合情情推推理理是是利利用用观观察察、试试验验、归归纳纳、类类比比、猜猜测测、验验证证等等一一套套自自然然科科学学中中惯惯用用、探探索索式式方方法法进进行推理。行推理。第5页1 1、归归纳纳推推理理是是观观察察资资料料、认认识识模模型型并并从从观观察察作作出概括过程，所得出概括叫做出概括过程，所得出概括叫做猜测猜测。归纳推理是由归纳推理是由特殊到普通特殊到普通推理方法。推理方法。归纳推理又称为归纳法归纳推理又称为归纳法。完全归纳法完全归纳法 归纳法归纳法不完全归纳法不完全归纳法三、归纳推理第6页因因为为用
5、用完完全全归归纳纳法法处处理理问问题题时时考考虑虑到到了了事事物物全全部部对对象象情情况况，所所以以完完全全归归纳纳法法是是一一个个严严格格推推理理方方法法。其其前前提提和和结结论论之之间间有有着着必必定定联联络络，假假如如把把演演绎绎推推理理看看成成是是前前提提和和结结论论之之间间有有着着必必定定联联络络推推理理，那那么么完完全全归归纳纳法法实实质质上上是是演演绎绎推推理。理。比如：比如：1，2，3，4，5，以其元素作为真数和底数，能出现以其元素作为真数和底数，能出现多少个不一样对数值？多少个不一样对数值？43+1=13 完完全全归归纳纳法法是是依依据据某某类类事事物物中中每每一一个个对对象
6、象（或或每每一一个个子类）情况，作出关于事物普通性结论推理（又叫枚举法）。子类）情况，作出关于事物普通性结论推理（又叫枚举法）。第7页 不不完完全全归归纳纳法法含含有有不不可可靠靠性性，应应用用不不完完全全归归纳纳法法推推理理得得出出结结论论只只是是一一个个猜猜测测，其其正正确确是是否否还还要要经经过验证或证实。过验证或证实。在在用用不不完完全全归归纳纳法法进进行行数数学学归归纳纳时时，应应注注意意归归纳纳基基础础，一一部部分分对对象象应应该该有有一一定定数数量量，过过于于少少了了会会影响猜测正确性。影响猜测正确性。不完全归纳法不完全归纳法是依据事物中是依据事物中一部分对象一部分对象情况，而情
7、况，而作出关于该类事物普通性结论推理方法。作出关于该类事物普通性结论推理方法。第8页 比如：比如：费尔马猜测费尔马猜测当初称为费尔马定理这说明费尔马猜测不是定理第9页 又如：又如：哥德巴赫猜测哥德巴赫猜测4=22，6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，18=5+13=7+11，猜猜测测，任任意意大大于于或或等等于于2偶偶数数都都能能够够表示为两个素数和。表示为两个素数和。陈景润为之奋斗了一生依然是猜测第10页 （1）帮助学生进入研究问题起点帮助学生进入研究问题起点（发觉起点）发觉起点）万万事事开开头头难难，尤尤其其是是低低
8、年年纪纪段段学学生生（大大学学以以下下），习习惯惯与与接接收收式式学学习习方方式式学学生生，对对于于一一个个有有待待于于研研究究问问题题，往往无从下手。往往无从下手。假假如如有有一一个个方方法法能能够够把把你你学学生生带带到到研研究究问问题题起起点点，何乐而不为呢？何乐而不为呢？2 2、不完全归纳法在学生进行数学发觉中作用、不完全归纳法在学生进行数学发觉中作用第11页比如：比如：数线段：从最简单做起，寻找规律；数线段：从最简单做起，寻找规律；2+13+2+1我我国国著著名名数数学学家家华华罗罗庚庚先先生生有有一一个个主主张张，叫叫做做“退退回回到到1 1”，其其实实质质就就在在于于研研究究问问
9、题题要要从从最简单做起，从特殊做起。最简单做起，从特殊做起。多多边边形形内内角角和和获获取取：从从三三角角形形开开始始，然然后后四四边边形形、五五边边形形、六六边边形形，寻寻找找规规律律得得到到n边形内角和公式。边形内角和公式。第12页 特特殊殊情情形形是是详详细细不不抽抽象象，这这就就使使学学生生在在研研究究问问题题时，有一个详细对象。时，有一个详细对象。比比如如：相相关关n条条线线段段问问题题，能能够够两两条条线线段段、三三条条线段问题；线段问题；相相关关求求前前n项项和和问问题题，能能够够先先研研究究前前两两项项和和、前三项和问题。前三项和问题。从从特特殊殊、详详细细问问题题入入手手，学
10、学生生能能够够下下手手进进行行操操作作，在在试试验验、操操作作过过程程中中，去去思思索索一一些些问问题题，寻寻求求问问题题答答案。案。（2）便于学生思索问题便于学生思索问题（进行发觉过程）第13页 在在归归纳纳过过程程中中，经经过过对对大大量量、简简单单、详详细细情情形形，进进行观察、比较后，经过思索结论就在其中了。行观察、比较后，经过思索结论就在其中了。同同时时，正正确确归归纳纳方方法法本本身身，就就提提供供了了发发觉觉结结论论路路径径，有时还提供了证实方法。有时还提供了证实方法。比如比如：十字相乘法则归纳过程：十字相乘法则归纳过程 多边形对角线条数归纳过程多边形对角线条数归纳过程（3）有利
