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1、数学建模与试验数学建模与试验 主讲教师：宋叔尼教授等主讲教师：宋叔尼教授等10月第1页一、数学建模一、数学建模与数学建模竞赛与数学建模竞赛首届国家最高科学技术奖取得者吴文俊院士：首届国家最高科学技术奖取得者吴文俊院士：任何数学都要逻辑推理，但这只是问题一个方任何数学都要逻辑推理，但这只是问题一个方面，面，更主要是用数学去处理问题，处理日常生活及更主要是用数学去处理问题，处理日常生活及其它学科中出现数学问题。其它学科中出现数学问题。学校给数学题目都是有答案，已知什么，求证学校给数学题目都是有答案，已知什么，求证什么，都是清楚，题目也一定是做得出。什么，都是清楚，题目也一定是做得出。不过未来到了社
2、会上，所面正确问题大多是预不过未来到了社会上，所面正确问题大多是预先不知道答案，甚至不知道是否会有答案。这就先不知道答案，甚至不知道是否会有答案。这就要要求培养学生创造能力，学会处理各种实际数学问题求培养学生创造能力，学会处理各种实际数学问题方法。方法。第2页 1.了解问题实际背景，明确建模目标，了解问题实际背景，明确建模目标，搜集搜集掌握必掌握必要要数据资料数据资料。2.在明确建模目标，掌握必要资料基础上，经过对在明确建模目标，掌握必要资料基础上，经过对资料分析计资料分析计 算，算，找出起主要作用原因，经必要精炼、找出起主要作用原因，经必要精炼、简化，简化，提出若干符合客观实际假设提出若干符
3、合客观实际假设。3.在所作假设基础上，在所作假设基础上，利用适当数学工具去刻划各利用适当数学工具去刻划各变量之间关系，建立对应数学结构。变量之间关系，建立对应数学结构。4.模型求解。模型求解。5.模型模型分析与检验。分析与检验。数学建模普通步骤数学建模普通步骤第3页建立数学模型来处理实际问题过程，是各领域大建立数学模型来处理实际问题过程，是各领域大量需要。做这么事情，所需要远不只是数学知识量需要。做这么事情，所需要远不只是数学知识和解数学题能力，而和解数学题能力，而需要多方面综合知识和创新需要多方面综合知识和创新能力。能力。所以应该努力培养和提升学生在这方面能力。经所以应该努力培养和提升学生在
4、这方面能力。经过什么方式到达培养学生创新能力？过什么方式到达培养学生创新能力？开展数学竞赛能促进数学研究专门人才培养，那开展数学竞赛能促进数学研究专门人才培养，那么么,为何不能够为何不能够开展一项竞赛来促进数学应用人开展一项竞赛来促进数学应用人才培养才培养呢？呢？第4页从1983年起，美国一些有识之士开始探讨组织一项应用数学方面竞赛可能性。经过论证、争论、争取资助过程，1985年开始有了美国第一届大学生数学建模竞赛(简称MCM)(Mathematical Contest in Modeling)。竞赛由美国工业与应用数学学会和美国运筹学会联合主办。从1985年起每年举行一届，在每年二月下旬举行
5、，到已举行了26届。第5页比赛形式：每个参赛队由三名学生和一个指导教师比赛形式：每个参赛队由三名学生和一个指导教师组成，在要求组成，在要求三、四天三、四天时间内，由学生自行做题，时间内，由学生自行做题，教师不得参赛，共同完成一份答卷。教师不得参赛，共同完成一份答卷。每次考题只有两个题，都是来自实际或有强烈实际每次考题只有两个题，都是来自实际或有强烈实际背景问题，没有固定范围，可能包括各个非常不一背景问题，没有固定范围，可能包括各个非常不一样领域。样领域。每个参赛队从这两个考题中任意选做一个题。参赛每个参赛队从这两个考题中任意选做一个题。参赛队三名队员能够相互讨论，能够查阅资料，能够使队三名队员
