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1、专题06 函数不等式的证明 一、 函数不等式的证明知识框架 二、构造辅助函数证函数不等式 1、 解题技巧：把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.2、 解题程序：（1） 移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式的一端为0，另一端即为所构造的辅助函数；（2） 求，并求在指定区间上的单调性；（3） 求在指定区间上的最值，作比较即得所证.1.例题【例1】已知函数，求证：当时，恒有【例2】证明当【例3】证明：对任意的正整数n，不等式 都成立.来源:学科网ZXXK2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数 求
2、证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；【练习2】若函数在上可导且满足不等式恒成立，且常数满足，求证：【练习3】已知函数，设,证明 ：. 三、函数不等式的变形原理 【一】幂函数与的积商形式对于这类函数,一般来说，每次求导数，多项式的次数就降低一次，但最终的导数形式需化成不含的式子，如，需两次求导才能化成不含的式子，如果把分离出来，只需一次求导就可化成不含的式子，所以，在解决这类问题时，方法是：尽可能把分离出来.1.例题【例1】已知函数,曲线 在点处的切线方程为y=2（1）求a,b的值；（2）当且时，求证： 2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
3、（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；（3）当，且时，证明：.【二】幂函数、与的混合形式对于同时含有幂函数、与的形式，一般的处理方法或思路是：把与含幂函数形式的代数式配对；把与含幂函数形式的代数式配对.1.例题【例1】设函数.（1）求在区间1，2上的最小值；（2）证明：对任意的，都有.【例2】已知函数.(1)若上存在极值，求实数的取值范围；(2)求证：当时，2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若，证明：【练习2】已知函数.（1）当，求函数的单调区间；（2）证明：当时，.四、 函数不等式的单零点隐零点问题对于隐零点问题，题目结构特征往往呈现出指数函数、对数
4、函数、幂函数三者中的两者混合形态，之所以要引入隐零点，归根到底还是导数零点无法求出，在引入隐零点后，接下来的转换原则概括为：“指对幂上转”，意思是：把指数结构、对数结构往幂函数上转换.1.例题【例1】已知函数在点处的切线方程为（1）求a，b的值；（2）求证：【例2】设函数，e为自然对数的底数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）证明：若，则【例3】已知函数（1）若曲线在处切线与坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值；（2）若，求证：2.巩固提升综合练习【练习1】已知，.（）和的导函数分别为和，令，判断在上零点个数；（）当时，证明.【练习2】已知函数，曲线在点处的切线方程为：.（1）求，的值
5、；（2）设，求函数在上的最大值.【练习3】已知函数，其中a为非零常数讨论的极值点个数，并说明理由；若，证明：在区间内有且仅有1个零点；设为五、函数不等式的双零点问题 【一】双零点是二次函数的零点 当研究的双零点是二次函数的零点时，此时可认为两零点的关系是明确的，可根据韦达定理得到两零点之间满足的关系，消元后进一步求解.1.例题【例1】已知函数若在处取得极值,求函数的单调区间若是函数的两个极值点,且,求证：【例2】已知函数.（1）讨论函数的极值点的个数；（2）若有两个极值点，证明：.【例3】已知函数的导函数为.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（2）若的两个零点从小到大依次为，证明：.2
6、.巩固提升综合练习【练习1】已知函数（1）若在点处的切线与直线平行，求在点的切线方程；（2）若函数在定义城内有两个极值点，求证：【练习2】已知函数（1）讨论的单调性；（2）若为的两个极值点，证明：.【二】极值点偏移问题 当两零点关系不明确时，要利用降元思想，将双元不等式转化为单元不等式，具体方法如下：（1） 设函数零点（），一般选取为主元，将，建立关于的函数，用函数思想建立数量关系，借助导数证明不等式；（2） 利用转化思想，将函数不等式转化为函数单调性求解，即含有的形式化归到同一单调区间上，由建立桥梁，转化为单元不等式证明.1.例题【例1】已知，若有两个极值点，且，求证：（为自然对数的底数）2
7、.巩固提升综合练习【练习1】【2016年全国】已知函数有两个零点（I）求a的取值范围；（II）设，是的两个零点，证明：【练习2】已知函数， 为自然对数的底数.（1）讨论的单调性；（2）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明： （为函数的导函数）【练习3】已知函数有两个不同的零点，其极值点为（1）求的取值范围；（2）求证：；（3）求证：六、课后自我检测 1.已知函数，若曲线与曲线的一个公共点是，且在点处的切线互相垂直（1）求的值；（2）证明：当时，2.已知定义在上的函数满足，且恒成立，则不等式的解集为( )A B C D 3、设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（
8、 ）A B C D 4.已知函数,.（1）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；（2）若在有两个零点，求的取值范围；（3）当时，证明：.5.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）求函数的最小值；（2）若都有，求证：.6.已知函数.（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围；（2）若有两个极值点，证明：.7.已知函数讨论函数的极值点的个数；若函数有两个极值点，证明：8.已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围.（2）设的两个极值点为，证明.9.已知函数.(1)求的单调区间；(2)若函数， 是函数的两个零点， 是函数的导函数，证明： .10.已知函数有两个零点.证明：.11.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）证明对一切，都有成立.12.已知函数.（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；（2）证明：当时，.