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1、第 1 页（共 26 页）2024 年山东省烟台市中考数学试卷年山东省烟台市中考数学试卷 一、选择题（一、选择题（本大题共本大题共 10 个小题，个小题，每小题每小题 3 分，分，满分满分 30 分）分）每小题都给出标号为每小题都给出标号为 A，B，C，D 四个备四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。选答案，其中有且只有一个是正确的。1下列实数中的无理数是（）A B3.14 C D 2下列计算结果为 a6的是（）Aa2a3 Ba12a2 Ca3+a3 D（a2）3 3如图是由 8 个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图
2、形，则应取走（）A B C D 4实数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）Ab+c3 Bac0 C|a|c|D2a2b 5目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有 0.015 毫米，约是 A4 纸厚度的六分之一已知 1 毫米1 百万纳米，0.015 毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（）A0.15103纳米 B1.5104纳米 C15105纳米 D1.5106纳米 6射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为 S甲2和 S乙2，则 S甲2和 S乙2的大小关系是（）AS甲2S乙2 BS甲2S乙2 CS甲2S乙2 D无法确定 7某班开展“
3、用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线 OP 为AOB 的平分线的有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为对角线 BD，AC 的三等分点，连接 AE 并延长交 CD于点 G，连接 EF，FG若AGF，则FAG 用含 的代数式表示为（）第 2 页（共 26 页）A B C D 9周髀算经是中国现存最早的数理天文著作书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织
4、了一尺布，30 天完工，问一共织了多少布？（）A45 尺 B88 尺 C90 尺 D98 尺 10如图，水平放置的矩形 ABCD 中，AB6cm，BC8cm，菱形 EFGH 的顶点 E，G 在同一水平线上，点 G 与 AB 的中点重合，EF2cm，E60，现将菱形 EFGH 以 1cm/s 的速度沿 BC方向匀速运动，当点 E 运动到 CD 上时停止在这个运动过程中，菱形 EFGH 与矩形 ABCD 重叠部分的面积 S（cm2）与运动时间 t（s）之间的函数关系图象大致是（）A B C D 二、填空题（二、填空题（本大题共本大题共 6 个小题，个小题，每小题每小题 3 分，分，满分满分 18
5、分）分）第 3 页（共 26 页）11若代数式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 12关于 x 的不等式 m1x 有正数解，m 的值可以是 （写出一个即可）13若一元二次方程 2x24x10 的两根为 m，n，则 3m24m+n2的值为 14如图，在边长为 6 的正六边形 ABCDEF 中，以点 F 为圆心，以 FB 的长为半径作，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 15如图，在ABCD 中，C120，AB8，BC10，E 为边 CD 的中点，F 为边 AD 上的一动点，将 DEF 沿 EF 翻 折 得 D EF，连 接 AD，BD，则 ABD 面 积 的 最 小
6、值为 16已知二次函数 yax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表：x 4 3 1 1 5 y 0 5 9 5 27 下列结论：abc0；关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c9 有两个相等的实数根；当4x1 时，y 的取值范围为 0y5；若点（m，y1），（m2，y2）均在二次函数图象上，则 y1y2；满足 ax2+（b+1）x+c2 的 x 的取值范围是 x2 或 x3 其中正确结论的序号为 三、解答题（三、解答题（本大题共本大题共 8 个小题，个小题，满分满分 72 分）分）17（6 分）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若 m 是其显示结果的平方根，先化简：（+
7、），再求值 18（7 分）“山海同行，舰回烟台”2024 年 4 月 23 日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立 75周年值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用 t 表示，单位：h）进行调查经过整理，将数据分成四组（A 组：0t2；B 组：2t4；C 组：4t6；D 组：6t8），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图 第 4 页（共 26 页）（1）请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，a 的值为 ，D 组对应的扇形圆心角的度数为 ；（3）D 组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用