6、能够相互讨论，能够查阅资料，能够使用计算机和计算机软件。用计算机和计算机软件。参赛队答卷是一篇完整论文。参赛队答卷是一篇完整论文。第6页比赛结果：教授们在评卷时并不对论文给出分数，而比赛结果：教授们在评卷时并不对论文给出分数，而是将论文分成一些等级是将论文分成一些等级 Outstanding Outstanding（特等奖）（特等奖）Meritorious Meritorious（一等奖）（一等奖）Honorable Mention Honorable Mention（二等奖）（二等奖）Successful Participation Successful Participation（成功参赛
7、奖）（成功参赛奖）评卷标准：并不是看答案对不对，而主要看论文思想评卷标准：并不是看答案对不对，而主要看论文思想方法好不好，以及叙述是否清楚。方法好不好，以及叙述是否清楚。全部成功参赛队员和教练都能得到一张奖状。全部成功参赛队员和教练都能得到一张奖状。第7页同一个考题几篇优异论文甚至连答数都不一样，却同一个考题几篇优异论文甚至连答数都不一样，却一样都优异。一样都优异。既然数学建模赛是考查处理实际问题能力，那就一既然数学建模赛是考查处理实际问题能力，那就一切都以处理实际问题过程为准。切都以处理实际问题过程为准。论文中各种不一样意见、不一样答案能够并存，只论文中各种不一样意见、不一样答案能够并存，只
8、要能够言之成理。要能够言之成理。假如你像解答纯数学题那样，只有数学公式和计算，假如你像解答纯数学题那样，只有数学公式和计算，而不讲清实际问题怎么变成数学公式，也不让计算而不讲清实际问题怎么变成数学公式，也不让计算结果再接收实际检验，即使答案正确，论文也极难结果再接收实际检验，即使答案正确，论文也极难评上好等级。评上好等级。第8页数学建模竞赛三个步骤：数学建模竞赛三个步骤：1、建立模型：实际问题建立模型：实际问题数学问题；数学问题；2、数学解答：数学问题数学解答：数学问题经过计算机得数学解；经过计算机得数学解；3、模型检验：数学解模型检验：数学解实际问题处理。实际问题处理。假如你只重视中间一个步
9、骤（普通初参赛时候轻易假如你只重视中间一个步骤（普通初参赛时候轻易犯这个错误），而对第一和第三这两个步骤不予重犯这个错误），而对第一和第三这两个步骤不予重视，那就违反了数学建模竞赛宗旨，当然就不能得视，那就违反了数学建模竞赛宗旨，当然就不能得到好结果。到好结果。为何要叫数学建模竞赛？就是因为它赛是建立数学为何要叫数学建模竞赛？就是因为它赛是建立数学模型，而不只是比赛解答数学模型。模型，而不只是比赛解答数学模型。第9页MCM即使只是美国国内赛，但它欢迎其它国家大即使只是美国国内赛，但它欢迎其它国家大学组队参加，而且有越来越多国家（包含中国）大学组队参加，而且有越来越多国家（包含中国）大学参加这一
10、竞赛。这就是通常所说学参加这一竞赛。这就是通常所说“国际国际(美国美国)数数学建模竞赛学建模竞赛”。经过酝酿、筹备，从经过酝酿、筹备，从1992年开始年开始,由中国工业与应由中国工业与应用数学学会举行我国自己全国大学生数学模型竞赛用数学学会举行我国自己全国大学生数学模型竞赛（CMCM）。）。教育部对这项活动十分重视，决定从教育部对这项活动十分重视，决定从1994年起，年起，由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同举由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同举行，每年一次。这就是通常所说行，每年一次。这就是通常所说“全国大学生数学全国大学生数学建模竞赛建模竞赛”。第10页伴随赛事开展，越来越多
