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1、2023-2024学年云南省昆明市五华区高一（下）质检数学试卷（6月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若复数z的虚部小于0，且z21，则z（1z）（）A1+iB1iC1+iD1i2（5分）已知向量（1，），则下列选项中与共线的单位向量是（）ABCD3（5分）已知平面向量满足，则向量的夹角为（）ABCD4（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，则直线D1E与平面ACD1所成的角的正弦值为（）ABCD5（5分）在三角形ABC中，若D，E分别为边CA，且AC5AD，BC3BE，则以下结论错误的是（）ABC
2、D6（5分）如图，在ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，则（）ABCD7（5分）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（）A“大于3点”与“不大于3点”B“大于3点”与“小于2点”C“大于3点”与“小于4点”D“大于3点”与“小于5点”8（5分）瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，N，O，P为ABC所在平面上的点，满足|，+，a+b（a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边），则欧拉线一定过（）AM
3、，N，PBM，N，OCM，O，PDN，O，P二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分（多选）9（6分）若复数z满足：z（1i）|z|（1+i），则（）Az的实部为0Bz的虚部为任意一个实数Cz+0Dz0（多选）10（6分）已知向量，下列结论中正确的是（）A若，则B若，则x2C当x2时，与的夹角为锐角D若x1，则与的夹角的余弦值为（多选）11（6分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知ABBC3，AA12，P，Q分别为A1D1，D1C1的中点，S为棱BC的三等分点，BS1，Q，S三点作一个平面与
4、C1C，AB，A1A分别交于点R，M，N，即得到一个截面PQRSMN，则（）APQMSBANCRCMN与平面ABCD所成的角的正切值为D点A到截面的距离为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12（5分）已知甲的三分球投篮命中率为0.4，则他投两个三分球，两个都投中的概率 13（5分）已知向量，若，则x 14（5分）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA底面ABCD，则四棱锥PABCD外接球表面积为 ；若点Q是线段AC上的动点，则|PQ|+|QB|的最小值为 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分解答应
5、写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）已知向量，（1）若，求的值；（2）若，求的值16（15分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，ABC的面积为S，且（1）求角A的大小；（2）若a7，bc40，求ABC的周长17（15分）某果园大约还有5万个蜜桔等待出售，原销售方案是所有蜜桔都以25元/千克的价格进行销售，为了更好地促进销售，需对蜜桔质量进行质量分析，其质量分别在25，35），45），45，55，65），75），75（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示（1）求m的值；（2）估计该果园这200个蜜桔的平均质量为多少克/个；（同一组的数据以该组区间的中点值为代表）（3）
6、以样本估计总体，若低于55克的蜜桔以140元/百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元/百个进行销售18（17分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PAB是正三角形，平面PAB平面ABCD（1）求三棱锥QPAD的体积；（2）求平面PBC与平面BCD夹角的余弦值19（17分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PAPD，PAPD（1）求证：PMBC；（2）求证：平面PAB平面PCD；（3）在棱PA上是否存在一点N，使得PC平面BMN？若存在，求的值，请说明理由2023-2024学年云南省昆明市五华区高一（下）质检数学试卷（6月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8
