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1、2025版新高考版高考总复习数学9.3双曲线五年高考考点1双曲线的定义和标准方程1.(2021北京,5,4分,易)若双曲线x2a2y2b2=1的离心率为2,且过点(2,3),则双曲线的方程为()A.2x2-y2=1B.x2-y23=1C.5x2-3y2=1D.x22y26=1答案B2.(2017课标理,5,5分,易)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28y210=1B.x24y25=1C.x25y24=1D.x24y23=1答案B3.(2023天津,9,5分,中)已知双曲线x2a2y2b2
2、=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为24,则双曲线的方程为()A.x28y24=1B.x24y28=1C.x24y22=1D.x22y24=1答案D4.(2022天津,7,5分,中)已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b1)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=45x的准线l经过F1,且l与双曲线的一条渐近线交于点A.若F1F2A=4,则双曲线的方程为()A.x216y24=1B.x24y216=1C.x24y2=1D.x2y24=1答案D5.(2020课标文,11,5分,中)设F1,F2是双曲线C
3、:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则PF1F2的面积为()A.72B.3C.52D.2答案B考点2双曲线的几何性质1.(2018课标理,5,5分,易)双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=32x答案A2.(2023全国甲理,8,5分,中)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为5,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=()A.55B.255C.355D.455答案D3.(2020课标理,11,5分,中)设双曲线C:x2a2
4、y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1PF2P.若PF1F2的面积为4,则a=()A.1B.2C.4D.8答案A4.(2020课标,文9,理8,5分,中)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32答案B5.(2023全国乙理,11,5分,中)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是()A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)答案D6.(2019课标理,10
5、,5分,中)双曲线C:x24y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则PFO的面积为()A.324B.322C.22D.32答案A7.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为2,则C的方程为.答案x22y22=18.(2021全国乙文,14,5分,易)双曲线x24y25=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.答案59.(2021新高考,13,5分,易)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为,.答案y=3x;y=-3x10.(2021全国乙理,13,5分
6、,易)已知双曲线C:x2m-y2=1(m0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为.答案411.(2020北京,12,5分,易)已知双曲线C:x26y23=1,则C的右焦点的坐标为;C的焦点到其渐近线的距离是.答案(3,0);312.(2023新课标,16,5分,中)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,F1AF1B,F2A=23F2B,则C的离心率为.答案35513.(2022全国甲文,15,5分,中)记双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值:.答案2
7、(答案不唯一,在(1,5范围内取值均可)14.(2019课标,16,5分,难)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A=AB,F1BF2B=0,则C的离心率为.答案2三年模拟综合基础练1.(2024届四川成都阶段测,5)已知直线y=2x是双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线,且点(23,23)在双曲线C上,则双曲线C的方程为()A.x23y24=1B.x23y26=1C.x26y212=1D.x212y224=1答案C2.(2023广东佛山一模)已知双曲线C的中心位于坐标原点,焦点