8、树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率 19（8 分）根据手机的素材，探索完成任务 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为，冬至日时，1429；夏至日时，4376 sin140.24，cos140.97，tan140.25 sin290.48，cos290.87，tan290.55 sin430.68，cos430.73，tan430.94 sin760.97，cos760.24，tan76
9、4.01 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板已知两楼间距为 54 米，甲楼 AB 共 11 层，乙楼 CD 共15 层，一层从地面起，每层楼高皆为 3.3 米 AE 为某时刻的太阳光线 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 日（填冬至或夏至）时，为 （填 14，29，43，76中的一个）进行计算 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器 20（8 分）每年 5 月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享
10、美好生活”康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售根据市场调查，每辆轮椅盈利 200 元时，每天可售出 60 辆；单价每降低 10 元，每天可多售出 4 辆公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于 180 元设每辆轮椅降价 x 元，每天的销售利润为 y 元（1）求 y 与 x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润 12160 元，请问这天售出了多少辆轮椅？第 5 页（共 26 页）21（9 分）如图，正比例函数 yx 与反比例函数 y的图象交于点 A（，a）将正比例函数图象向下平移 n（n0）个
11、单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点 B，C，与 x 轴，y轴交于点 D，E，且满足 BE：CE3：2，过点 B 作 BFx 轴，垂足为点 F，G 为 x 轴上一点，直线 BC 与 BG 关于直线 BF 成轴对称，连接 CG（1）求反比例函数的表达式；（2）求 n 的值及BCG 的面积 22（10 分）在等腰直角ABC 中，ACB90，ACBC，D 为直线 BC 上任意一点，连接 AD 将线段 AD 绕点 D 按顺时针方向旋转 90得线段 ED，连接 BE【尝试发现】（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，线段 BE 与 CD 的数量关系为 ；【类比探究】（2）当点 D 在线段
12、BC 的延长线上时，先在图 2 中补全图形，再探究线段 BE 与 CD 的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若 ACBC1，CD2，请直接写出 sinECD 的值 23（11 分）如图，AB 是O 的直径，ABC 内接于O，点 I 为ABC 的内心，连接 CI 并延长交O 于点 D，E 是上任意一点，连接 AD，BD，BE，CE（1）若ABC25，求CEB 的度数；（2）找出图中所有与 DI 相等的线段，并证明；（3）若 CI2，DI，求ABC 的周长 24（13 分）如图，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，OCOA，AB4，对称轴为直线 l1：x1将抛物线 y1绕点
13、O 旋转 180后得到新抛物线 y2，抛物线 y2与y 轴交于点 D，顶点为 E，对称轴为直线 l2（1）分别求抛物线 y1和 y2的表达式；第 6 页（共 26 页）（2）如图 1，点 F 的坐标为（6，0），动点 M 在直线 l1上，过点 M 作 MNx 轴与直线 l2交于点 N，连接 FM，DN，求 FM+MN+DN 的最小值；（3）如图 2，点 H 的坐标为（0，2），动点 P 在抛物线 y2上，试探究是否存在点 P，使PEH2DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 7 页（共 26 页）2024 年山东省烟台市中考数学试卷年山东省烟台市中考数
14、学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（一、选择题（本大题共本大题共 10 个小题，个小题，每小题每小题 3 分，分，满分满分 30 分）分）每小题都给出标号为每小题都给出标号为 A，B，C，D 四个备四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。选答案，其中有且只有一个是正确的。1下列实数中的无理数是（）A B3.14 C D【分析】无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案【解答】解：是分数，3.14 是有限小数，4 是整数，它们不是无理数；是无限不循环小数，它是无理数；故选：C【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键 2下列计算结果为 a6的是（）Aa2a3 B
