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1、3 3.4 4函数的应用()一二一、常见的实际问题【问题思考】1.如何在函数应用题中选择并建立合适的模型?提示:函数模型的选择与建立,要注意函数图象的直观运用,分析图象特点,分析自变量x的取值范围,同时还要与实际问题相结合,如取整等.一二2.幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长的特点是什么?提示:(1)对于幂函数y=xn,当x0,n0时,y=xn才是增函数,当n越大时,增长速度越快.(2)指数函数与对数函数是增函数前提是a1,又因为它们的图象关于y=x对称,从而可知,当a越大,y=ax增长越快,当a越小,y=logax增长越快,一般来说axlogax(x0,a1).(3)指数函数与幂函
2、数.当x0,n0,a1时,可能开始时xnax.但指数函数是爆炸型函数,当x大于某一个确定值x0后,就一定有axxn.(4)增长速度.可以用三个词来形容它们的增长情况:y=ax(a1)越来越快;y=xn(n0,x0)相对平缓;y=logax(a1)越来越慢.一二3.填空.(1)人口数的计算设原有人口a人,人口的自然年增长率为b,则经过x年后,人口数为y=a(1+b)x.(2)复利及其应用复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期的利息.本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,则本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x(xN+).(3)半衰
3、期及其应用放射性元素剩留量为原来的一半所需要的时间叫做半衰期.一种放射性元素最初的质量为ag,按每年r(0r0,b1,a0),其增减特点是:当b1,a0时,随着自变量的增大,函数值增大增长速度越来越快,常形象地被称为指数爆炸.(2)对数函数模型,即y=mlogax+n(a0,a1,m0),其增长特点是:当a1,m0时,随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢.(3)幂函数模型,即y=ax+b(a0),其中最常见的是二次函数模型:y=ax2+b(a0),其特点是:当a0时,随着自变量的增大,函数值先减小,后增大.一二2.做一做:某同学在一次数学实验中,获得了如下一组数据:则x,y的函数关系最接
4、近(其中a,b为待定系数)函数()A.y=a+bxB.y=bxC.y=ax2+bD.y=答案:B思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.(1)对数函数模型其函数值是变化速度最慢的函数.()(2)指数函数模型其函数值增长的速度是越来越快的.()(3)据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度,设2008年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m,则从2008年起,经过x年后,北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是y=(1-0.0550-x)m.()答案:(1)(2)(3)探究一探究二探究三探究四思维辨析指数函数模型指数函数模型【例1】诺贝
5、尔奖发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息作基金总额,以便保证奖金数逐年增加.假设基金平均年利率为r=6.24%.资料显示:2015年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元.设f(x)表示第x(xN+)年诺贝尔奖发放后的基金总额.(2015年记为f(1),2016年记为f(2),依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2025年度诺贝尔奖
6、各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由.(参考数据:1.031291.32)探究一探究二探究三探究四思维辨析分析:指数函数型模型的应用是高考的一个主要内容,常与增长率相结合进行考查.在实际问题中,有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数型模型来表示.通常可表示为y=a(1+p)x(其中a为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式.探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟指数函数y=ax(a1)经复合可以得到指数型函数,指数型函数的函数值变化较快,指数型函数函数值的增长速度随底数不同而不同,并且根据已知数据的关系能建立起模型,进而能对未知进行推断.探究一探究二探究三探究四
7、思维辨析变式训练变式训练1某公司预投资100万元,有两种投资方案可供选择:方案一:年利率10%,按单利计算,5年后收回本金和利息;方案二:年利率9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元?(结果精确到0.01万元)分析:这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题.可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少,再通过比较作答.解:本金100万元,年利率10%,按单利计算,5年后的本息和是100(1+10%5)=150(万元).本金100万元,年利率9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100(1+9%)5153.86(万元).由
8、此可见,方案二更有利,5年后多得利息约3.86万元.探究一探究二探究三探究四思维辨析对数函数模型对数函数模型【例2】某地一渔场的水质受到了污染.渔场的工作人员对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m(mN+)个单位的药剂后,经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y=mf(x),其中当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化.(1)如果投放的药剂质量为m=6,那么渔场的水质达到有效净化一共可持续几天?(2)如果投放的药剂质量为m,为了使在8天(从投放药剂算起包括第8
9、天)之内的渔场的水质达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟对数函数y=logax(x0,a1)经复合可以得到对数型函数,其函数值变化比较缓慢.涉及对数式,因此要格外注意真数的取值范围,还要结合实际问题使所求问题有实际意义.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析幂函数模型幂函数模型【例3】在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R(cm3/s)与管道半径r(cm)的四次方成正比.(1)写出函数解析式;(2)假设气体在半径为3cm的
