专题06 利用导数证明不等式(讲义)(教师版).docx

上传人:ge****by 文档编号:19573871 上传时间:2022-06-09 格式:DOCX 页数:23 大小:1.04MB
返回 下载 相关 举报
专题06 利用导数证明不等式(讲义)(教师版).docx_第1页
第1页 / 共23页
专题06 利用导数证明不等式(讲义)(教师版).docx_第2页
第2页 / 共23页
点击查看更多>>
资源描述

《专题06 利用导数证明不等式(讲义)(教师版).docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题06 利用导数证明不等式(讲义)(教师版).docx(23页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、专题6 利用导数证明不等式【重难点知识点网络】:一、利用导数证明数列不等式1、常见类型:(1)利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题(2)利用递推公式处理通项公式中的不等问题2、恒成立不等式的来源:(1)函数的最值:在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式.(2)恒成立问题的求解:此类题目往往会在前几问中进行铺垫,暗示数列放缩的方向.其中,有关恒成立问题的求解,参数范围内的值均可提供恒成立不等式.3、常见恒成立不等式:(1) 对数多项式 (2) 指数多项式4、关于前项和的放缩问题:求数列前项公式往往要通过数列的通项公式来解决,高中阶段求和的方法有以下几种:(1)倒序相加:

2、通项公式具备第项与第项的和为常数的特点.(2)错位相减:通项公式为“等差等比”的形式(例如,求和可用错位相减).(3)等比数列求和公式(4)裂项相消:通项公式可裂为两项作差的形式,且裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消.5、大体思路:对于数列求和不等式,要谨记“求和看通项”,从通项公式入手,结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式.6、在放缩时要注意前几问的铺垫与提示,尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式,往往提供了放缩数列的方向.7、放缩通项公式有可能会进行多次,要注意放缩的方向:朝着可求和的通项公式进行靠拢(等比数列,裂项相消等). 8、数列不等式也可考虑利用数学归纳法进

3、行证明(有时更容易发现所证不等式与题目条件的联系).利用函数性质与最值证明一元不等式,是导数综合题常涉及的一类问题,考查学生构造函数、选择函数的能力,体现了函数最值的一个作用每一个函数的最值带来一个恒成立的不等式.此外所证明的不等式也有可能对后一问的解决提供帮助,处于承上启下的位置.二、利用导数证明一元不等式1、证明方法的理论基础(1)若要证(为常数)恒成立,则只需证明:,进而将不等式的证明转化为求函数的最值(2)已知的公共定义域为,若,则证明:对任意的,有由不等式的传递性可得:,即2、证明一元不等式主要的方法有两个: 第一个方法是将含的项或所有项均挪至不等号的一侧,将一侧的解析式构造为函数,

4、通过分析函数的单调性得到最值,从而进行证明,其优点在于目的明确,构造方法简单,但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性 第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形,转化成为的形式,若能证明,即可得:,本方法的优点在于对的项进行分割变形,可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强,如果与不满足,则无法证明.所以用此类方法解题的情况不多,但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法.3、在构造函数时把握一个原则:以能够分析导函数的符号为准则.4、若在证明中,解析式可分解为几个因式的乘积,则可对每个因式的符号进行讨论,进而简化所构造函数的复杂度.5、合理的利用换元简化所分析

5、的解析式.6、判断解析式符号的方法:(1)对解析式进行因式分解,将复杂的式子拆分为一个个简单的式子,判断出每个式子的符号即可得到解析式的符号(2)将解析式视为一个函数,利用其零点(可猜出)与单调性(利用导数)可判断其符号(3)将解析式中的项合理分组,达到分成若干正项的和或者若干负项的和的结果,进而判断出解析式符号三、利用导数证明一元不等式1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作:(1)利用条件粗略确定变量的取值范围(2)处理好相关函数的分析(单调性,奇偶性等),以备使用2、若多元不等式是一个轮换对称式(轮换对称式:一个元代数式,如果交换任意两个字母的位置后,代数式不变,则称这个代数式为轮换

6、对称式),则可对变量进行定序3、证明多元不等式通常的方法有两个 (1)消元: 利用条件代入消元 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元(2)变量分离后若结构相同,则可将相同的结构构造一个函数,进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式(3)利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系,再寻找方法.【重难点题型突破】:一、 利用导数证明数列不等式例1. 已知函数在处取得极值(1)求实数的值(2)证明:对于任意的正整数,不等式都成立【答案】(1)1;(2)见解析.【解析】(1) 为的极值点 (2)思路一:联想所证不等式与题目所给函数的联系,会发现在中,存在对数,且左边数列的通项公式也