15、a12a2 Ca3+a3 D（a2）3【分析】根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可【解答】解：Aa2a3a2+3a5，故选项不符合题意；Ba12a2a122a10，故选项不符合题意；Ca3+a32a3，故选项不符合题意；D（a2）3a23a6，故选项符合题意；故选：D【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则 3如图是由 8 个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（）A B C D【分析】根据从左边看得到的图形是
16、左视图和轴对称图象与中心对称图形的定义，可得答案【解答】解：若取走标有的小正方体，则左视图只有上下两个正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项 A 符合题意 故选：A【点评】本题考查了简单组合体的三视图以及轴对称图象与中心对称图形的定义，关键是从左边看得到的图形是左视图 4实数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）Ab+c3 Bac0 C|a|c|D2a2b【分析】如图所示，3a2b13c4，|c|a|b|，所以 b+c3，ac0，2a2b 【解答】解：如图所示，3a2b13c4，|c|a|b|，故 C 不符合题意，b+c3，故 A 不符合题意，ac0，故 B 符合题
17、意，2a2b，故 D 不符合题意，故选：B【点评】本题考查了实数与数轴，关键是从数轴上提取数学信息 5目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有 0.015 毫米，约是 A4 纸厚度的六分之一已知 1 毫第 8 页（共 26 页）米1 百万纳米，0.015 毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（）A0.15103纳米 B1.5104纳米 C15105纳米 D1.5106纳米【分析】将一个数表示成 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案【解答】解：由题意可得 1 毫米1 百万纳米106纳米，则 0.015 毫米1.5102106纳米1.51
18、04纳米，故选：B【点评】本题考查科学记数法表示较大的数及较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键 6射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为 S甲2和 S乙2，则 S甲2和 S乙2的大小关系是（）AS甲2S乙2 BS甲2S乙2 CS甲2S乙2 D无法确定【分析】直接根据图表数据的波动大小进行判断即可【解答】解：图表数据可知，甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，即甲的波动性较大，即方差大，S甲2S乙2 故选：A【点评】本题考查方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小
19、，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 7某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线 OP 为AOB 的平分线的有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据角平分线的定义即可得到结论【解答】解：第一个图形射线 OP 为AOB 的平分线；第二个图形射线 OP 为AOB 的平分线；第三个图形射线 OP 为AOB 的平分线；第四个图形射线 OP 为AOB 的平分线；故选：D【点评】本题考查了作图基本作图，角平分线的定义，正确地识别图形是解题的关键 8如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为对角线 BD，AC 的三
20、等分点，连接 AE 并延长交 CD于点 G，连接 EF，FG若AGF，则FAG 用含 的代数式表示为（）第 9 页（共 26 页）A B C D【分析】先证明EOFDOC，得出OFE45，再证明ABEGDE，得出，由此推出DEGCFG（SAS），得到 GEGF，据此求解即可【解答】解：设 AC 与 BD 的交点为 O，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为对角线 BD，AC 的三等分点，ODOC，ODCOCD45，DECF，OEOF，EOFDOC，EOFDOC，OFEOCD45，点 E，F 分别为对角线 BD，AC 的三等分点，正方形 ABCD，ABCD，ABCD，ABEGDE，DEGCFG
21、（SAS），GEGF，故选：B 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，掌握性质与判定方法是解题的关键 9周髀算经是中国现存最早的数理天文著作书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一第 10 页（共 26 页）尺布，30 天完工，问一共织了多少布？（）A45 尺 B88 尺 C90 尺 D98 尺【分析】设每天减少 x 尺布，因为第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30