10、管道中,流量速率为400cm3/s.求该气体通过半径rcm的管道时,其流量速率R的表达式;(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量速率.探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟对于幂函数模型在实际的工程、科研等领域都有较广泛的应用,此种模型相对形式简单,但不同的实际问题其对应模型的系数和幂次相差很大,很多实际问题一般直接给出模型结构形式,我们只需分析数据,利用数据确定参数即可.探究一探究二探究三探究四思维辨析建立拟合函数模型建立拟合函数模型【例4】某个体经营者把开始六个月试销售A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:探究一探究二探究三探究四思维辨析该经营者准备下月
11、投入12万元经营这两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润.探究一探究二探究三探究四思维辨析解:以投资额x为横坐标,纯利润y为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图(1)(2)所示.观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟,如图(1)所示.取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2(a0),再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.B种商品所获纯利润
12、y与投资额x之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟,如图(2)所示.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟解决拟合函数模型问题一般有以下步骤:(1)根据原始数据、表格,绘出两个变量之间的散点图.(2)通过散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是一件十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般不会发生.因此,使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧,使两侧的点的个数大体相等,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.(3)根据所学函数知识,结合已知数据,求出拟合直线或拟
13、合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和检验,为决策和管理提供依据.探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练变式训练2某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5千美元8千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现:人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中y=ax2+bx,y=kx+b,y=logax,y=ax+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示A饮料的年人均销量,单位:升),用哪个模拟函数来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由.(2)若人均GDP为1千美元时,A饮料的年人均销量为2
14、升;若人均GDP为4千美元时,A饮料的年人均销量为5升,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,A饮料的年人均销量最多是多少?探究一探究二探究三探究四思维辨析解:(1)用函数y=ax2+bx来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP的关系更合适.因为函数y=kx+b,y=logax,y=ax+b在其定义域内都是单调函数,不具备先递增后递减的特征.(2)依题意知函数过点(1,2)和(4,5),探究一探究二探究三探究四思维辨析因未弄清函数类型而致误【典例】某林区2017年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施,使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.(1)若经过x年
15、后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域;(2)求经过多少年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.探究一探究二探究三探究四思维辨析错解:(1)现有木材蓄积量为200万立方米,经过1年后木材蓄积量为200+2005%=200(1+5%);经过2年后木材蓄积量为200(1+5%2);经过x年后木材蓄积量为200(1+5%x).所以y=f(x)=200(1+5%x)(xN+).(2)设x年后木材蓄积量为300万立方米,故经过10年,木材蓄积量达到300万立方米.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范?提示:本例错误的根源是没有弄
16、清平均增长率的含义,直接把函数模型建错了.探究一探究二探究三探究四思维辨析正解:(1)现有木材蓄积量为200万立方米.经过1年后木材蓄积量为200+2005%=200(1+5%);经过2年后木材蓄积量为200(1+5%)+200(1+5%)5%=200(1+5%)2;所以经过x年后木材蓄积量为200(1+5%)x.所以y=f(x)=200(1+5%)x(xN+).(2)由200(1+5%)x=300,得(1+5%)x=1.5,取值验证可知8x9,所以取x=9,即经过9年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.防范措施对此类问题首先要弄清题目情景,木材蓄积量年平均增长问题实质上为一指数函数类模
17、型.若初始蓄积量为a,年平均增长率为b%,则x年后木材蓄积量y与x的关系为y=a(1+b%)x,xN+.另外还有储蓄等问题也属于指数类函数模型.因此大家在学习过程中多积累实际素材,每一类实际问题都有其自身的规律特点.1.某种商品2016年提价25%,2018年要恢复成原价,则应降价()A.30%B.25%C.20%D.15%答案:C2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t之间的数据,将其整理后得到如下的图象,下列函数中,最能近似刻画y与t关系的是()A.y=2tB.y=2t2C.y=t3D.y=log2t解析:此曲线符合对数函数的变化趋势.答案:D4.已知某工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y=a0.5x+b,现已知该厂今年1月,2月生产该产品分别为1万件,1.5万件,则此厂3月份生产该产品的产量为万件.