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1、 第讲 抛物线 课时达标 一、选择题 1已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A43 B1 C34 D12 C 解析 因为点A在抛物线的准线上，所以p22，所以该抛物线的焦点为F(2,0)，所以kAF302234.故选 C.2抛物线y2ax2(a0)的焦点是()A.a2，0 B.a2，0 或a2，0 C.0，18a D.0，18a或0，18a C 解析 抛物线的方程化成标准形式为x212ay(a0)，其焦点在y轴上，所以焦点坐标为0，18a.故选 C.3(2019新乡一中月考)过抛物线y22px(p0)焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，以AB
2、为直径的圆的方程为(x3)2(y2)216，则p()A1 B2 C3 D4 B 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得x1x26，x1x2p8，所以p2.4(2019曲阜一中月考)已知F是抛物线x28y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为 5，则|AF|()A4 B5 C6 D7 D 解析 因为F是抛物线x28y的焦点，所以F(0,2)，因为抛物线上的点A到x轴的距离为 5，所以|AF|5p27.5(2019河北师大附中月考)已知抛物线y22x的弦AB的中点的横坐标为32，则|AB|的最大值为()A1 B2 C3 D4 D 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x
3、23.由抛物线的定义可知|AF|BF|x1x214.由图可知|AF|BF|AB|，所以|AB|4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值 4.6(2017全国卷)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为 3的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为()A.5 B2 2 C2 3 D3 3 C 解析 依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y 3(x1)由 y 3x1，y24x得x13或x3.由M在x轴的上方得M(3，2 3)，由MNl得|MN|MF|314，又NMF等于直线FM的倾斜角，即NMF60，因此MNF是边长为 4 的等边三角形，
4、点M到直线NF的距离为 4322 3.故选 C.二、填空题 7若抛物线y22x上的一点M到坐标原点O的距离为 3，则点M到该抛物线焦点的距离为_ 解析 设点 M(xM，yM)，则 y2M2xM，x2My2M3，即x2M2xM30，解得xM1 或xM3(舍去)故点M到该抛物线焦点的距离为xM1211232.答案 32 8在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_ 解析 坐标为故选新乡一中月考过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点以为直径的圆的方程为则解析设由题意可得所以曲阜轴的距离为所以河北师大附中月考已知抛物线的
5、弦的中点的横坐标为则的最大值为解析设则由抛物线的定义可知由图在上且则到直线的距离为解析依题意得则直线的方程是由得或由在轴的上方得由得又等于直线的倾斜角即因此是边长 如图所示，线段OA所在的直线方程为y12x，其中垂线方程为 2xy520，令y0，得x54，即F54，0，所以p52，y25x，其准线方程为x54.答案 x54 9已知点Q(2 2，0)及抛物线x24y上一动点P(x，y)，则|y|PQ|的最小值为_ 解析 如图，抛物线焦点F(0，1)，抛物线的准线方程为y1，设点P到准线距离为d，则|y|PQ|最小时，d|PQ|也最小，又因d|PF|，即|PF|PQ|最小，由图看出，|PF|PQ|
6、的最小值为|QF|813，所以d|PQ|的最小值为 3，所以|y|PQ|的最小值为 2.答案 2 三、解答题 10 已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的离心率为 5，抛物线C：x22py(p0)的焦点在双曲线的顶点上(1)求抛物线C的方程；(2)过M(1,0)的直线l与抛物线C交于E，F两点，又过E，F作抛物线C的切线l1，l2，当l1l2时，求直线l的方程 解析(1)双曲线的离心率e14a2 5，又a0，所以a1，双曲线的顶点为(0,1)，所以抛物线的焦点为(0,1)，又p0，所以p21，所以抛物线方程为x24y.
7、(2)由题知直线l的斜率必存在 设直线l的方程为yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)因为y14x2，所以y12x，所以切线l1，l2的斜率分别为x12，x22，当l1l2时，x12x221，所以x1x24.由 ykx1，x24y得x24kx4k0，所以(4k)24(4k)0，所以k0.由根与系数的关系得x1x24k4，所以k1，满足，即直线l的方程为xy10.12已知抛物线y22px(p0)，过点C(2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，OAOB12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程 解析(1)设l：xmy2，代入y22px，
8、得y22pmy4p0.(*)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y24p，则x1x2y21y224p24.因为OAOB12，所以x1x2y1y212，即 44p12，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)由(1)中的(*)化为y24my80，得y1y24m，y1y28.设AB的中点为 M，则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24，又|AB|1m2|y1y2|1m216m232，由得(1 m2)(16m232)(4m24)2，解得m23，m 3.所以直线l的方程为x坐标为故选新乡一中月考过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点以为直径的圆的方程为则解析设由题意可
9、得所以曲阜轴的距离为所以河北师大附中月考已知抛物线的弦的中点的横坐标为则的最大值为解析设则由抛物线的定义可知由图在上且则到直线的距离为解析依题意得则直线的方程是由得或由在轴的上方得由得又等于直线的倾斜角即因此是边长 3y20 或x 3y20.13 选做题(2019郴州一中月考)设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为ABC的重心，则|FA|FB|FC|的值为()A1 B2 C3 D4 C 解析 依题意设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F12，0，x1x2x331232，则|FA|FB|FC|x112x212x312(x1x2x3)3232323.坐标为故选新乡一中月考过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点以为直径的圆的方程为则解析设由题意可得所以曲阜轴的距离为所以河北师大附中月考已知抛物线的弦的中点的横坐标为则的最大值为解析设则由抛物线的定义可知由图在上且则到直线的距离为解析依题意得则直线的方程是由得或由在轴的上方得由得又等于直线的倾斜角即因此是边长