7、小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若复数z的虚部小于0，且z21，则z（1z）（）A1+iB1iC1+iD1i【分析】设复数za+bi，b0，然后根据z21，解得zi，最后代入求解即可【解答】解：设复数za+bi，b028，所以z2a2b5+2abi，所以a0，zi，所以z（2z）i（1+i）ii25i故选：B【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题2（5分）已知向量（1，），则下列选项中与共线的单位向量是（）ABCD【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，以及单位向量的定义，即可求解【解答】解：向量（1，），则，故与共线的单位向量是
8、，结合选项可知，B正确故选：B【点评】本题主要考查向量共线的性质，以及单位向量的定义，属于基础题3（5分）已知平面向量满足，则向量的夹角为（）ABCD【分析】根据向量的坐标可求出的值，然后对两边平方进行数量积的运算即可求出的值，然后根据向量夹角的余弦公式求出的值，然后即可得出向量与向量的夹角【解答】解：，且，故选：D【点评】本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，考查了计算能力，属于基础题4（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，则直线D1E与平面ACD1所成的角的正弦值为（）ABCD【分析】建立空间直角坐标系，利用
9、向量法求得直线D1E与平面ACD1所成角的正弦值【解答】解：以DA，DC1所在直线为x，y，z轴，设正方体的棱长为4，则B8（4，4，6），D1（0，7，4），0，6），4，0），8，0），所以DB1AD1，DB5CD1，由于AD1CD2D1，所以DB1平面ACD7，即平面ACD1的法向量为，设直线D1E与平面ACD1所成的角为，则故选：B【点评】本题考查利用空间向量求解线面角，考查运算求解能力，属于中档题5（5分）在三角形ABC中，若D，E分别为边CA，且AC5AD，BC3BE，则以下结论错误的是（）ABCD【分析】由三角形的面积公式可判断A；过点E作EFCA，交DB于点F，通过相似比结合D
10、C4AD可得，即可判断B；由向量的线性运算可判断C，D【解答】解：对于A，显然，；对于B，过点E作EFCA，则，DC4AD，即，故B正确；对于D，故D正确，对于C，由D知，则，则，故C错误故选：C【点评】本题考查平面向量的线性运算和三角形的面积，属于中档题6（5分）如图，在ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，则（）ABCD【分析】由A，D，P三点共线可得，由E，P，C三点共线可得，再由平面向量基本定理得到关于，的方程组，求解后代入即可求得【解答】解：D，E分别为BC和BA的三等分点，点E靠近点A，A，D，P三点共线，E，P，C三点共线，由平面向
11、量基本定理可得：，解得，故选：B【点评】本题考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理，属于中档题7（5分）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（）A“大于3点”与“不大于3点”B“大于3点”与“小于2点”C“大于3点”与“小于4点”D“大于3点”与“小于5点”【分析】根据对立事件和互斥事件的定义分别判断即可【解答】解：对于A，“大于3点”与“不大于3点”不能同时发生，但必有一个发生，是互斥且对立事件；对于B，“大于4点”与“小于2点”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥不对立事件；对于C，“大于3点”与“小于3点”不能同时发生，但必有一个发生，是
12、互斥且对立事件；对于D，“大于3点”与“小于5点”能同时发生，故不是互斥事件，故D错误故选：B【点评】本题考查了对立事件和互斥事件，熟练掌握定义是解题的关键，是基础题8（5分）瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，N，O，P为ABC所在平面上的点，满足|，+，a+b（a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边），则欧拉线一定过（）AM，N，PBM，N，OCM，O，PDN，O，P【分析】由题设条件，分别判定M为外心，N为重心，O为垂心，点P的位置和a，b，c有关，故不一定，由此得出结论【解答】解：因
13、为M，N，O，P为ABC所在平面上的点由|，可知点M为ABC的外心，设BC边的中点为D，则，又+，所以4，即A，N，故点N为ABC的重心，由a+b可知，当abc时，点P是ABC的重心，由可得：，即OBAC，同理可得：OCAB，OABC，故点O为ABC的垂心，由欧拉线定义可知，欧拉线一定经过M，N故选：B【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积性质，属中档题二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分（多选）9（6分）若复数z满足：z（1i）|z|（1+i），则（）Az的实部为0Bz的虚部为任意一个实