11、人认识到，数学建模竞赛伴随赛事开展，越来越多人认识到，数学建模竞赛是是培养创新能力一个极好载体培养创新能力一个极好载体:能充分考验学生洞察能力、创造能力、数学语言翻能充分考验学生洞察能力、创造能力、数学语言翻译能力、文字表示能力、综合应用分析能力、联想译能力、文字表示能力、综合应用分析能力、联想能力、使用当代科技最新结果能力等等。能力、使用当代科技最新结果能力等等。培养学生们同舟共济团体精神、协调组织能力、诚培养学生们同舟共济团体精神、协调组织能力、诚信意识和自律精神。信意识和自律精神。许多参加过数学建模竞赛学生感受到许多参加过数学建模竞赛学生感受到“一次参赛，一次参赛，终生受益终生受益”。第
12、11页二、学校数学建模培训方法与政策二、学校数学建模培训方法与政策1.1.学校优惠政策学校优惠政策1.1 取得全国一等奖且符合学校免试推荐硕士基取得全国一等奖且符合学校免试推荐硕士基本条件，经三名以上本专业教授联名推荐，所在本条件，经三名以上本专业教授联名推荐，所在学院推免生遴选工作领导小组严格审查，可不受学院推免生遴选工作领导小组严格审查，可不受综合排名限制，综合排名限制，取得免试内推硕士资格取得免试内推硕士资格，并由学，并由学校单列计划，直接推荐。但学生相关说明材料和校单列计划，直接推荐。但学生相关说明材料和教授推荐信要进行公告。教授推荐信要进行公告。1.2 取得全国二等奖，且符合学校免试
13、推荐硕士取得全国二等奖，且符合学校免试推荐硕士基本条件，基本条件，取得外推考试资格。取得外推考试资格。第12页1.3 依据比赛成绩对比赛学期三门课程考试成绩按依据比赛成绩对比赛学期三门课程考试成绩按以下公式折算，但最高以下公式折算，但最高不能超出不能超出95分，三门课程总分，三门课程总学分不超出学分不超出6学分。学分。免修、免考课程成绩不得乘系免修、免考课程成绩不得乘系数数。乘系数课程必须为理论课程或与比赛项目相近。乘系数课程必须为理论课程或与比赛项目相近实践步骤，详细由各学院教学办审核。实践步骤，详细由各学院教学办审核。记载成绩记载成绩=考评成绩考评成绩R。竞竞 赛赛 名名 称称特等特等奖奖
14、一等一等奖奖二等二等奖奖国国际际数学建模竞赛数学建模竞赛1.51.51.41.41.31.3全国全国数学建模竞赛数学建模竞赛1.41.41.31.3省省数学建模竞赛数学建模竞赛1.21.21.11.11.41.4 奖金奖金 一等奖：一等奖：30003000元元 ，二等奖：二等奖：15001500元元第13页2.东北大学在数学建模竞赛获奖情况，国际二等 5 个；年，国际一等 1 个，国际二等 1 个；20，国际一等 2 个，国际二等 3 个；20，国际二等 6 个。主要原因（1）学生自发行为；（2）缺乏有效引导；（3）建模教学未能普及。205月开始建立培训机制，提出开设课程。20开始进入长期化管
15、理。20，国际一等 2 个，国际二等 7 个；20，国际一等12个，国际二等 9 个。第14页2.东北大学数学建模培训东北大学数学建模培训 1)数学建模与试验（数学建模与试验（32课时，基础知识训练）课时，基础知识训练）2)建模竞赛选拔建模竞赛选拔 3)选拔队员培训（暑期培训，案例选讲）选拔队员培训（暑期培训，案例选讲）学校学校特等奖特等奖一等奖一等奖二等奖二等奖浙江大学浙江大学1104华中科技大学华中科技大学156中国科技大学中国科技大学98哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学839电子科技大学电子科技大学84北京理工大学北京理工大学77清华大学清华大学74西安交通大学西安交通大学64大连理工大学大