22、 天完工，可得 529x1，解得 x 的值即得每天减少多少尺布，将 30 天织的布相加可得 30 天一共织了多少布【解答】解：设每天减少 x 尺布，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30 天完工，529x1，解得：x，5+5+5+1529+190（尺），故选：C【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意列方程求解 10如图，水平放置的矩形 ABCD 中，AB6cm，BC8cm，菱形 EFGH 的顶点 E，G 在同一水平线上，点 G 与 AB 的中点重合，EF2cm，E60，现将菱形 EFGH 以 1cm/s 的速度沿 BC方向匀速运动，当点 E 运动到 CD 上时停止在这个运动
23、过程中，菱形 EFGH 与矩形 ABCD 重叠部分的面积 S（cm2）与运动时间 t（s）之间的函数关系图象大致是（）A B 第 11 页（共 26 页）C D【分析】先求得菱形的面积为cm2，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得重叠部分的面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解【解答】解：如图所示，设 EG，HF 交于点 O，菱形 EFGH，E60，HGGF，HGFE60，HFG 是等边三角形，cm，E60，OEF30，cm，（cm2），当 0t3 时，重合部分为MNG，如图所示，依题意，MNG 为等边三角形，运动时间为 t，则（cm），（c
24、m2）；当 3t6 时，如图所示，第 12 页（共 26 页）依题意，EMEGt6t（cm），则（cm），（cm2），SS菱形形 EFGHSEKJ（cm2）；EG6cmBC，当 6t8 时，cm2；当 8t11 时，同理可得，（cm2）；当 11t14 时，同理可得，（cm2）；综上所述，当 0t3 时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当 3t6 时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当 6t8 时，函数图象为一条线段，当 8t11 时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当11t14 时，函数图象为开口向上的一段抛物线，故选：D【点评】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，
25、二次函数的图象的性质，分类讨论是解题的关键 二、填空题（二、填空题（本大题共本大题共 6 个小题，个小题，每小题每小题 3 分，分，满分满分 18 分）分）11若代数式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 x1【分析】根据二次根式及分式有意义的条件即可求得答案【解答】解：代数式在实数范围内有意义，x10，解得：x1，故答案为：x1【点评】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握 第 13 页（共 26 页）12 关于 x 的不等式 m1x 有正数解，m 的值可以是 0（答案不唯一）（写出一个即可）【分析】解含 m 的一元一次不等式，根据题意求得 m 的取值范围
26、，然后写出一个符合题意的 m 的值即可 【解答】解：原不等式整理得：x1m，解得：x22m，原不等式有正数解，22m0，解得：m1，则 m 的值可以是 0，故答案为：0（答案不唯一）【点评】本题考查解一元一次不等式，结合已知条件求得 m 的范围是解题的关键 13若一元二次方程 2x24x10 的两根为 m，n，则 3m24m+n2的值为 6【分析】直接根据根与系数的关系求解【解答】解：一元二次方程 2x24x10 的两根为 m，n，2m24m1，m+n2，mn，3m24m+n2 2m24m+m2+n2 1+（m+n）22mn 1+222（）6 故答案为：6【点评】本题考查了根与系数的关系：若
27、x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2 14如图，在边长为 6 的正六边形 ABCDEF 中，以点 F 为圆心，以 FB 的长为半径作，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 【分析】根据正六边形的性质求出阴影部分扇形的圆心角度数，再根据直角三角形的边角关系求出半径，由弧长的计算方法进行计算即可【解答】解：如图，过点 A 作 AMBF，垂足为 M，则 BMFM，六边形 ABCDEF 是正六边形，BAFE120，ABAFEFDE6，ABFAFBDFE30，BFD120303060，在 RtABM 中，AB6，ABM30，BMAB3，B
28、F2BM6，设这个圆锥的底面半径为 r，由题意可得，第 14 页（共 26 页）2r，解得 r 故答案为：【点评】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质以及弧长的计算方法是正确解答的关键 15如图，在ABCD 中，C120，AB8，BC10，E 为边 CD 的中点，F 为边 AD 上的一动点，将DEF 沿 EF 翻折得DEF，连接 AD，BD，则ABD面积的最小值为 2016 【分析】先确定点 D是以 E 为圆心，CD 为直径圆周上的一点，过点 E 作 EHAB 交直线 AB 于点 H，交E于点 G，过点 D作 DMAB 于点 M，连接 EM，推出ABD面积4D
