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1、2020 年暑期刷题班培训专用清北学堂第 37 届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题 3参考解答评分【题一】（30 分）【解析】i)建立如图所示坐标系，设边界上一点为?。入射光线和出射光线分别为 1，2。入射光，反射光，法向方向单位矢量分别为?。故?th?ht?th?ht?ht?th?边界上法向必与竖直方向成?角，于是?th ht?ht?th?th这个东西就是边界方程，大概率是个椭圆。（长半轴中心这些的大家自己算好了）【参考评分标准】本题共 30 分，（1）至（4）式各 5 分，（5）式 10 分。?（1）（2）（3）（5）（4）2020 年暑期刷题班培训专用【题二】（50 分）【解析】（?）首先
2、，利用你的数学知识，可以算得ht?th?ht?th?其中?如图所示,小球落到 A 点时的速度为?t?碰撞后小球与?轴负方向间的夹角为?,坐标如图，原点 A，于是碰后?ht?th?t?ht?th?t?OA 的直线方程?t?联立后易得?t?（2）用各种方法（如积分等）可以求得三角板绕 O 点的转动惯量为?t?t?t列出转动定律：?t?tt?t?t?于是?t?t（3）由于（1）问已经求出了 OB 的 0 阶近似，接下来我们计算一阶近似设小球和三角板碰撞时的冲量为?，列出冲量定理?th?ht?COAt?（1（2（3（4（5（6（7（9（82020 年暑期刷题班培训专用以及能量守恒定律?联立以上四式可以
3、解得?ht?t?ht?t?ht?th?t?ht?t?ht?t?t?ht?t?分析后可知碰后小球依然抛体，三角板在一阶近似下做振幅为一阶小的简谐振动。列出我们要解的方程们（以 O 为原点）?ht?t?th?t?其中?为由于碰撞导致的直线 OA 与竖直方向夹角随时间的改变量以上三式保留到一阶小量?ht?t?th?t?上标（0）为零阶量，上标（1）表示一阶小量，?中碰撞时刻?由可以写出?的振幅?t?ttm?m?t?t?ht?t?由（2）问中给出的?t?t?ht?t?ht?t?t?由于?为一阶小量，故时刻 t 仅需保留零阶，由（1）问?ht?t?t（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16
4、）（17）（18）（19）2020 年暑期刷题班培训专用?t?t?ht?t?ht?t再列出?和?的一阶小量以及前面已经给出的零阶量?t?ht?th?t?ht?ht?th?化简（15）式，消去?和?，将 tan 化开，并保留到一阶小后有?t?t?t?t?t?t?th?ht?th?两个括号内分别为 0，由（1）问，第一个括号显然为 0，则第二个括号可以解得?t?t?th?ht?th?t?t?代入各个参量，可以解得?t?t?tht?t?t又因为?t?ht?ht?将?代入并保留一阶小即可求得?t?ht?ht?th?ht?t?t?t?ht?t【参考评分标准】（1）问 6 分：（1）（2）（3）每式 2
5、分。（2）问 10 分：（4）式 4 分，（5）式 3 分，（6）式 3 分。（3）问 34 分：（7）（10）每式 2 分，（11）（14）每式 2 分，（16）式 2 分，（17）式 2 分，（18）式 2 分，（19）式 1 分，（20）式 4 分，（22）式 4 分，（24）式 3 分。（20）（21）（22）（23）（24）2020 年暑期刷题班培训专用【题三】（40 分）【解析】首先可以看出,反射镜反射的光并不会产生沿转轴方向的力矩，如图所示只有吸收光的地方会产生力矩，下面计算吸收了多少光。建立如图所示球坐标系计算有光照部分投影。?处面积微元及法向量：?ht?ht?th?ht?ht
6、?th设法向量与光线方向夹角?cos?sinsin?范围内吸收光子受到的力?ht?ht?力矩?ht?th?ht?ht?th?ht?ht?th?th?由球体转动惯量?，以及转动定理可得?我们发现这个东西好像并不是一个简谐振动，我们来简单地解一下这个微分方程，方程两边同乘?分离变量，积分可得?（1）（2）（3）（5）（7）（10）（9）（4）（6）（8）（12）（11）2020 年暑期刷题班培训专用?【参考评分标准】本题共 40 分，(2)式 2 分，(3)式 6 分，(4)式 3 分，(5)式或等价积分式 6 分，(6)式答案5 分，(7)式或(8)式 4 分，(9)式或(10)式 6 分，(1
7、1)式 5 分，(12)式 3 分。【题四】（40 分）【解析】（1）设当?t 转过一定的小角度?时，设各参量如图所示,?为瞬心。有正弦定理ht?ht?由于?都为小量，所以?h?Rl?th?用正弦定理计算?时上面两式要保留到三阶小量，不然就可以得到?。接下来计算势能?t?t?th?t?t?t?t?稳定条件为?t?t?t?t?（2）当?t 时?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）2020 年暑期刷题班培训专用?t?然后我们计算系统的总动能?t?其中?,由于?为二阶小量，故前面系数只需保留零阶小量,于是?t?t?t?th?于是?t?t【参考评分解答】（1）问共 20 分，(1)式 3 分，(
