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1、清北学堂第 37 届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题 8参考解答和评分标准一（1）完全浸润导致的附加压强差为：p=?对应与管外部表面的液体的压强差为：p=?h?解得：h=?3（2）不会构成永动机，因为由于管子边缘的效应，会使得液面完全浸润的切线不再和管壁平行（即管子上口不是严格呈现直角的，转角会有弧度）（3）第一种情况（h?）：运用整体法的思想，除开物体所受人为施加外力 F 以外，有以下各个力：FG?=?FG?=?5FT?=?r?6F?ime?em e?=?y 方向受力平衡：F=FG?FG?FT?F?ime?m?解得：F=?r?第二种情况：将内部水的重力替换作：FG?=?r?得到作用力：F=?r
2、?r?本题 30 分：第一问 5 分，12 各 2 分，3 式 1 分；第二问 5 分；第三问 20 分，456789各 2 分，1011 各 4 分二（1）磁偶极子的远处场强可以写作：Br=?3cos?B=?3sin?由此，对于 x?,?,?，分别的贡献为：B?=?3?B?=?3?得到：B?=?3?3?3对于?,y?,?，分别的贡献为：B?=?e?3?B?=?e?3?5得到：B?=?e?3?e?3?6对于(?,?,z?)，与 2 号磁针的夹角为：cos?=?sin?=?分别的贡献为：B3?=?3?B3?=?5?3?5?e?得到：B3?=?3?3?5?e?5?（2）(?,?,?)点的磁感应强度
3、（不计 1）：Ba?=?3?(?,?,L?)点的磁感应强度（不计 2）：Bb?=?3?3旋转以后如果作图得到的图像仍然是与上述相同的旋转趋势由此可以预料到，1 将绕着y 轴作顺时针转动（像 y 轴看去）；2 将绕着 y 轴作逆时针转动，并在彼此完全平行前不会停止转动的趋势（达到平行时能量是最低的）（3）1 号磁针在 2 号磁针的磁场中对应的能量为：E=?3e?磁针转动的动能为：Ek=?Iyy?IZZe?5两个方向都作简谐运动，角频率分别为：?=?3?6?=?3?初态静止，得到：yt=e?cos?3?zt=?cos?3?xt=?e?cos?3?cos?3?e?本题 35 分：第一问 11 分，1
4、-11 各 1 分；第二问 12 分，1213 各 3 分，分析过程 6 分；第三问 12 分，1415 各 3 分，16-19 各 1 分，20 式 2 分（如果没有小量近似给 1 分）三（1）由重心定理：?=arctan?3=?3?（2）速度瞬心 K 坐标：?sin?,?cos?容易发现，墙角和 ABC 四点共圆，得到：KA=?sin(?5?)3所以，VA?=?sin(?5?)?VB?=?sin?5（3）写 BC 中点 H 的坐标：?sin?,?cos?6由此质心 J 的坐标为：?sin?6?cos?,?cos?6?sin?得到：KJ?=?sin?6?cos?,?cos?6?sin?KJ?
5、=?sin?6?cos?cos?6?sin?=?5?3sin?cos?再来考虑转动惯量，系统绕着 H 垂直于平面的转动惯量将三角板补成正方形，并使用垂直轴定理：IH=?=?6?再利用平行轴定理，绕着质心 J 的转动惯量为：IJ=IH?=?绕着速度顺心 K 的转动惯量：IK=5?3sin?cos?=?3?sin?cos?系统初态质心的高度为：h=?cos?6?sin?=53?3由机械能守恒：?53?cos?6sin?=?3?sin?cos?而质心水平速度为：?=?cos?6?sin?=?cos?6sin?3?53?cos?6sin?sin?cos?5注意到：?=dd?=d?d?d?d?6当?取到
6、极大值时恰为水平方向加速度为 0，即与墙面发生虚接触，进行数值计算：=?6?本题 35 分：第一问 2 分，1 式 2 分；第二问 8 分，2 式 1 分，3 式 3 分，45 各 2 分；第三问 25 分，6 式 1 分，789，11-17 各 2 分，10 式 4 分四（1）引入余弦型电荷分布：=?cos?整个球体对外形成电偶极子，偶极矩为：p?=?33?易求出，球内部的电场为：?内=E?3?3电偶极子在轴线上 a 处，电场为：E?=?33?3=?3?总外电场：E外=?3?5注意到电位移矢量的连续性：?3?=?E?3?6得到：?（?）=3?cos?（2）电流相对晶格的运动可以写作：v=ah
7、=?对应的二维电流密度：J(?,?)=?=a?sin?sin?3?m?注意到二维功率密度可以表示为：?(?，?)=?,?总发热功率可以写作：?=?6?sin?sin?cos?sin?d?d?积分的计算：?sin?sin?cos?sin?d?d?=?3?5sin?d?=?6?5?所以，总的发热功率为：P=?6?5?3（3）由于发热导致了动能的减少，考虑平行轴定理：I地=?5?=?5?刚体的转动动能变化率：dEdt=?地?=?=?6?5?5化简得到：d?=?6积分可得：?=?ln?本题 35 分：第一问 15 分，124567 各 2 分，3 式 3 分；第二问 12 分，8-13 各 2 分；第