29、M，再求出 DM 的最小值即可解决问题【解答】解：在ABCD 中，C120，AB8，ABC60，CD8，E 为边 CD 的中点，F 为边 AD 上的一动点，将DEF 沿 EF 翻折得DEF，DEDECECD4，点 D是以 E 为圆心，CD 为直径圆周上的一点，作出E，如图，过点 E 作 EHAB 交直线 AB 于点 H，交E 于点 G，过点 D作 DMAB 于点 M，连接 EM，ABD面积ABDM，AB8，ABD面积4DM，要求ABD面积的最小值，只要求 DM 的最小值即可，DMDM+DE4EM4EH4，DM 的最小值为 EH4，过点 C 作 CNAB 于点 N，则 EHCN，在 RtBCN
30、中，BC10，ABC60，第 15 页（共 26 页）CNBCsin60105，EH5，DM 的最小值为 54，ABD面积4（54）2016，故答案为：2016【点评】本题考查翻折变换的性质，平行四边形的性质，平行线间的距离处处相等，圆的确定，直线与圆的位置关系，两点之间线段最短，垂线段最短，三角函数定义，找到ABD面积的最小值时，AB 边上的高的位置是解题的关键 16已知二次函数 yax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表：x 4 3 1 1 5 y 0 5 9 5 27 下列结论：abc0；关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c9 有两个相等的实数根；当4x1 时，y 的取值
31、范围为 0y5；若点（m，y1），（m2，y2）均在二次函数图象上，则 y1y2；满足 ax2+（b+1）x+c2 的 x 的取值范围是 x2 或 x3 其中正确结论的序号为 【分析】利用待定系数法求出 a、b、c 的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断【解答】解：把（4，0），（1，9），（1，5）代入 yax2+bx+c 得：，解得 abc0，故正确；a1，b2，c8，yx22x+8，当 y9 时，x22x+89，x2+2x+10，224110，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c9 有两个相等的实数根，故正确；抛物线的对
32、称轴为直线，抛物线的顶点坐标为（1，9），又a0，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大；当 x1 时，y 随 x 的增大而减小；当 x1 时，函数取最大值9，x3 与 x1 时函数值相等，等于 5，当4x1 时，y 的取值范围为 0y9，故错误；，点（m，y1），（m2，y2）关于对称轴 x1 对称，y1y2，故正确；由 ax2+（b+1）x+c2 得 ax2+bx+cx+2，即x22x+8x+2，画函数 yx22x+8 和 yx+2图象如下：第 16 页（共 26 页）由，解得，A（2，0），B（3，5），由图形可得，当 x3 或 x2 时，x22x+8x+2，即 ax2+（b+1）x+c
33、2，故错误；综上，正确的结论为，故答案为：【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键 三、解答题（三、解答题（本大题共本大题共 8 个小题，个小题，满分满分 72 分）分）17（6 分）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若 m 是其显示结果的平方根，先化简：（+），再求值【分析】先利用分式的相应的法则对式子进行化简，再根据计算器计算出 m 的值，代入运算即可【解答】解：（+）（），根据计算器可得 m2，42m0，m2，当 m2 时，原式【点评】本题主要考查分式的化简求值和计算器数的开方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握 18（7 分）“山海同行，舰
34、回烟台”2024 年 4 月 23 日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立 75第 17 页（共 26 页）周年值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用 t 表示，单位：h）进行调查经过整理，将数据分成四组（A 组：0t2；B 组：2t4；C 组：4t6；D 组：6t8），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图 （1）请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，a 的值为 32，D 组对应的扇形圆心角的度数为 28.8；（3）D 组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人
35、恰好是一名男生和一名女生的概率【分析】（1）用 A 组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后求出 C 组的人数，从而补全统计图；（2）用 B 组的人数除以总人数，求出 a，再用 360乘以 D 组所占的百分比，从而得出 D 组对应的扇形圆心角的度数；（3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后利用概率公式求解【解答】解：（1）抽取额的人数有：1020%50（人），C 组的人数有：501016420（人），补全统计图如下：（2）a%32%，即 a32；D 组对应的扇形圆心角的度数为：36028.8；故答案为：32，28.8；（3）画