16、连理工大学516 国内其它高校情况国内其它高校情况第15页三、数学建模惯用方法三、数学建模惯用方法类比法类比法差分法差分法变分法变分法图论法图论法层次分析法层次分析法数据拟正当数据拟正当回归分析法回归分析法数学规划（线性规划，非线性规划，数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）整数规划，动态规划，目标规划）第16页机理分析法机理分析法排队方法排队方法对策方法对策方法决议方法决议方法含糊评判方法含糊评判方法时间序列方法时间序列方法灰色理论方法灰色理论方法当代优化算法（神经网络，当代优化算法（神经网络，模拟退火算法，遗传算法）模拟退火算法，遗传算法）第17页四、数学模型分类与
17、需要相关知识四、数学模型分类与需要相关知识优化模型优化模型微分方程模型微分方程模型统计模型统计模型概率模型概率模型图论模型图论模型第18页 课程安排课程安排第19页竞赛中发散性思维方法竞赛中发散性思维方法借助于一系列问题来展开思绪借助于一系列问题来展开思绪这个问题与什么问题相同？这个问题与什么问题相同？假如将问题分解成两个或几个部分会怎样？假如将问题分解成两个或几个部分会怎样？极限情形（或理想状态）怎样？极限情形（或理想状态）怎样？综合问题条件可得到什么结果？综合问题条件可得到什么结果？要实现问题目标需要什么条件？要实现问题目标需要什么条件？借助于借助于下意识联想（灵感）下意识联想（灵感）来展
18、开思绪来展开思绪抓住问题个别条件或关键词展开联想或猜测抓住问题个别条件或关键词展开联想或猜测综合所得到联想和猜测，得到一些结论综合所得到联想和猜测，得到一些结论深入思索找出新思绪和方法深入思索找出新思绪和方法第20页参加数学建模竞赛需要知识参加数学建模竞赛需要知识 没有必要很系统学很多数学知识。没有必要很系统学很多数学知识。很很多多优优异异论论文文，是是思思维维比比较较全全方方面面、贴贴合合实实际际、能处理问题或是能处理问题或是有所有所创新。创新。1.数学知识应用能力数学知识应用能力 2.计算机利用能力计算机利用能力 3.论文写作能力论文写作能力 一一定定要要有有一一个个人人会会编编程程序序，
19、能能够够实实现现一一些些算算法法。另另外外需需要要有有一一个个论论文文写写比比很很好好，不不过过写写不不好好也也没没关关系系，多多看看一一看看他他人人优优异异论论文文，多多用用几几次次 word，Visio。第21页竞赛中群体思维方法竞赛中群体思维方法 地位平等、相互尊重地位平等、相互尊重杜绝武断评价杜绝武断评价不要回避责任不要回避责任充分交流，不要对交流失去信心充分交流，不要对交流失去信心“数学建模与试验数学建模与试验”课程要求课程要求课程中课程中课后（结课）课后（结课）第22页数学建模与试验数学建模与试验 宋叔尼宋叔尼10月 第一讲第一讲 数学建模与方程组相关问题数学建模与方程组相关问题
20、第23页许多实际问题能够归结为方程组求解许多实际问题能够归结为方程组求解比如：冶金工程、机械结构、大型土木结构、最优控制比如：冶金工程、机械结构、大型土木结构、最优控制 大型输电网络、图像处理、种群繁殖、经济规划等。大型输电网络、图像处理、种群繁殖、经济规划等。1.投入产出分析投入产出分析1949年，哈佛大学教授年，哈佛大学教授 Leontief 把美国经济分解成把美国经济分解成500个个部门部门(如农业、制造业、服务业等如农业、制造业、服务业等)，对每个部门，其产出，对每个部门，其产出怎样分配给其它经济部门？怎样分配给其它经济部门？构建了构建了500个未知数，个未知数，500个方程方程组，受