8、在坐标轴上,且虚轴比实轴长.若直线4x+3y-20=0与C的一条渐近线垂直,则C的离心率为()A.54B.43C.53D.74答案C3.(2023山东威海一模)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F1,M为C上一点,M关于原点的对称点为N,若MF1N=60,且|F1N|=2|F1M|,则C的渐近线方程为()A.y=33xB.y=3xC.y=66xD.y=6x答案D4.(2024届天津四十七中期中,6)已知F是抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,抛物线C的准线与双曲线:x2a2y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则的离心率e=()A
9、.32B.233C.217D.213答案D5.(2024届安徽摸底大联考,4)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,一条渐近线为l,过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M,若|MF1|=3|MF2|,则双曲线C的离心率为()A.2B.3C.5D.3答案B6.(2024届湖南长郡湘府中学开学检测,8)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为5,左,右焦点分别为F1,F2,F2关于C的一条渐近线的对称点为P.若|PF1|=2,则PF1F2的面积为()A.2B.5C.3D.4答案D7.(2024届浙江宁波专题检测,7)过双曲线C:y2a2x
10、2b2=1(a0,b0)内一点M(1,1)且斜率为12的直线交双曲线于A,B两点,弦AB恰好被M平分,则双曲线C的离心率为()A.62B.52C.3D.5答案C8.(2024届福建漳州第一次教学质检,5)已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则双曲线的离心率为()A.3B.2C.5D.10答案B9.(多选)(2023湖南长沙适应性测试)已知双曲线的方程为y264x216=1,则()A.渐近线方程为y=12xB.焦距为85C.离心率为52D.焦点到渐近线的距离为8答案BC10.(2024届山东齐鲁名校第一次质检,14)已知椭圆C1:x
11、2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是C1上任意一点,MF1F2的面积的最大值为3,C1的焦距为2,则双曲线C2:y2a2x2b2=1的实轴长为.答案411.(2023江苏二模)设过双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左焦点F的直线l与C交于M,N两点,若FN=3FM,且OMFN=0(O为坐标原点),则C的离心率为.答案712.(2024届江西新高三第一次大联考,14)已知双曲线C的中心为原点,焦点在x轴上,焦距为8,且C的离心率与它的一条渐近线的斜率之比恰好为2,则C的标准方程为.答案x212y24=113.(2024届江苏南京师大附中、灌南二中联考,15
12、)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0),直线y=a与双曲线C交于M,N两点,直线y=-b与双曲线C交于P,Q两点,若|MN|=2|PQ|,则双曲线C的离心率等于.答案233综合拔高练11.(2024届广东四校第一次联考,6)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0),斜率为-3的直线l过原点O且与双曲线C交于P,Q两点,且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点,则双曲线C的离心率为()A.3+12B.3+1C.231D.23-2答案B2.(2024届福建福州四中专题检测,7)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0),F为左焦点,A1,A2分别为左、右顶点,P为C右支上的
13、点,且|OP|=|OF|(O为坐标原点).若直线PF与以线段A1A2为直径的圆相交,则C的离心率的取值范围为()A.(1,3)B.(3,+)C.(5,+)D.(1,5)答案D3.(2023湖北恩施4月模拟,8)已知F1,F2分别为双曲线C:x24y2b2=1(b0)的左、右焦点,且F1到渐近线的距离为1,过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且lAF1,则下列说法正确的是()A.AF1F2的面积为2B.双曲线C的离心率为2C.AF1BF1=10+46D.1AF2|+1BF2|=6+2答案D4.(多选)(2024届广东茂名信宜摸底,11)已知曲线C:x2sin +y2cos =1(0
14、),则下列说法正确的是()A.若曲线C表示两条平行线,则=0B.若曲线C表示双曲线,则2C.若02,则曲线C表示椭圆D.若00,b0)的一个顶点为A,与A不在y轴同侧的焦点为F,E的一个虚轴端点为B,PQ为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦,M为PQ中点.设双曲线E的离心率为e,O为坐标原点,则下列说法中,正确的有()A.e=5+12B.|OA|OF|=|OB|2C.kOMkPQ=eD.若OPOQ,则1|OP|2+1|OQ|2=e恒成立答案ABC6.(2023湖北襄阳四中模拟,15)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(26,0),点A的坐标为(0,1),点P为双曲线