14、数Cz+0Dz0【分析】设za+bi（a，bR），利用复数代数形式的混合运算法则及模的性质即可判断出正确答案【解答】解：设za+bi（a，bR），因为z（1i）|z|（1+i），所以，化简得，所以，所以a0，故A，B，D错误故选：AC【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题（多选）10（6分）已知向量，下列结论中正确的是（）A若，则B若，则x2C当x2时，与的夹角为锐角D若x1，则与的夹角的余弦值为【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，利用特例说明C，由数量积的坐标表示计算B、D【解答】解：对于A：若，因为，则2x12，解得；对于B：若，则，解得x5；对于C：当时，此时与共线同向；对于D
15、：若x1时，则，所以，即与的夹角的余弦值为故选：ABD【点评】本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题（多选）11（6分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知ABBC3，AA12，P，Q分别为A1D1，D1C1的中点，S为棱BC的三等分点，BS1，Q，S三点作一个平面与C1C，AB，A1A分别交于点R，M，N，即得到一个截面PQRSMN，则（）APQMSBANCRCMN与平面ABCD所成的角的正切值为D点A到截面的距离为1【分析】由平面ABCD平面A1B1C1D1，得到平面平面ABCDMS，得到PQMS，可判定A正确；根据对称性得到可得ANCR，可判定B正确；延长SM与DA的延长线交于
16、E，再连接PE，PE与A1A交点为N和R，结合，可判定C正确；取EM的中点为G，连接AG，NG，过A作AHNG于点H，证得AH平面EMN，结合，可判定D不正确【解答】解：在长方体ABCDA1B1C6D1中，因为平面ABCD平面A1B2C1D1，平面平面ABCDMS，平面平面A5B1C1D5PQ，所以PQMS，所以A正确；根据点P与点Q和点M与点S分别关于平面BDD1B1对称，可得ANCR；延长SM与DA的延长线交于E，再连接PE4A交点为N，同理确定R，因为AEBS，所以，因为BSBM1，AM2，因为A2D13，点P为A4D1的中点，所以，同理可得，A1A2，所以，又因为AM2，所以MN与平面
17、ABCD所成的角的正切值为；取EM的中点为G，连接AG，过A作AHNG于点H，因为AEAM，所以EMAG，又因为EMNA，AGANA，AN平面NAG，因为EM平面EMN，所以平面EMN平面NAG，又因为AHNG，AH平面NAG，所以AH平面EMN，又由，所以故选：ABC【点评】本题考查空间中的线线平行的判定，直线与平面所成角的求法，点到平面的距离的求法，属中档题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12（5分）已知甲的三分球投篮命中率为0.4，则他投两个三分球，两个都投中的概率 0.16【分析】由独立事件的乘法公式求解即可得出答案【解答】解：甲两个三分球都投中的概率为：0.47.40.
18、16故答案为：8.16【点评】本题主要考查了独立事件的乘法公式，属于基础题13（5分）已知向量，若，则x4【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解【解答】解：，则，2+2（2x）4，解得x4故答案为：4【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题14（5分）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA底面ABCD，则四棱锥PABCD外接球表面积为 40；若点Q是线段AC上的动点，则|PQ|+|QB|的最小值为 2【分析】设PC中点为O，则，可得外接球的球心与半径，从而可求外接球的表面积；将PAC绕AC翻折到与DAC所在面重合，连接PB，交AC于点Q，此时|PQ|+|Q
19、B|最小，求解即可【解答】解：设PC中点为O，则，所以O为四棱锥PABCD外接球的球心， 为该球半径，所以其表面积为；如图，将PAC绕AC翻折到与DAC所在面重合，连接PB，交AC于点Q，最小值为2故答案为：40；2【点评】本题考查求空间几何体的外接球的表面积，考查距离和的最小值问题，属中档题四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）已知向量，（1）若，求的值；（2）若，求的值【分析】（1）利用平面向量坐标运算得出，然后再利用向量平行的坐标表示计算得出的值（2）利用平面向量坐标运算得出