8、2)式 2 分，(3)式 4 分，(4)式 5 分，(5)(6)各 3 分（2）问共 20 分，(7)式 3 分，(8)式 6 分，(9)式 4 分，(10)式 4 分，(11)式 3 分【题五】（40 分）【解析】直角坐标系做法直角坐标系做法:设老鼠到右上顶点时，猫坐标?；猫位于?处时老鼠位于点t?，如图所示。对猫-老鼠连线有?t?t?两个速度和坐标的关系?t?（8）（10）（9）（11）?t?（1）（2）（4）（3）2020 年暑期刷题班培训专用联立以上两式，消去?可得t?y?分离变量，积分有?t?lna?xa?y?其中?t?t?a?xa?y?a?xa?y?当取?时上式可化为?打入计算器后
9、可以得到?t?再由上式分离变量并从点?到点?积分，可得?t?t?又因为?t?t?上式可化为?t?代入?数值与?关系可得?t?t?联立?t?t?t?可以解得唯一一个合理解（5）（8）（7）（6）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）2020 年暑期刷题班培训专用?t?t?t?t?t极坐标做法：极坐标做法：如图所示先考虑在其中一条边的情况，?为两者之间距离，有?ht?th?消去?，得?ht?th?th?th?th?t?t?又有当?时，?t?t?几何关系t?th?l?th?th?t?t?t?th?th?t?t?a【参考评分解答】本题共 40 分。直角坐标系做法，(1)式 3 分，(2
10、)(3)(4)式各 2 分，(5)式或(6)式 2 分，(7)式 4 分，(8)(9)式各 3 分，(10)式或(13)式 4 分，(11)式 5 分，(12)式 4 分，(14)式?两个答案每个答案各 2 分，(15)式 2 分。极坐标系做法，(1)(2)(3)式各 5 分，(4)式 7 分，(5)式 5 分，(6)式 8 分，(7)式 5 分。【题六】（45 分）【解析】?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）2020 年暑期刷题班培训专用（1）在圆柱上取一半径为?宽度为?的圆环，有?t?t?于是半径为?圆环内的磁通量?t?由涡旋电场可得?故由涡旋电场对圆柱体产生的外加力矩为?（2）由
11、电磁场角动量密度?t?可以知道，仅?对?有贡献，且电磁场角动量方向与机械角动量方向相反相反。?于是电磁场角动量密度为?t?机械?（3）对?处。有 t?。故?中对?有贡献的分量仅?。?且?又?（1）（2）（4）（3）（5）（7）（6）（11）（9）（8）（10）（15）（14）（13）（12）（16）（17）2020 年暑期刷题班培训专用?故?因此验证成立【参考评分解答】（1）问共 13 分，(3)式 2 分，(4)式 3 分，(5)式结果 2 分，(6)式 4 分，(7)式 2 分。（2）问共 15 分，(8)(9)式各 2 分，(10)(11)式各 4 分，(12)式 3 分。（3）问共 1
12、7 分，(13)(14)(15)(16)式各 2 分，(17)式 3 分，(18)式 4 分，(19)式 2 分。【题七】（30 分）【解析】电流分布法，从 t 点流入电流?，?点流出电流?。由于导线和无穷远相连，导线上电阻为?，于是电流并不会流到左右第一根导线之外，去掉无电流部分，电路可化简为图 1，再对折得图 2。将 tt 以上部分等效为电阻?tt，由无限电阻等效可知有?tt?tt?tt?tt?于是电路可以化简为图 3,设电流如图，由基尔霍夫方程组可得?（18）（19）t?图 1t?图 2?t?tt?tt?图 3（1）（2）（4）（5）（6）（7）（3）2020 年暑期刷题班培训专用?t?
13、【参考评分解答】本题共 30 分，得出等效电路图（图 3）10 分，(1)式 2 分，(2)(3)(4)(5)(6)(7)各 3 分。【题八】（45 分）【解析】（1）记小偷的钟读数为?时其速度为?。由匀加速定义有?t?t?t?积分得?t?t?t?并且对固有时?有?th?t?积分得?th?t?tht?t?t?t?t?t?（2）在地面系中看，小偷的坐标?t?t?故地面系观察到的小偷警察两者之间的距离为?t?t?t?t?若能追上，则?时?（1）（3）（2）（4）（6）（5）（8）（7）（9）（10）2020 年暑期刷题班培训专用?t?t?t?t?t?要求?t?若?t?，则无论t?为多少，警察都不可
14、能追上小偷。（3）由于地面系与?时刻的坐标系零点并未对齐，所以只能用间隔洛伦兹变换。设此时警察观察到距离小偷距离?，地面系再过?时间后才观察到小偷时钟示数为?，对观察到警察时钟示数为?与观察到小偷时钟示数为?这两个事件的时空间隔做警察系瞬时系到地面系的洛伦兹变换，再设地面系观察到警察时间?时其坐标?，且观察到两事件空间间隔?，有?其中?t?t?th?t?由前面算出的表达式在地面系有?t?t?t?t?tht?t?tht?t?t?th?t?th?t?tht?t?ht?t?联立以上各式有?t?ht?t?ht?t?此即?间的关系?t?th?t?th?t?th?t?（11）（12）（13）（14）（15
15、）（16）（18）（17）（20）（19）（21）2020 年暑期刷题班培训专用?对?求导，可得?ht?t?th?t?ht?t?th?t?th?t?t?ht?t?th?t?由?之间关系可得?t?th?t?th?t?ht?t?ht?t?th?t?ht?t?ht?t?ht?t?th?t?t?ht?t?th?t?得证，且t?t?【参考评分标准】（1）问共 10 分，(2)(3)(4)(5)(6)式各 2 分。（2）问共 11 分，(7)式 4 分，(8)式 2 分，(10)式 3 分（其中条件 1 分），另一种情况的讨论 2 分。（3）问共 24 分，(12)(13)(14)(15)各 1 分，(16)(17)(18)(19)各 2 分，(20)式 3 分，(22)式 4 分，(23)式 3 分，(24)式 2 分。（22）（24）（23）