36、树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为 8，第 18 页（共 26 页）所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率也考查了统计图 19（8 分）根据手机的素材，探索完成任务 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装 素材二 某市位于
37、北半球，太阳光线与水平线的夹角为，冬至日时，1429；夏至日时，4376 sin140.24，cos140.97，tan140.25 sin290.48，cos290.87，tan290.55 sin430.68，cos430.73，tan430.94 sin760.97，cos760.24，tan764.01 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板已知两楼间距为 54 米，甲楼 AB 共 11 层，乙楼 CD 共15 层，一层从地面起，每层楼高皆为 3.3 米 AE 为某时刻的太阳光线 问题解决 任务一 确定使用数据 要
38、判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 冬至日（填冬至或夏至）时，为 14（填 14，29，43，76中的一个）进行计算 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器【分析】任务一：根据题意直接求解即可；任务二：过 E 作 EFAB 于 F，利用正切定义求得【解答】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需 为冬至日时的最小角度，即 14，故答案为：冬至，14；任务二：过 E 作 EFAB 于 F，则AFE90，EF54 米，BFDE，在 RtAFE 中，AFEFtan14540.2513.5（米），第 1
39、9 页（共 26 页）AB113.336.3（米），DEBFABAF36.313.522.8（米），22.83.37（层），答：乙楼中 7 层（含 7 层）以下不能安装该品牌太阳能热水器【点评】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键 20（8 分）每年 5 月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售根据市场调查，每辆轮椅盈利 200 元时，每天可售出 60 辆；单价每降低 10 元，每天可多售出 4 辆公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于 180 元设每辆轮椅降价 x 元，每天的销售利润为
40、y 元（1）求 y 与 x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润 12160 元，请问这天售出了多少辆轮椅？【分析】（1）根据单价每降低 10 元，每天可多售出 4 辆可得单价每降低 1 元，每天可多售出 0.4 辆，那么单价每降低 x 元，每天可多售出 0.4x 辆销售利润每台轮椅的销售利润（原销售量+增加的销售量），把得到的函数关系式整理为顶点式，进而根据每辆轮椅的利润不低于 180 元得到自变量的取值范围，代入得到函数关系式可得最大利润；（2）取 y12160，代入（1）中得到的函数关系式，求得合适的 x 的解
41、即可【解答】解：（1）y（200 x）（60+4）0.4x2+20 x+12000 0.4（x250 x+625）+12250 0.4（x25）2+12250 200 x180，x20 当 x20 时，利润最大，最大利润为：0.4（2025）2+1225012240（元）答：y 与 x 的函数关系式为：y0.4x2+20 x+12000；每辆轮椅降价 20 元时，每天的销售利润最大，最大利润为 12240 元；（2）121600.4（x25）2+12250 0.4（x25）21225012160 0.4（x25）290（x25）2225 解得：x140（不合题意，舍去），x210 售出轮椅的辆
42、数为：60+464（辆）答：售出 64 辆轮椅【点评】本题考查二次函数的应用得到降价后的销售量是解决本题的关键；根据取值范围得到函数的最大值是解决本题的易错点 21（9 分）如图，正比例函数 yx 与反比例函数 y的图象交于点 A（，a）将正比例函数图象向下平移 n（n0）个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点 B，C，与 x 轴，y轴交于点 D，E，且满足 BE：CE3：2，过点 B 作 BFx 轴，垂足为点 F，G 为 x 轴上一点，直线 BC 与 BG 关于直线 BF 成轴对称，连接 CG（1）求反比例函数的表达式；（2）求 n 的值及BCG 的面积 第 20 页（共 26 页）