21、计算机个方程方程组，受计算机限制只好把问题简化为限制只好把问题简化为42个未知数，个未知数，42个方程方程组。个方程方程组。该结果获该结果获1973年诺贝尔经济学奖。年诺贝尔经济学奖。下面假设：经济体系中仅由农业、制造业、服务业组成，下面假设：经济体系中仅由农业、制造业、服务业组成，这些部门生产商品和服务。这些部门生产商品和服务。第24页 产出产出 投入投入农业农业制造业制造业服务业服务业外部需求外部需求总产出总产出农业农业15203035100制造业制造业301045115200服务业服务业2060070150初始投入初始投入3511075总投入总投入100200150各部门间投入产出平衡关
22、系各部门间投入产出平衡关系上表中第一行表示农业总产出为上表中第一行表示农业总产出为100时，时，15农产品用于农农产品用于农业生产，业生产，20用于制造，用于制造，30用于服务，用于服务，35用于外部需求。用于外部需求。第25页1.1.给定外部需求，建立求解各部门总产出模型。给定外部需求，建立求解各部门总产出模型。2.2.假如对农业、制造业、服务业外部需求分别为假如对农业、制造业、服务业外部需求分别为5050，150 150，100100，问三个部门总产出分别应为多少？，问三个部门总产出分别应为多少？3.3.若三部门外部需求分别增加若三部门外部需求分别增加1 1单位，总产出应增加多少？单位，总
23、产出应增加多少？4.4.若对任意给定非负外部需求，都能得到非负总产出，若对任意给定非负外部需求，都能得到非负总产出，称模型可行。为使模型可行，应满足什么条件？称模型可行。为使模型可行，应满足什么条件？问问 题题第26页 产出产出 投入投入农业农业制造业制造业服务业服务业外部需求外部需求总产出总产出农业农业15203035100制造业制造业301045115200服务业服务业2060070150初始投入初始投入3511075总投入总投入100200150设有设有n个部门，第个部门，第i个部门总产出为个部门总产出为xi，用于用于(投入到投入到)第第j个个部门部门xij，外部需求为外部需求为di，则
24、，则 假设每个部门产出与投入成正比，假设每个部门产出与投入成正比，即即 xij/xj为常数，记为为常数，记为 aij.1.给定外部需求，建立求解各部门总产出模型给定外部需求，建立求解各部门总产出模型第27页转换成转换成记投入系数矩阵记投入系数矩阵 ，产出向量，产出向量需求向量需求向量 ，则方程组记为，则方程组记为即即这就是线性代数方程组。这就是线性代数方程组。第28页 产出产出 投投入入农业农业制造制造业业服务服务业业农业农业0.150.100.20制造制造业业0.300.050.30服务服务业业0.200.300投入产出系数表投入产出系数表 产出产出 投入投入农业农业制造业制造业服务业服务业
25、外部需求外部需求总产出总产出农业农业15203035100制造业制造业301045115200服务业服务业2060070150初始投入初始投入3511075总投入总投入100200150各部门间投入产出平衡关系各部门间投入产出平衡关系第29页得到数学模型（线性方程组）得到数学模型（线性方程组）第30页2.假如对农业、制造业、服务业外部需求分别为假如对农业、制造业、服务业外部需求分别为50，150，100，问三个部门总产出分别应为多少？，问三个部门总产出分别应为多少？用用MATLAB求出即可求出即可3.若三部门外部需求分别若三部门外部需求分别增加增加1单位单位，总产出应增加多少？，总产出应增加多
26、少？得得令令求解求解第31页4.若对任意给定非负外部需求，都能得到非负总产出，若对任意给定非负外部需求，都能得到非负总产出，称模型可行。为使模型可行，应满足什么条件？称模型可行。为使模型可行，应满足什么条件？要使模型可行，即对任意外部需求要使模型可行，即对任意外部需求 得得 .由由 知，假如知，假如 (即每个元素非负即每个元素非负).即满足结论即满足结论.假如假如 ，就有，就有 假如假如 ，必有，必有 .得到得到这等价于这等价于又因为又因为第32页普通来说数学建模过程以下：普通来说数学建模过程以下：形成论文形成论文第33页假设载荷很小，则发假设载荷很小，则发生形变也很小，用生形变也很小，用u=