11、于学生发觉结论和证实方法有利于学生发觉结论和证实方法（到达有所创新）第14页 直接比较法：直接比较法：比比较较所所得得结结果果与与试试验验次次数数n关关系系或或所所得得结结果果与与详详细细问问题关系。题关系。递推法：递推法：寻求：后面结果是在前面基础上发生了哪些改变。寻求：后面结果是在前面基础上发生了哪些改变。3 3、正确地进行归纳方法、正确地进行归纳方法第15页 从图形规律中找结果与从图形规律中找结果与n关系：关系：一一个个顶顶点点处处有有n-3条条对对角角线线，每每条条对对角角线线属属于于两两个个顶顶点点，n个个顶顶点点共共有有 条条对对角角线。线。直接比较法比如：比如：多边形内角和定理发
12、觉多边形内角和定理发觉 边数边数 3 4 5 6 n 三角形数三角形数 1 2 3 4 n-2 结果结果 n边形内角和边形内角和=（n-2)180不利于归纳出结论 n边形对角线条数发觉边形对角线条数发觉 边数边数 3 4 5 6 n 对角线条数对角线条数 0 2 5 9？第16页证实思绪：证实思绪：第第n条直线与前面条直线与前面n-1条直线交于条直线交于n-1个点，使平面区域增加个点，使平面区域增加n个，个，所以所以f(n)=f(n-1)+n。f(n)第17页 比比如如，如如图图，在在有有公公共共边边三三角角形形和和矩矩形形边边上上有有规规律律地地排排列一些点，填空：列一些点，填空：每边有每边
13、有2 2个点，个点，每边有每边有3 3个点，个点，每边有每边有4 4个点，个点，每边有每边有n n个点，个点，共有共有 个点；个点；共有共有 个点；个点；共有共有 个点；个点；，共有，共有 个点个点（选自朝阳区（选自朝阳区-第一学期初三期末统考题）第一学期初三期末统考题）第18页每边有每边有2 2个点，个点，每边有每边有3 3个点，个点，每边有每边有4 4个点，个点，每边有每边有n n个点，个点，共有共有 5 5 个点；个点；共有共有 1111 个点；个点；共有共有 1717 个点；个点；，共有，共有？个点个点 这么归纳不利于得到猜测，其主要原因是，没有注意到这么归纳不利于得到猜测，其主要原因
14、是，没有注意到在在n改变改变过程中过程中，点总数，点总数改变过程改变过程。第19页每边有每边有2 2个点，个点，每边有每边有3 3个点，个点，每边有每边有4 4个点，个点，每边有每边有n n个点，个点，共有共有 5 5 个点；个点；共有共有 5+65+6 个点；个点；共有共有 5+6+65+6+6 个点；个点；，共有，共有？个点个点 这么归纳，注意到了后次比前次多这么归纳，注意到了后次比前次多6个点，所以很快得到个点，所以很快得到猜测：每边有猜测：每边有n个点时，共有个点时，共有5+6(n-2)=6n-7 个点个点 这这就就是是递递推推法法：寻寻求求后后面面结结果果是是在在前前面面基基础础上上
15、发发生生了了哪哪些改变。些改变。本题还能够经过观察图形特点，直接得到猜测。本题还能够经过观察图形特点，直接得到猜测。第20页 类类比比推推理理，是是依依据据两两个个或或两两类类对对象象有有部部分分属属性性相相同同，从从而而推推出出它它们们其其它它属属性性也也相相同同推推理理方方法法 从从 特特殊殊到到特特殊殊推推理理方方法。法。类比推理与归纳推理一样含有不可靠性。类比推理与归纳推理一样含有不可靠性。比如：比如：由由 a(b+c)=ab+ac 类比类比 sin(A+B)=sinA+sinB lg(M+N)=lgM+lgN 结论是不正确结论是不正确 由类比得到结论，只是猜测，经过证实才是正确。由类
16、比得到结论，只是猜测，经过证实才是正确。四、类比推理第21页五、数学课程标准对合情推理要求 课程标准在对学生课程标准在对学生学习学习内容内容要求中指出：要求中指出：学学生生学学习习内内容容应应该该是是现现实实、有有意意义义、富富有有挑挑战战性性，应应该该有有利利于于学学生生主主动动地地进进行行观观察察、试试验验、猜猜测测、验验证证、推推理理与与交交流流等等数数学学活动。活动。课程标准在学生课程标准在学生学习学习方式方式中指出：中指出：动手实践、自主探索、合作交流动手实践、自主探索、合作交流是学生是学生数学学习主要方式数学学习主要方式。课课程程标标准准把把数数学学教教学学称称为为数数学学教教学学
17、活活动动，并并指指出出教教师师应应向向学学生生提提供供充充分分从从事事数数学学活活动动机机会会，帮帮助助学学生生在在自自主主探探索索和和合合作作交流过程中进行学习。交流过程中进行学习。第22页 这这就就意意味味着着，学学生生学学习习数数学学应应该该是是自自己己做做会会，而而不不只只是是凭凭老老师师教教能能会会；定定理理、概概念念、法法则则得得出出，应应该该是是学学生生探探索索出出来来，而而不是老师给。不是老师给。学学生生动动手手实实践践、自自主主探探索索、再再发发觉觉过过程程，正正是是合合情情推推理理过过程。程。所所以以，我我们们在在设设计计教教学学过过程程时时候候，应应该该给给学学生生提提供供动动手手实实践践素素材材、提提供供自自主主探探索索载载体体、提提供供合合情情推推理理环环境境，指指导导学学生生得得出猜测，发觉新知。出猜测，发觉新知。学生学习过程是学生学习过程是动手实践、自主探索动手实践、自主探索主动建构过程，是学主动建构过程，是学生再创造、再发觉过程。生再创造、再发觉过程。第23页