43、【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）作 BGy 轴，CHy 轴，正比例函数向下平移 n 个单位后得到直线 BC 的解析式为 yxn证明GBEHCE 后利用相似比得到点 B（3a，），则 C（2a，），根据一次函数图象上点的坐标特征列出方程组求出 a、n，得到 E（0，1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（2，3），依据 SBCGSBDG+SCDG计算即可【解答】解：（1）点 A（，a）在直线 yx 的图象上，A（，），点 A（，）在反比例函数 y的图象上，k6，反比例函数解析式为 y；（2）正比例函数向下平移 n 个单位后得到直线 BC 的解析式为 yxn 如
44、图，作 BGy 轴，CHy 轴，BGCH，GBEHCE，BE：CE3：2，设点 B（3a，），则 C（2a，），点 BC 在直线 yx+n 的图象上，解得，直线 BC 解析式为 yx+1，直线 BC 与 BG 关于直线 BF 成轴对称，E（0，1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（2，3），第 21 页（共 26 页）GD4，SBCGSBDG+SCDG10【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键 22（10 分）在等腰直角ABC 中，ACB90，ACBC，D 为直线 BC 上任意一点，连接 AD 将线段 AD 绕点 D 按顺时针方向旋转
45、90得线段 ED，连接 BE【尝试发现】（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，线段 BE 与 CD 的数量关系为；【类比探究】（2）当点 D 在线段 BC 的延长线上时，先在图 2 中补全图形，再探究线段 BE 与 CD 的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若 ACBC1，CD2，请直接写出 sinECD 的值 【分析】（1）过点 E 作 EMCB 延长线于点 M，利用一线三垂直全等模型证明ACDDME，再证明BMEM 即可；（2）同（1）中方法证明ACDDME，再证明 BMEM 即可；（3）过点 E 作 EMCB 延长线于点 M，求出 EM，CE 即可【解答】解：（1）如图，过点 E
46、 作 EMCB 延长线于点 M，由旋转得 ADDE，ADE90，ADC+EDM90，ACB90，ACDDME，ADC+CAD90，CADEDM，ACDDME（AAS），CDEM，ACDM，ACBC，BMDMBDACBDBCBDCD，BMEM，EMCB，故答案为：；（2）补全图形如图，理由如下：第 22 页（共 26 页）过点 E 作 EMCB 延长线于点 M，由旋转得 ADDE，ADE90，ADC+EDM90，ACB90，ACDDME，ADC+CAD90，CADEDM，ACDDME（AAS），CDEM，ACDM，ACBC，BMDM+BDAC+BDBC+BDCD，BMEM，EMCB，；（3）如图
47、，过点 E 作 EMCB 延长线于点 M，由（2）得 DMAC1，EMCD2，CMCD+DM3，【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键 23（11 分）如图，AB 是O 的直径，ABC 内接于O，点 I 为ABC 的内心，连接 CI 并延长交O 于点 D，E 是上任意一点，连接 AD，BD，BE，CE（1）若ABC25，求CEB 的度数；（2）找出图中所有与 DI 相等的线段，并证明；（3）若 CI2，DI，求ABC 的周长 【分析】（1）利用圆周角定理得到ACB90，再根据三角形的内角和定理求出CAB65，然后利第 23 页（共 26 页）用圆内
48、接四边形的对角互补求解即可；（2）连接 AI，由三角形的内心性质得到内心，CAIBAI，ACIBCI，然后利用圆周角定理得到DABDCBACI，ADBD，利用三角形的外角性质证得DAIDIA，然后利用等角对等边可得结论；（3）过 I 分别作 IQAB，IFAC，IPBC，垂足分别为 Q、F、P，根据内切圆的性质和切线长定理得到 AQAF，CFCP，BQBP，利用解直角三角形求得 CF2CP，AB13，进而可求解【解答】解：（1）AB 是O 的直径，ADBACB90，又ABC25，CAB902565，四边形 ABEC 是O 内接四边形，CEB+CAB180，CEB180CAB115；（2）DIA
49、DBD，连接 AI，点 I 为ABC 的内心，CAIBAI，DABDCBACl，ADBD，DAIDAB+BAI，DIAACI+CAI，DAIDIA，DIADBD；（3）过 I 分别作 IQAB，IFAC，IPBC，垂足分别为 Q、F、P，点 I 为ABC 的内心，即为ABC 的内切圆的圆心，Q、F、P 分别为该内切圆与ABC 三边的切点，AQAF，CFCP，BQBP，IFC90，ACI45，CFCIcos452CP，DIADBD，ADB90，ABC 的周长为 AB+AC+BC AB+AF+CF+CP+BP 第 24 页（共 26 页）AB+AQ+BQ+2CF 2AB+2CF 213+2230【
50、点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键 24（13 分）如图，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，OCOA，AB4，对称轴为直线 l1：x1将抛物线 y1绕点 O 旋转 180后得到新抛物线 y2，抛物线 y2与y 轴交于点 D，顶点为 E，对称轴为直线 l2（1）分别求抛物线 y1和 y2的表达式；（2）如图 1，点 F 的坐标为（6，0），动点 M 在直线 l1上，过点 M 作 MNx 轴与直线 l2交于点 N，连接