15、左支上的动点,且APF的周长不小于18,则双曲线C的离心率的取值范围为.答案1,627.(2024届广东普宁二中第一次月考,21)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)过点(22,1),渐近线方程为y=12x,直线l是双曲线C右支的一条切线,且与C的渐近线交于A,B两点.(1)求双曲线C的方程;(2)设点A,B的中点为M,求点M到y轴的距离的最小值.解析(1)由题设可知8a21b2=1,ba=12,解得a=2,b=1,则C的方程为x24-y2=1.(2)设点M的横坐标为xM,xM0,当直线l的斜率不存在时,直线l:x=2,易知点M到y轴的距离为xM=2;当直线l的斜率存在时,设l:y
16、=kx+mk12,A(x1,y1),B(x2,y2),联立x24y2=1,y=kx+m,整理得(4k2-1)x2+8kmx+4m2+4=0,=64k2m2-16(4k2-1)(m2+1)=0,整理得4k2=m2+1.联立x24y2=0,y=kx+m,整理得(4k2-1)x2+8kmx+4m2=0,则x1+x2=-8km4k21=8kmm2=8km,则xM=x1+x22=4km0,即km4,即xM2,此时点M到y轴的距离大于2.综上所述,点M到y轴的距离的最小值为2.综合拔高练21.(多选)(2024届湖北武汉硚口起点质检,11)已知双曲线C:x2-y23=1,F1,F2为双曲线的左、右焦点,若
17、直线l过点F2,且与双曲线的右支交于M,N两点,则下列说法正确的是()A.双曲线C的离心率为3B.若l的斜率为2,则弦MN的中点坐标为(8,12)C.若F1MF2=3,则MF1F2的面积为33D.使MNF1为等腰三角形的直线l有3条答案BCD2.(2023浙江嘉兴一中期中,21)已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(5,3)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)如图,若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q,P,且OPOQ=0,求|OP|2+|OQ|2的最小值.解析(1)由离心率e=2,点M(5,3)在双曲线上,可得ca=2,5a23b2=1,结合a
18、2+b2=c2,解得a=2,b=23,c=4,则双曲线的方程为x24y212=1.(2)由OPOQ=0,可得OPOQ,设OP的方程为y=kx,则OQ的方程为y=-1kx,由y=kx,3x2y2=12解得x2=123k2,y2=12k23k2,则|OP|2=12(1+k2)3k2,将k换为-1k,可得|OQ|2=12(1+k2)3k21,13k23,所以|OP|2+|OQ|2=24(1+k2)2(3k2)(3k21),令1+k2=t43t4,故点D的轨迹E是以B,C为焦点的双曲线,设E的方程为x2a2y2b2=1(a0,b0,c=a2+b2),则2a=4,a=2,又c=10,所以b2=c2-a2
19、=6,故点D的轨迹E的方程为x24y26=1.(2)证明:由题意知A1(-2,0),A2(2,0),若直线l的斜率为0,则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点,不合题意,故直线l的斜率不能为0,故设其方程为x=ty+3,联立x=ty+3,x24y26=1,消x得(3t2-2)y2+18ty+15=0,=144t2+1200,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=18t3t22,y1y2=153t22.直线A1M的方程为y=y1x1+2(x+2),即y=y1ty1+5(x+2),直线A2N的方程为y=y2x22(x-2),即y=y2ty2+1(x-2),联立,消y得x+2x2=ty1y
20、2+5y2ty1y2+y1,则x+2x2=15t3t22+518t3t22y115t3t22+y1=75t3t225y115t3t22+y1=-5,即x+2x2=-5,解得x=43,故直线A1M与直线A2N的交点P在定直线x=43上.4.(2023江苏南京、盐城一模,21)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a,b0)的离心率为2,直线l1:y=2x+43与双曲线C仅有一个公共点.(1)求双曲线C的方程;(2)设双曲线C的左顶点为A,直线l2平行于l1,且交双曲线C于M,N两点,求证:AMN的垂心在双曲线C上.解析(1)因为双曲线C的离心率为2,所以ca=2,即a2+b2a2=2,即a2=b2
21、,所以双曲线C的方程为x2-y2=a2,联立y=2x+43,x2y2=a2,消去y整理得3x2+163x+a2+48=0,因为l1与双曲线C仅有一个公共点,所以=(163)2-12(a2+48)=0,解得a2=16,故双曲线C的方程为x216y216=1.(2)证明:设l2:y=2x+m(m43),M(x1,y1),N(x2,y2),联立y=2x+m,x2y2=16,消去y得3x2+4mx+m2+16=0,所以x1+x2=-43m,x1x2=m2+163.如图所示,过A(-4,0)作MN的垂线交C于另一点H,则AH的方程为y=-12x-2,代入x2-y2=16得3x2-8x-80=0,解得x=-4(舍去)或x=203.所以点H的坐标为203,163.连接HM并延长,所以kANkMH=y2y1+163(x2+4)x1203=3(2x1+m)(2x2+m)+16(2x2+m)(3x120)(x2+4)=12x1x2+6m(x1+x2)+32x2+3m2+16m3x1x2+12(x1+x2)32x280=4(m2+16)8m2+3m2+16m+32x2m2+1616m32x280=m2+16m+32x2+64m216m32x264=-1,所以MHAN,故H为AMN的垂心,得证.