8、三问 8 分，14-17 各 2 分五（1）先考察单色光在屏幕上产生的效果：U=U?得到光强为：?=?=?cos?=?cos?若记 589.0nm 的基准的光强为?，589.6nm 的光强为?，那么对于非相干叠加，有：I=I?cos?I?cos?3引入：=?,?=?则有：I=?cos?cos?5利用三角函数公式：I=?cos(?)?cos(?)?sin?sin?6波包取到极小时，应该有对于慢变因子之一阶导数为 0，有：I=?cos?sin?sin?cos?=?代入数据(=?)，解得：x?=?(?)=?=?5?（2）对于热运动导致的多普勒频移，考察电磁波的多普勒效应：?=?cos?cos?=?对
9、于水平速度处于 v?v?dv 这个区间内的粒子，（针对发出光强而言）有：d?=?(?)d?对于屏幕上的光强：I?d?cos?=?d?cos?cos?sin?sin?注意到，第二项是奇函数，积分的结果为 0，第一项的积分计算：s?=t?t?t?d?=?t?(这一步用了配方，严格解要用复变函数)下降到?e时，作为背景的光将会变的模糊不清，于是有：?t=?3解得：x=?t?=?m?即，由于热运动带来的结果是很小的本题 35 分：第一问 15 分，123567 各 2 分，8 式 3 分；第二问 20 分，9 式 6 分（如果没考虑相对论效应得 1 分，经典多普勒效应用错则不得分），1011 各 3
10、分，12 式 4 分，1314 各 2 分六这个加速度是相对瞬时静止参考系成立的，由速度变换：dv=?di?di?=du?=?d?根据钟慢关系：d=dt?得到地面系中飞船速度随着时间关系：?t=d?3?=?3?=?=d?d?再积分：x=?5t=?=?5?5?e6将固有时和地面时间联系起来：d=dt?=?arcsinh?=?6e?所以两个数据都正确本题 30 分：1-6 各 3 分，7 式 2 分，8 式 4 分，结论各 3 分七（1）显然，温度最高点出现在 AB 段上：p=?3?3?温度最高点出现在 pv 最大的地方，得到：V=3V3?p=3?3最高温度为：T=?3?t?（2）AC 段为多方过
11、程：pV?=?=?35n=?6BC 段也是多方过程：p=p?n=?（3）求解 AB 段的吸放热转折点：dQ=pdV?CvdT=?对状态方程进行微分：dT=?dV?Vdpt?代入得到：5?dV?3?dp=?对应：dpd?=?5?3?和 AB 联立得到：VD=?5?3pD=?对外做功：W=3?3?5吸热：QAC=6?3?6CD 段：W=?56?3?QCD=?6?3?所以：=?6?6%?（4）旋转过后，写出坐标：A V3?cos?,?(?sin?)?B V3?3V3cos?,p?3p?sin?AB 直线段的斜率为：?t=p?(3sin?sin?)?3(3cos?cos?)?代入和绝热线相切的条件：?
12、t=?5?sin?3V3?cos?3?t=?5 p?3p?sin?3 V3?3V3cos?解得：?=?6 舍弃，B 点压强小于?5?=?6故总吸热为：Q吸 Total=?=5?3?6?3=?5?3?=?5?%?本题 40 分：第一问 6 分，14 各 2 分，23 各 1 分；第二问 8 分，5-8 各 2 分；第三问12 分，9-18 各 1 分，19 式 2 分；第四问 14 分，20-24 各 1 分，2526 各 2 分（未舍弃扣 2 分），27 式 3 分（其中U 和 W 各 1 分），28 式 1 分（指出做功旋转后不变 1 分）八（1）在旋转参考系中，列出受力平衡方程：T?T?c
13、os?=?T?t?sin?=?=?sin?由 12 解得：T?=?cos?3对于下端套筒受力平衡：?T?cos?=?由 34 解得：cos?=(?)?5所以平衡时的上下套筒距离为：L=?cos?=?(?)?6（2）为了写出系统的总势能，先计算离心势能：U离=?d?=?总势能为：U=?sin?cos?速度约束关系：Vcos?=?cos?系统的动能为：Ek=?sin?=?sin?将势能求一阶导数：U=?sin?cos?sin?=?sin?sin?二阶导数：U=?cos?cos?=?sin?得到：?=?sin?sin?3闭合的条件：?=?,p,q N?是一个高次方程（3）系统公转的角动量可以写作：L=?ml?sin?5取相对轴无穷远处为参考点的 0 点，球的离心势能为：U离=?d?=?6系统的总机械能为：E=?sin?sin?cos?对于势能项求一阶导数：U=?cos?sin3?sin?求二阶导数：U=?sin?6cos?sin?cos?由此得到：?=?3cos?sin?本题 40 分：第一问 12 分，123456 各 2 分；第二问 16 分，7-14 各 2 分；第三问 12 分，15-20各 2 分