7、具备项的特征,所以考虑分析与的大小关系,然后与数列进行联系.解:下面求的单调区间 ,令即(每一个函数的最值都会为我们提供一个恒成立的不等式,不用【名师点睛】(1)此不等式实质是两组数列求和后的大小关系(),通过对应项的大小关系决定求和式子的大小.此题在比较项的大小时关键是利用一个恰当的函数的最值,而这个函数往往由题目所给.另外有两点注意:关注函数最值所产生的恒成立不等式 注意不等号的方向应该与所证不等式同向(2)解决问题后便明白所证不等式为何右边只有一个对数,其实也是在作和,只是作和时对数合并成一项(与对数运算法则和真数的特点相关),所以今后遇到类似问题可猜想对数是经历怎样的过程化简来的,这往

8、往就是思路的突破点思路二:发现不等式两边均有含的表达式,且一侧作和,所以考虑利用数学归纳法给予证明:解:用数学归纳法证明:只需证(下同思路一:分析的最值可得)令,由恒成立不等式可得即所证不等式成立 ,均有【名师点睛】利用数学归纳法证明要注意两点:(1)格式的书写 (2)要利用所假设的条件.【变式训练1-1】、已知函数(1)当时,求函数的单调区间(2)当时,函数图像上的点都在所表示的平面区域内,求实数的取值范围(3)求证:(其中是自然对数的底数)【答案】(1)增区间,减区间;(2)见解析【解析】(1)常规解法,求出单调区间找最值 ,令求出单调区间如下:增来源:Zxxk.Com减(2)解:函数图像

9、上的点都在区域内,(此时发现单调性并不能直接舍掉的情况,但可估计函数值的趋势,恒为正,而早晚会随着值的变大而为正数,所以必然不符合题意.在书写时可构造反例来说明,此题只需即可,所以选择) 时,即 在单调递减 ,符合题意综上所述:(3)思路:观察所证不等式,左边连乘,右边是,可以想到利用两边取对数“化积为和”,同时利用第二问的结论.第二问给我们提供了恒成立的不等式,时,取,即,则可与左边的求和找到联系.解:所证不等式等价于由(2)可得,令,即不等式得证【变式训练1-2】、已知函数(1)若在定义域内为减函数,求的范围(2)若满足,试证明:时,【答案】(1)1.+);(2)见解析.【解析】解:(1)

10、为减函数来源:Zxxk.Com (2)思路:由(1)可得为减函数,进而即,所求是有关的不等关系(有的指数幂,所以可能与自然对数相关,考虑数列的单调性),已知条件是递推数列,可尝试利用递推公式寻找不等关系求解.解: 单调递增 时,即 (利用进行放缩,消掉多余的,由,联想到是可裂项的.再由的特点决定两边同取对数) 得证【变式训练1-3】、已知函数f(x)xlnx和g(x)m(x21)(mR)(1)m1时,求方程f(x)g(x)的实根;学科网(2)若对任意的x(1,),函数yg(x)的图象总在函数yf(x)图象的上方,求m的取值范围;(3)求证: ln(2n1) (nN*)【答案】(1)见解析(2)

11、 .(3) 见解析意;(3)由(2)知,当时, 时, 成立,结合题型,构造不妨令,得出,利用累加可得结论.试题解析:(1) 时, ,即,而,所以方程即为.令,则,而,故方程有唯一的实根.(2)对于任意的,函数的图象总在函数图象的上方,即, ,即,设,即, ,则若,则, ,这与题设矛盾来源:Z&xx&k.Com方程有两个正实根且当时, , 单调递增, 与题设矛盾综上所述,实数的取值范围是.(3)证明由(2)知,当时, 时, 成立不妨令,即,累加可得二、 利用导数证明一元不等式例2、已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若,求证: (为自然对数的底数).【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析

12、】试题分析:(1) ,对a分类讨论,得到函数的单调区间;(2) 等价于,令,求出其最小值,并证明其大于零即可.综上所述,当时, 只有增区间为.当时, 的增区间为,减区间为.(2)等价于.令,而在单调递增,且, .令,即, ,则时, 时,故在单调递减,在单调递增,所以 .即.【名师点睛】(1)此题的解法为证明一元不等式的基本方法,即将含的项移至不等号的一侧,构造函数解决。(2)一些常见不等关系可记下来以备使用: 【变式训练2-1】、已知函数.()求曲线在处的切线方程;()求证:当时, .【答案】();()见解析.【解析】试题分析:(1)则导数的几何意义可求得曲线在处的切线方程。(2)由(1)当时

13、, ,即, +,只需证, x所以. 过点,且在处的切线方程为,故可猜测:当时, 的图象恒在切线的上方.下证:当时, 设,则,在上单调递减,在上单调递增,又,所以,存在,使得,所以,当时, ;当时, ,故在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又,当且仅当时取等号,故.又,即,当时,等号成立.【变式训练2-2】、已知函数 .(1)当时,证明: ;(2)当时,函数单调递增,求的取值范围.【答案】(1)证明见解析;(2).不符合题意,舍去;当存在部分不合题意,综合三种情况可得结果.试题解析:证明:(1)当时,即证: ,令,学-*科/网则,当时,有.当时, 单调递增;当时,有.当时, 单调递减, .