27、u(x)表示在载荷表示在载荷f(x)作用下弦平衡位作用下弦平衡位置，则置，则AB非线性非线性2.2.弦振动问题（微分方程问题）弦振动问题（微分方程问题）第34页区间区间 a,b 上连续函数全体，记为上连续函数全体，记为C a,b;区间区间a,b上二阶连续可微函数全体，记为上二阶连续可微函数全体，记为C2a,b;按照通常函数加法和数与函数乘法两种运算按照通常函数加法和数与函数乘法两种运算,组成实数域上线性空间组成实数域上线性空间.第35页第36页结合边界条件结合边界条件第37页问题问题1 方程组求解问题方程组求解问题第38页微分方程微分方程解是解是 中函数（或元素）。中函数（或元素）。方程组解方
28、程组解是是N1 维空间中向量。维空间中向量。时，该向量极限是否为原方程解？时，该向量极限是否为原方程解？问题问题 2第39页设设A，B是重力场中给定两点，且是重力场中给定两点，且A点高于点高于B点，点，B点不恰好位于点不恰好位于A点下方。点下方。3 3 最速降线问题最速降线问题一个在一个在A点静止质点在重力作点静止质点在重力作用下沿着怎样路线用下沿着怎样路线C无摩擦地无摩擦地从从A点滑到点滑到B点，才能使所花点，才能使所花时间最短？时间最短？该曲线该曲线C称为最速降线。称为最速降线。怎样求出该曲线？怎样求出该曲线？3.1 问题提出问题提出第40页考虑连接考虑连接A,BA,B曲线曲线显然，质点运
29、动速度显然，质点运动速度这里这里 表示弧长。表示弧长。所以所以故所需时间为故所需时间为结构坐标系结构坐标系第41页设曲线上一点处切线与设曲线上一点处切线与 轴方向夹角为轴方向夹角为 ；设质点质量为设质点质量为 ，重力加速度为，重力加速度为 ；由牛顿运动第二定律由牛顿运动第二定律两端同乘以两端同乘以 ，则，则两边积分，则有两边积分，则有但已设初速为零，故但已设初速为零，故 ，从而从而 .第42页于是我们问题便是在条件于是我们问题便是在条件 ，之下之下寻求使寻求使取最小函数取最小函数 。由上可知，由上可知，是是 函数，函数，同时同时 是是 函数；函数；所以所以 是函数是函数 函数。函数。工程上经常
30、称工程上经常称 是是 泛函。泛函。记为记为第43页3.2 3.2 求解问题初步构想求解问题初步构想先考虑从先考虑从 到到 以下曲线：以下曲线：(i)(i)直线段；直线段；(ii)(ii)圆弧圆弧(自己选择一条自己选择一条)；(iii)(iii)抛物线抛物线(自己选择一条自己选择一条)；分别计算所花时间分别计算所花时间（练习）（练习）。第44页 这么将这么将 分成分成 个小段，每段长度个小段，每段长度 。将区间将区间 等份，每段长度等于等份，每段长度等于 ，而，而在区间在区间 内插入内插入 个分点个分点 ，使使对对 成立。成立。此时，曲线此时，曲线 对应地被分成对应地被分成 小段：小段：3.3
31、3.3 近似计算近似计算第45页注意注意 和和 不能改变，不能改变，是固定点。是固定点。记记 ，是坐标为是坐标为 点。点。而其余而其余 及及 纵坐标伴随曲线纵坐标伴随曲线 不一样而改变。不一样而改变。假如假如 比较大，而且每个比较大，而且每个 都比较小，都比较小，则则可近似地看成从可近似地看成从 到到 直线段。直线段。质点在质点在 ，两点速度分别是两点速度分别是 ，；在直线段在直线段 内平均速度为内平均速度为第46页质点经过这条直线段时间是质点经过这条直线段时间是总时间总时间 近似地等于近似地等于这么即求出了这么即求出了 值值求适当求适当 使使 最小最小.第47页4.多元函数极小值问题多元函数
