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1、2025版新高考版高考总复习数学9.4抛物线五年高考考点1抛物线的定义和标准方程1.(2020课标理,4,5分,易)已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.9答案C2.(2021新高考,3,5分,易)若抛物线y2=2px(p0)的焦点到直线y=x+1的距离为2,则p=()A.1B.2C.22D.4答案B3.(2022全国乙理,5,5分,中)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=()A.2B.22C.3D.32答案B4.(2017课标文,12,5分,中)过
2、抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为()A.5B.22C.23D.33答案C5.(2021全国乙文,20,12分,中)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程;(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.解析(1)抛物线y2=2px(p0)的焦点F到准线的距离为2,p=2.抛物线C的方程为y2=4x.(2)第一步:设点写向量坐标,利用向量相等坐标相同得点Q的坐标.设点P(4x02,4x0),Q(x1,y1),则PQ=(x1-4
3、x02,y1-4x0),F(1,0),QF=(1-x1,-y1),PQ=9QF,x14x02=9(1x1),y14x0=9(y1),整理得x1=110(9+4x02),y1=410x0,第二步:用参数x0表示kOQ,利用基本不等式求其最值.kOQ=y1x1=4x09+4x02,当kOQ最大时,x00,kOQ=49x0+4x04236=13,当且仅当4x0=9x0时取“=”,此时x0=32,点P的坐标为(9,6),因此kOQ的最大值为13.考点2抛物线的几何性质1.(2020课标理,5,5分,中)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标
4、为()A.14,0B.12,0C.(1,0)D.(2,0)答案B2.(2019课标,文9,理8,5分,中)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案D3.(2018课标理,8,5分,中)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FMFN=()A.5B.6C.7D.8答案D4.(多选)(2023新课标,10,5分,中)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则()A.p=2B.|MN|=83C.以MN为直径的
5、圆与l相切D.OMN为等腰三角形答案AC5.(多选)(2022新高考,10,5分,中)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则()A.直线AB的斜率为26B.|OB|=|OF|C.|AB|4|OF|D.OAM+OBM0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则()A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切C.|OP|OQ|OA|2D.|BP|BQ|BA|2答案BCD7.(2023全国乙理,13,5分,易)已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为.答案948.(
6、2020新高考,13,5分,易)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.答案1639.(2021新高考,14,5分,中)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQOP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.答案x=-3210.(2022全国甲,文21,理20,12分,难)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.(1)求C的方程;(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分
7、别为,.当-取得最大值时,求直线AB的方程.解析(1)当直线MD垂直于x轴时,|MF|=p+p2=3,p=2,C的方程为y2=4x.(2)解法一:设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),直线MN的方程为x=my+1,由x=my+1,y2=4x得y2-4my-4=0,1=16m2+160恒成立,且y1y2=-4.由斜率公式可得kMN=y1y2x1x2=y1y2y124y224=4y1+y2,同理kAB=4y3+y4.直线MD的方程为x=x12y1y+2,代入y2=4x中可得y2-4(x12)y1y-8=0.20且y1y3=-8,所以y3=2y2,同理y4=2y1
8、,所以kAB=4y3+y4=2y1+y2=kMN2,又因为直线MN,AB的倾斜角分别为,所以kAB=tan =kMN2=tan2,若要使-最大,则0,2.设kMN=2kAB=2k,k0,则tan(-)=tantan1+tantan=k1+2k2=11k+2k121k2k=24,当且仅当1k=2k,即k=22时,等号成立,所以当-最大时,设直线AB的方程为x=2y+n,由x=2y+n,y2=4x得y242y-4n=0,则y3y4=-4n=4y1y2=-16.所以n=4,所以直线AB的方程为x-2y-4=0.解法二:由题可知,直线MN的斜率存在.设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3