14、取等号条件不致,(此问可以参考如图理解). .(2)依题在上恒成立,令,又令,所以当时, 在上单调递增,,因此,当时, 在时单调递减,当时, 在单调递减, ,不符合题意舍去.综上: .【变式训练2-3】、已知函数.(1)若曲线在处的切线过原点,求实数的值;(2)若,求证当时, .参考数据: .【答案】(1) ;(2)证明见解析.【解析】试题分析: 求出导数,求得切点的斜率,然后根据两点间的斜率公式,解方程即可求得实数的值; 构造,求导得在上单调递减,设,代入换元,求导证明结果解析:(1)因为,所以,由题意知,曲线在处的切线过原点,则切线斜率,设,则,由且,可知,所以在上单调递减,所以当时, .

15、 所以当时, ,来源:Zxxk.Com即当时, .三、 利用导数证明多元不等式例3、已知函数(其中)(1)当时,判断零点的个数k;(2)在(1)的条件下,记这些零点分别为,求证: 【答案】(1)见解析;(2)见解析.来源:学*科*网【解析】试题分析:(1)先求导数,再求导函数零点,根据零点列表分析导函数符号,进而确定函数单调性,再根据零点存在定理确定函数零点个数,(2)先根据零点条件化简得,令则,利用导数研究函数单调性,根据单调性得,即证得结论.试题解析:(1)由题知x0, ,所以,由得,当x时, , 为增函数;当0x时, , 为减函数,所以,而,所以,下面证明,其中,即证明,设,则,令,则,

16、所以为增函数,即为增函数,故,所以为减函数,于是,即所以有,从而 【变式训练3-1】、已知函数.(1)求函数的单调区间和极值;(2)若有两个零点,求实数的范围;(3)已知函数与函数的图象关于原点对称,如果,且,证明: .【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.递减递增函数的增区间为,减区间为;函数在处取的极小值,无极大值.(2)由,则,当时, ,易知函数只有一个零点,不符合题意,零点,不符合题意,当时,在和上, 单调递增,在上, 单调递减.又,所以函数至多一个零点,不符合题意,当时, ,函数在上单调递增,所以函数至多一个零点,不符合题意,综上,实数的取值范围是.(3)由, ,令,解得,当变

17、化时, , 的变化情况如下表:递增递减由,不妨设,根据结合图象可知, ,令, ,则, ,则,在单调递增,又,时, ,即当时, ,则,又,因,在上是增函数,得证.【变式训练3-2】、已知函数()在处的切线与直线平行.(1)求的值并讨论函数在上的单调性;(2)若函数(为常数)有两个零点()求实数的取值范围;求证: 【答案】(1)见解析;(2);见解析.,.来源:Z.xx.k.Com令,则时, ; 时, .则在上单调递增,在上单调递减.在时, ,即时, ,函数在上单调递减.(2)由条件可知, ,则在上单调递减,在上单调递增;令()则,即又在上单调递减,即【变式训练3-3】、已知函数(1)求在上的最小

18、值;(2)若,当有两个极值点时,总有,求此时实数的值【答案】(1);(2)【解析】试题分析:(1)对函数求导,由于不能因式分解,但是能观察出零点,进一步求二阶导可知导函数单调,所以导函数只有唯一零.(2)由,所以方程 有两个不同的实根 ,通过韦达定理把待证不等式消去,再分离参数t,可解.试题解析:() , , 在单调递增,又根据题意,方程 有两个不同的实根 , 所以,且 , , 由可得,又 , 所以上式化为对任意的恒成立(I)当 时,不等式恒成立, ;(II)当 时, 恒成立,即令函数,显然, 是 上的增函数,所以当 时, ,所以 (III)当 时, 恒成立,即由(II),当 时, ,所以 综上所述

展开阅读全文
相关资源
相关搜索

当前位置:首页 > 教育专区 > 高中数学

本站为文档C TO C交易模式,本站只提供存储空间、用户上传的文档直接被用户下载,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的收益归上传人(含作者)所有。本站仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。若文档所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知淘文阁网,我们立即给予删除!客服QQ:136780468 微信:18945177775 电话:18904686070

工信部备案号:黑ICP备15003705号© 2020-2023 www.taowenge.com 淘文阁