32、极小值问题 （非线性方程组计算问题）（非线性方程组计算问题）4.1 函数极小值问题与方程求根函数极小值问题与方程求根一元函数极值转化为函数方程求根一元函数极值转化为函数方程求根多元函数极值问题转化为求非线性方程组解问题多元函数极值问题转化为求非线性方程组解问题设设 在在 取极小值，则取极小值，则设设 在在 取极小值，则取极小值，则即求即求f(x)=0根根.第48页4.2 Newton 迭代法迭代法4.2.1 Newton迭代公式迭代公式 设设(x)在有根区间在有根区间a,ba,b上二阶连续可微上二阶连续可微,给定根给定根 某个近似值某个近似值x x0 0（初值）（初值）,取取(x)(x0 0)
33、+)+(x0 0)()(x-x0 0),),方程方程(x)=0)=0近似为近似为 (x0 0)+)+(x0 0)()(x-x0 0)=0)=0若若(x0 0)0,0,其解为其解为因为因为第49页得到根新近似值x1,普通地,在xk附近线性化方程为 (xk)+(xk)(x-xk)=0设(xk)0,其解为迭代格式称为Newton Newton 迭代法迭代法.xyox0y=(x)x1x2直线 y=(x0)+(x0)(x-x0)就是 y-(x0)=(x0)(x-x0)Newton迭代法也叫切线法切线法.k,2,1,0,)()(1L=-=+kxfxfxxkkk第50页 设(x)在根附近含有二阶连续导数,则
34、对充分接近初值x0,Newton迭代法产生序列xk收敛于,且定理定理 例例 用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近根.4.2.2 Newton迭代法收敛性迭代法收敛性 例例 用Newton迭代法求8x5-12x4-26x3-13x2+58x+30=0根,在1.5附近根.第51页为了简化计算(xk),采取格式称为简化简化NewtonNewton迭代法迭代法.oxyy=(x)x0 x1x2x3 在区间I=-,+上,取M与(x)同号,且M1/2max|(x)|时,简化Newton迭代法对x0I收敛.通常取M=(x0).简化Newton迭代法普通只含有线性收敛.简化简化Newton迭代法
35、迭代法第52页非线性方程组求解非线性方程组求解向量记法向量记法第53页对于函数方程f(x)=0,假如(xk)0,其近似解为迭代格式称为 Newton迭代法迭代法.,2,1,0,)()(1L=-=+kxfxfxxkkkk上式改为上式改为第54页Hessen矩阵矩阵第55页例例 用用Newton迭代法求解非线性方程组迭代法求解非线性方程组在在 初值初值(1,1)解。解。例例 用用Newton迭代法求解非线性方程组迭代法求解非线性方程组在初值在初值(2,2)附近解。附近解。第56页理论问题理论问题 收敛性，收敛区域，修改方法收敛性，收敛区域，修改方法 稳定性稳定性 矩阵范数矩阵范数 矩阵条件数矩阵条件数第57页数学建模与试验参考书数学建模与试验参考书1.姜启源.数学模型(第二版),高等教育出版社.2.姜启源等.数学建模(第三版)，高等教育出版社.3.萧树铁等.数学试验，高等教育出版社.4.朱道元.数学建模案例精选，科学出版社.5.雷功炎.数学模型讲义，北京大学出版社.6.叶其孝等.大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社.7.江裕钊等.数学模型与计算机模拟，电子科技大学出版社8.杨启帆等.数学模型，浙江大学出版社.9.赵静等.数学建模与数学试验,高等教育出版社，施普林格出版社.第58页谢谢 谢！谢！第59页