9、),B(x4,y4),直线MN:y=k(x-1),由y=k(x1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1x2=1,则y1y2=-4.直线MD:y=y1x12(x-2),代入抛物线方程可得x1x3=4,同理,x2x4=4.结合抛物线方程可得y1y3=-8,所以y3=2y2,同理可得y4=2y1,所以kAB=y4y3x4x3=2(y1y2)41x21x1=y2y12(x2x1)=12kMN.下同解法一.11.(2023全国甲理,20,12分,难)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p0)交于A,B两点,|AB|=415.(1)求p;(2)设F为C的焦点,M,N为
10、C上两点,且FMFN=0,求MFN面积的最小值.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由x2y+1=0,y2=2px消去x得y2-4py+2p=0,直线与抛物线有两个交点A,B,=16p2-8p0,解得p12或p0,即m2+t0,由根与系数的关系得y3+y4=4m,y3y4=-4t,FMFN=0,(x3-1,y3)(x4-1,y4)=0,即(x3-1)(x4-1)+y3y4=(my3+t-1)(my4+t-1)+y3y4=(m2+1)y3y4+m(t-1)(y3+y4)+(t-1)2=(m2+1)(-4t)+m(t-1)4m+(t-1)2=0,即-4m2t-4t+4m2t-4m2+t
11、2-2t+1=0,即4m2=t2-6t+1.设F到MN的距离为d,则d=t1|1+m2,又|MN|=1+m2|y3y4|=1+m2(y3+y4)24y3y4=1+m216m2+16t=41+m2m2+t,SMFN=12|MN|d=1241+m2m2+tt1|1+m2=2m2+t|t1|=4m2+4t|t-1|=t22t+1|t-1|=(t-1)2.4m2=t2-6t+10,解得t3-22或t3+22,当且仅当t=3-22时,SMFN取得最小值12-82.即MFN面积的最小值为12-82.三年模拟综合基础练1.(2024届海南海口中学检测,5)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,若直线
12、x=4与C交于A,B两点,且|AB|=8,则|AF|=()A.4B.5C.6D.7答案B2.(2024届湖南长郡湘府中学开学检测,7)已知抛物线y2=18x的焦点为F,准线为l,点P为C上一点,过P作l的垂线,垂足为A,若AF的倾斜角为150,则|PF|=()A.6B.5C.4D.3答案A3.(2023四川成都二模,4)已知点F(0,4)是抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,点P(2,3),且点M为抛物线C上任意一点,则|MF|+|MP|的最小值为()A.5B.6C.7D.8答案C4.(2024届重庆巴蜀中学适应性月考(二),7)已知点F为抛物线y2=23x的焦点,过点F的直线交抛物线C于A
13、,B两点,O为坐标原点,若AF=3FB,则AOB的面积为()A.3B.23C.3D.32答案C5.(2023湖北武汉四调,6)设抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P是抛物线上位于第一象限内的一点,过P作l的垂线,垂足为Q,若直线QF的倾斜角为120,则|PF|=()A.3B.6C.9D.12答案B6.(多选)(2024届广东普宁二中第一次月考,10)设F(0,2p)为抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,O为坐标原点,A为C上一点,且|AF|=9,则()A.p=8B.F(0,4)C.直线AF的斜率为520D.AOF的面积为85答案ABD7.(多选)(2024届云南昆明第一中学月考,9)已知
14、抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点Al,线段AF交抛物线C于点B,过点B作l的垂线,垂足为H,若FA=3FB,则()A.|BH|=53B.|AF|=4C.|AF|=3|BH|D.|AF|=4|BH|答案BC8.(2023山东潍坊一模)已知抛物线C经过第二象限,且其焦点到准线的距离大于4,请写出一个满足条件的C的标准方程:.答案x2=16y(答案不唯一)9.(2023湖南益阳三模,13)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点P(-1,0)的直线l与C交于不同的两点M,N.若|NF|=2|PF|,则|MF|=.答案4310.(2023甘肃陇南一模,14)设F为抛物线y2=8x的焦点,A
15、,B,C为该抛物线上不同的三点,若FA+FB+FC=OF,O为坐标原点,则|FA|+|FB|+|FC|=.答案14综合拔高练1.(多选)(2024届江苏南京师大附中、灌南二中联考,12)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为()A.y2=4xB.y2=8xC.y2=16xD.y2=2x答案AC2.(2024届广东南粤名校素养评价,4)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点M在抛物线上,且|MF|=3,FM的延长线交y轴于点N,若M为线段FN的中点,则p=()A.2B.22C.4D.6答案C3.(2023福建厦
16、门双十中学模拟,6)已知抛物线C:y2=-8x的焦点为F,动点M在C上,圆M的半径为1,过点F的直线与圆M相切于点N,则FMFN的最小值为()A.2B.3C.4D.5答案B4.(2023山东青岛二模,7)已知O为坐标原点,直线l过抛物线D:y2=2px(p0)的焦点F,与D及其准线依次交于A,B,C三点(其中点B在A,C之间),若|AF|=4,|BC|=2|BF|,则OAB的面积是()A.3B.433C.23D.833答案B5.(2024届浙江名校协作体返校联考,5)抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(6,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C.若|BF|=3,则|BC|