20、，再根据向量垂直的坐标表示计算得出的值【解答】解：（1）由题意可得，因为，所以349（2）由题意可得，因为，所以86+86，解得【点评】本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题16（15分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，ABC的面积为S，且（1）求角A的大小；（2）若a7，bc40，求ABC的周长【分析】（1）先利用题给条件求得，进而求得角A的大小；（2）先利用余弦定理求得b+c13，进而求得ABC的周长【解答】解：（1）因为，所以，则，所以又因为A（0，）（2）由余弦定理得，即b2+c249bc，得（b+c）749+3bc169，则b+c13，故ABC的周长为a+b+
21、c20【点评】本题主要考查解三角形，余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题17（15分）某果园大约还有5万个蜜桔等待出售，原销售方案是所有蜜桔都以25元/千克的价格进行销售，为了更好地促进销售，需对蜜桔质量进行质量分析，其质量分别在25，35），45），45，55，65），75），75（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示（1）求m的值；（2）估计该果园这200个蜜桔的平均质量为多少克/个；（同一组的数据以该组区间的中点值为代表）（3）以样本估计总体，若低于55克的蜜桔以140元/百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元/百个进行销售【分析】（1）由小长方形面积之和为1求解即可；（2
22、）由频率分布直方图平均数的计算方法求解即可；（3）分别计算两种方式的收益，比较大小即可得出答案【解答】解：（1）根据题意得（0.005+0.010+m+2.040+0.020+0.010）107，解得m0.015（2）该果园这200个蜜桔的平均质量约为300.05+405.10+500.15+600.40+704.20+800.1059克/个，（3）依题意可估计该果园这5万个蜜桔的总质量为759295万克2950千克，若按原销售方案进行销售，则可获得的收益约为29502573750元；若低于55克的蜜桔以140元/百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元/百个进行销售，则可获得的收益约为（0
23、.05+0.10+3.15）500140+（0.40+0.20+4.10）50016077000元因为7700073750，所以按新方案进行销售【点评】本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题18（17分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PAB是正三角形，平面PAB平面ABCD（1）求三棱锥QPAD的体积；（2）求平面PBC与平面BCD夹角的余弦值【分析】（1）根据面面垂直得线面垂直，由等体积法即可求解；（2）根据面面垂直得线面垂直，进而根据面面角的几何法求解其平面角，利用三角形的边角关系即可求解【解答】解：（1）如图，取AB中点O，PAB是正三角形，POAB，平面PAB平面
24、ABCD，且两平面的交线为AB，PO平面ABCD，又，则；（2）由（1）知PO平面ABCD，BC平面ABCD，过O作OHBC于H，连接PH，PO、OH平面POH，BC平面POH，则BCPH，PHO即为平面PBC与平面BCD的夹角，在RtPHO中，因为，所以，即，即平面PBC与平面BCD夹角的余弦值为【点评】本题考查了空间几何体的体积、二面角的求解，考查了运算能力，属于中档题19（17分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PAPD，PAPD（1）求证：PMBC；（2）求证：平面PAB平面PCD；（3）在棱PA上是否存在一点N，使得PC平面BMN？若存在，求的值，请说明理由【分析】（
25、1）依题意可得PMAD，再由底面ABCD为矩形，则ADBC，即可得证；（2）由已知证明PD平面PAB，进一步可得平面PAB平面PCD；（3）连接BM、AC，BMACO，连接ON，依题意可得COBAOM，则，再由线面平行的性质得到ONPC，即可得解【解答】解：（1）证明：因为PAPD，M为AD的中点，又底面ABCD为矩形，所以ADBC（2）证明：底面ABCD为矩形，ABAD平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，AB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD又PAPD，PAABA、AB平面PAB，而PD平面PCD，平面PAB平面PCD；（3）存在，且，理由如下：连接BM、AC，连接ON，因为ABCD是矩形，且M为AD的中点，所以，又PC平面BMN，平面APC平面BMNON，所以ONPC，所以【点评】本题考查线线垂直的证明，面面垂直的证明，线面平行的性质定理，属中档题声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/20 10:45:01；用户：15290311958；邮箱：15290311958；学号：48861359第18页（共18页）学科网（北京）股份有限公司