17、AC|=()A.34B.45C.56D.67答案A6.(多选)(2023辽宁鞍山统考,12)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,准线为l,过F的直线与抛物线C交于A、B两点,则下列说法正确的是()A.若F(1,0),则l:x=-12B.若F(1,0),则弦AB最短长度为4C.存在以AB为直径的圆与l相交D.若直线AB:y=3xp2,且A点在x轴的上方,则AF=3FB答案BD7.(2024届广东深圳开学模考,15)过抛物线C:y2=4x焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,且AF=3FB,若M为AB的中点,则M到y轴的距离为.答案538. (2024届广东仲元中学月考,15)已知抛物线C:y2
18、=2px(p0)的焦点为F,O为坐标原点,C的准线l与x轴相交于点B,A为C上一点,直线AO与直线l相交于点E,若BOE=BEF,|AF|=6,则C的标准方程为.答案y2=8x9.(2023江西九江一模,14)已知点A,B分别是抛物线C:y2=-4x和圆E:x2+y2-2x+4y+4=0上的动点,点A到直线l:x=2的距离为d,则|AB|+d的最小值为.答案2210.(2024届广东四校第一次联考,16)过P(m,-2)向抛物线x2=4y引两条切线PQ,PR,切点分别为R,Q,又点A(0,4)在直线QR上的射影为H,则焦点F与H连线的斜率的取值范围是.答案(-,-33,+)11.(2023河北
19、唐山二模)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,A为C上一点,B为准线l上一点,BF=2FA,|AB|=9.(1)求C的方程;(2)M,N,E(x0,-2)是C上的三点,若kEM+kEN=1,求点E到直线MN距离的最大值.解析(1)因为BF=2FA,所以|AF|=13|AB|=3,由BF=2FA,xB=-p2,xF=p2可得xA=p,由抛物线的定义可知,|AF|=p+p2=3,解得p=2.则C的方程为y2=4x.(2)因为E(x0,-2)在抛物线C上,所以x0=1,设直线MN的方程为x=ty+n,M(x1,y1),N(x2,y2),将x=ty+n代入y2=4x,得y2-4ty-4n=0
20、,则y1+y2=4t,y1y2=-4n,kEM=y1+2x11=y1+2y1241=4y12,同理kEN=4y22,kEM+kEN=4y12+4y22=4(y1+y2)16y1y22(y1+y2)+4=16t164n8t+4=1,整理得,n=-6t+5,则直线MN的方程为x=ty-6t+5,所以直线MN过定点T(5,6).当ETMN时,点E到直线MN的距离最大,且最大距离为|ET|=(51)2+(6+2)2=45,经检验符合题意.12.(2024届山东齐鲁名校第一次质检,21)已知抛物线C:x2=2py(p0),F为C的焦点,过点F的直线l与C交于H,I两点,且在H,I两点处的切线交于点T,当
21、l与y轴垂直时,|HI|=4.(1)求C的方程;(2)证明:|FI|FH|=|FT|2.解析(1)由题意知F0,p2,将y=p2代入x2=2py,解得x=p,所以当l与y轴垂直时,|HI|=2p=4,所以p=2,故抛物线C的方程为x2=4y.(2)证明:根据题意知直线l的斜率存在,由(1)知F(0,1),设直线l的方程为y=kx+1,H(x1,y1),I(x2,y2),联立x2=4y,y=kx+1,消y得x2-4kx-4=0,所以=(-4k)2+160,x1+x2=4k,x1x2=-4.对y=14x2求导,得y=12x,所以kTHkTI=12x112x2=14(-4)=-1,所以THTI.由y
22、y1=12x1(xx1),yy2=12x2(xx2)得x=2k,y=1,所以T(2k,-1).证法一:当k=0时,根据对称性得|FI|=|FH|=2,|FT|=2,所以|FI|FH|=|FT|2;当k0时,kFTkHI=-1kk=-1,所以FTHI,所以FTIFHT,所以|FT|FH|=|FI|FT|,即|FI|FH|=|FT|2.综上,|FI|FH|=|FT|2.证法二:因为|FH|2=x12+(y1-1)2=4y1+(y1-1)2=(y1+1)2,|FI|2=x22+(y2-1)2=4y2+(y2-1)2=(y2+1)2,所以|FH|2|FI|2=(y1+1)2(y2+1)2=(y1y2+
23、y1+y2+1)2=x124x224+x124+x224+12=(x1x2)216+(x1+x2)22x1x24+12=(4k2+4)2.又|FT|2=4k2+4,所以|FI|FH|=|FT|2.13.(2024届湖北部分名校新起点联考,22)直角坐标系xOy中,已知动点P到定点F0,14的距离比动点P到定直线y=54的距离小1,记动点P的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)点S,T是曲线C上位于直线y=14的上方的点,过点S,T作曲线C的切线交于点Q,若FSFT,证明:cosSQT为定值.解析(1)由题意,知动点P到定点F0,14的距离与动点P到定直线y=14的距离相等,由抛物线的定义知C
24、为抛物线,且焦点在y轴上,设C:x2=2py,p0,则p2=14,得p=12,则C的方程为x2=y.(2)证明:设S(x1,x12),T(x2,x22),则FS=x1,x1214,FT=x2,x2214,FSFT,FSFT=x1x2+x1214x2214=0,即x12x22+116=x12+x224-x1x2(*).由y=x2,可得y=2x,过点S(x1,x12)的切线的斜率为k1=2x1,则切线SQ的方程为y-x12=2x1(x-x1),同理切线TQ的方程为y-x22=2x2(x-x2),联立解得Qx1+x22,x1x2,由点S,T是曲线C上位于直线y=14的上方的点,可知x1x2-14.QS=x1x22,x12x1x2,QT=x2x12,x22x1x2,则cosSQT=QSQT|QS|QT|=-x1x222+x1x2(x1x2)2x1x222+x12(x1x2)2x2x122+x22(x2x1)2=-14+x1x214+x1214+x22=14+x1x2214+x1214+x22=116+12x1x2+x12x22116+14(x12+x22)+x12x22,结合(*)化简,得cosSQT=14(x12+x22)x1x2+12x1x214(x12+x22)x1x2+14(x12+x22)=22,即cosSQT为定值.